艺术生高考数学专题讲义：考点40 圆的方程

考点四十  圆的方程

知识梳理

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

2. 圆的标准方程

(1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

(2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2．

3. 圆的一般方程

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为＋＝.

(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；

(2) 当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点；

(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．

4. 点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

5. 解决与圆有关的最值问题的常用方法

(1) 形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2) 形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

典例剖析

题型一  求圆的方程

例1　若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为                    ．

答案　(x－2)2＋(y±)2＝4

解析  因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±．

变式训练  (1)圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是              ．

 (2) 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．

答案　(1) x2＋y2－10y＝0    (2) (x－2)2＋y2＝10

解析  (1)设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.

∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5.

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

(2) 设圆心坐标为(a,0)，易知＝，

解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，

∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

解题要点  求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解．

题型二  点与圆的位置关系

例2　已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足           ．

答案　在圆内

解析　因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P(3，2)在圆内．

变式训练  点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________.

答案　在圆C外部

解析　将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，

∴点P在圆C外部．

题型三  二次方程表示圆的条件

例3　方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件的是              ．

答案  m<或m>1

解析  由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.

变式训练  方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是           ．

答案  一个点

解析  方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，

即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，

∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．

解题要点  1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F＞0．

2.二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：，

即方程中不含xy项， x2，y2前系数相同，且D2＋E2－4AF＞0．

题型四  与圆有关的最值问题

例4　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；

(3)x2＋y2的最大值和最小值．

解析　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．

设＝k，即y＝kx，

则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．

由＝，解得k2＝3，

∴kmax＝，kmin＝－.(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)

(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－.

(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则

(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，

(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.

解题要点　(1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．

(2)①形如u＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

当堂练习

1．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，则圆的方程为                  ．

答案  (x－2)2＋(y－1)2＝2

解析  所求圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2，1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2．

2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为                ．

答案  (x－2)2＋(y＋2)2＝1

解析  圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1，1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.

3. 圆的圆心和半径分别                 ．

答案 

解析  将圆配方得：，故知圆心为(2，－1)，半径为.

4．若坐标原点在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是                    ．

答案  －

解析  ∵原点O在圆(x－m)2+(y+m)2=4的内部，∴(0－m)2+(0+m)2＜4，得2m2＜4，

解得－＜m＜,即实数m的取值范围为：－＜m＜．

5．方程x2+y2－x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是           ．

答案  m＜ 

解析  ∵方程x2+y2－x+y+m=0即表示一个圆，

∴－m＞0，解得m＜．

课后作业

一、    填空题

1．以点A(－5，4)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程是             ．

答案  (x+5)2+(y－4)2=16

解析  ∵所求的圆以点A(－5，4)为圆心，且与x轴相切，∴所求圆的半径R=4，

∴圆的标准方程为(x+5)2+(y－4)2=16．

2．若一圆的标准方程为，则此圆的的圆心和半径分别为          ．

答案 

解析  圆的标准方程为 ，表示圆心为，半径为的圆．

3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是               ．

答案  (x－2)2＋(y－1)2＝1

解析  设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，

∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.

所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

4．点(2a，a－1)在圆x2+y2－2y－4=0的内部，则a的取值范围是            ．

答案　－＜a＜1

解析  由题意，4a2+(a－1)2－2(a－1)－4＜0，即5a2－4a－1＜0,

解之得：－＜a＜1．

5．圆的圆心坐标是              ．

答案  (2，－3)

解析  将方程化为圆的标准方程得，所以圆心是(2，－3).

6．圆x2+y2=16上的点到直线x－y=3的距离的最大值为             ．

答案  4+

解析  圆心即原点到直线的距离，所以直线与圆相交，则圆上的点到直线的最大距离为.

7．若方程x2+y2－x－2y+c=0(c∈R)是一个圆的一般方程，则c的范围是           ．

答案  c＜

解析  化为标准方程为：，由题意得，，∴．

8．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是                    ．

答案  (x－2)2＋(y－1)2＝1

解析  由已知设所求圆的圆心坐标为：C(a，b)(a>0且b>0)，由已知有：，所以所求圆的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝1．

9．圆的方程过点和原点，则圆的方程为                    ．

答案 

解析  设圆的一般方程为，

将三点代入得：，解得，

所以圆的方程为.

10．方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．

答案  (3，0)，3

解析  (x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.

11．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 

答案 

解析  把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A与直线x－y＋3＝0垂直时，过垂足作圆的切线，切线长最短，连接AB，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x－y＋3＝0的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．由于圆心(2，2)，半径为1，那么可知圆心到直线的距离为  ，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为

二、解答题

12．求下列各圆的标准方程：

(1)圆心在y=－x上且过两点(2，0)，(0，－4)

(2)圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y－1=0切于点(2，－1)

解析  (1)设圆心坐标为()，则所求圆的方程为，

∵圆心在上，∴，  ①    

又∵圆过(2，0)，(0，－4)

∴ ，   ②

， ③ 

由①②③联立方程组，可得.

∴所求圆的方程为.

(2)∵圆与直线相切，并切于点M(2，－1)，则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于的直线：上，，即圆心为C(1，－2)，

=，∴所求圆的方程为：

13．求经过三点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.

解析  设所求圆的方程为

点A(－1，－1)，B(－8，0)，C(0，6)的坐标满足上述方程，分别代入方程，

可得          

解得：D=8，E=－6，F=0 .       

于是得所求圆的方程为： ,     

圆的半径r=   ,

圆心坐标是.