2023年福建省莆田市城厢区重点中学中考数学模拟试卷（含解析）

2023年福建省莆田市城厢区重点中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个几何体如图水平放置，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  广东省市场监督管理出台了一系列政策促进广东餐饮行业的发展，据统计，年第一季度广东省餐饮主体营收达亿元，将“亿”用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若在实数范围内有意义，则的值有可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中红球个、黄球个和白球个，从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  图是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点与之间的距离为(    )

 

A.  B.
C.  D.

10.  七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的清陆以活冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算：______．

12.  如图，在中，，、、分别是、、的中点，若，则______．

 

13.  不等式组的正整数解是______ ．

14.  已知圆锥的底面半径是，母线长为，侧面积为______结果保留

15.  已知，是方程的两个根，则代数式的值等于______ ．

16.  已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，则实数的取值范围是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  解分式方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，，，．
求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值，其中．

20.  本小题分
如图，中，，，．
用直尺和圆规作的垂直平分线；保留作图痕迹，不要求写作法
若中所作的垂直平分线交于点，求的长．

 

21.  本小题分
为了扎实推进精准扶贫工作，某地区出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了到种帮扶措施，现把享受了种、种、种和种帮扶措施的贫困户分别称为，，，类贫困户，为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成两幅不完整的统计图．

请根据图中信息回答下面的问题：
本次抽样调查了______ 户贫困户；
抽查了多少户类贫困户？并补全统计图；
若该地共有户贫困户，请估计至少得到项帮扶措施的大约有多少户？

22.  本小题分
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒．
求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润．

23.  本小题分
如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
如图，点在正方形边上，以为对线作正方形，连接，点是线段中点，连，，．
试判断线段线的数量关系和位置关系，并说明理由．
将正方形；绕点顺时针转度，连接，，如图．
当，，三点共线时，，，求的长；
求证：．

 

25.  本小题分
如图，已知抛物线是常数的顶点为，直线：．
求证：点在直线上；
若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值；
如图，当时，抛物线交轴于、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：．
根据简单组合体的三视图得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：点，
点关于原点对称的点为，
故选：．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点关于原点对称的点的坐标．
本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球，共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，
从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为．
故选：．
从袋中任意摸出一个球，共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是的直径，
，
，
，
故选：．
根据等边对等角求得的度数，然后利用三角形内角和定理求得的度数，再根据圆周角定理先求得的度数，继而求得的度数．
本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作直线，交双翼闸机于点、，则，，

由题意可得，，
在直角三角形中，
，
．
故选：．
作辅助线如图，由题意可得，，解直角三角形求出，然后根据即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设七巧板正方形的边长为，
，
，
，
，
，
故选：．
设七巧板正方形的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出，的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

故答案为
注意题目的特征，有零指数幂，有负整数指数幂，则有，
此题主要考查整数指数幂的运算法则，熟记整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，是中线，
．
又、分别是、的中点，
是的中位线，
．
，
，
．
故答案是：．
由直角三角形斜边上的中线求得斜边的长度，然后根据三角形中位线定理求得．
考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，解题时，利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线得到是解题的突破点．
 

13.【答案】，， 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
正整数解为：，，．
故答案为：，，．
首先解不等式组，注意移项时要变号，不等式两边同时除以同一个负数时，要改变不等号的方向，求出不等式组的解集后，再写出范围内的正整数．
此题主要考查了不等式组的解法并求出其整数解，解题过程中关键是要注意符号问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：底面圆的半径为，则底面周长，
侧面面积
故答案为：．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥计算，正确记忆圆锥的侧面积底面周长母线长是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，




．
故答案为：．
将代入方程中可得，根据根与系数的关系可得，原式可变形为，最后整体代入即可求解．
本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程以及不等式的关系，把方程的两根转化为抛物线与轴交点的横坐标是解题的关键．
把关于的一元二次方程的两根分别为，，转化为抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，画出大致图象，由于时，，即；时，，即；时，，即，然后解不等式得到实数的取值范围．
【解答】
解：把关于的一元二次方程的两根分别为，，转化为抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，
抛物线经过点，，，
抛物线开口向上，即，图象大致如图，

时，，即，解得；
时，，即，解得；
时，，即，解得；
实数的取值范围为．
故答案为．  

17.【答案】解：去分母，得
解方程，得
经检验，是分式方程的解．
所以，原分式方程的解为． 

【解析】按解分式方程的步骤求解即可，注意检验．
本题考查了分式方程的解法．掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，根据等式的性质得，所以．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：如图直线即为所求．


垂直平分线段，
，设，
在中，，
，
解得，
． 

【解析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，正确做出图形是解题的关键．
分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可．
设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次抽样调查贫困户为：户，
答：本次抽样调查了户贫困户；
类：户，
补全条形统计图如图所示．

类所占的百分比为：，户，
答：估计类和类贫固户大约有户．
从两个统计图可知，“类”有户，占调查人数的，可求出调查户数；
总人数乘以类贫困户所占的百分比即可求出类贫困户的人数，即可补全条形统计图；
求出得到项、项帮扶措施的贫困户所占的百分比即可估计总体中得到答案．
本题考查条形统计图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提，掌握频率是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，
则，
解得：，经检验是方程的解，
猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元，
答：猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元；
由题意得，当时，每天可售出盒，
当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，
，
配方，得：，
时，随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为：元．
答：关于的函数解析式为，且最大利润为元． 

【解析】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式．
设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
由题意得，当时，，每天可售出盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
 

23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线；

解：在中，，，
，
，
过点作，垂足为，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，即，
解得：，
． 

【解析】直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出是的切线；
首先过点作，垂足为，则四边形为正方形，得出，，即可求出答案．
此题主要考查了切线的判定与性质以及锐角三角函数关系的应用，正确利用得出的长是解题关键．
 

24.【答案】解：四边形和四边形是正方形，
，，
点在上，
，
是的中点，
，
，，
，，
，
，
，；
解：四边形和四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，
设，则，
，
，
，舍去，
，
；
证明：如图，

延长至，是，连接，延长，交于点，交于点，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
． 

【解析】可推出在上，从而得出直角三角形，根据直角三角形性质得出，进一步得出结果；
可证得≌，从而，设，则，根据勾股定理，从而得出，求得的值，进一步得出结果；
延长至，是，连接，延长，交于点，交于点，可证得≌，从而，，进而证得，进而得出≌，从而得出，，进而得出，从而．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
 

25.【答案】解：，
，
将代入，得，
点在直线上；
当时，，
，
联立，
，
，
点横坐标为，
恰好是线段的中点，
，
；
存在，理由如下：
当时，，
令，则，
，
设，，
设直线的解析式为，
联立，
，
，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，，
，
∽，
，
，，，，
，
，
，
当时，，
直线经过定点． 

【解析】求出，判断点在直线上即可；
联立，则，由韦达定理可得，可知点横坐标为，再由中点坐标公式可得，即可求；
设直线的解析式为，联立，得到，由韦达定理可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可证明∽，则，即，可求与的关系为：，则直线的解析式为，当时，，由此可知直线经过定点．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质，会求函数交点坐标，灵活应用韦达定理是解题的关键．