2023年湖北省武汉市中考数学试卷（含解析）

2023年湖北省武汉市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性下列汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是(    )

A. 点数的和为 B. 点数的和为 C. 点数的和大于 D. 点数的和小于

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  关于反比例函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
D. 图象经过点，则

7.  某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“米”与“米”两个项目的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，计算的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相
切，切点为，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点已知，，，则内部的格点个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  写出一个小于的正无理数是______ ．

12.  新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在将数据亿用科学记数法表示为的形式，则的值是______ 备注：亿．

13.  如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是______ 结果精确到，参考数据，，

14.  我国古代数学经典著作九章算术记载：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程单位：步关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是______ ．

15.  抛物线是常数，经过，，三点，且下列四个结论：
；
；
当时，若点在该抛物线上，则；
若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是______ 填写序号．

16.  如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点若，，用含，的式子表示的长是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ：
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；

Ⅳ原不等式组的解集是______ ．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接．
求证：；
若，平分，直接写出的形状．

19.  本小题分
某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳
动时间单位：作为样本，将收集的数据整理后分为，，，，五个组别，其中组的数据分别为：，，，，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表

请根据以上信息解答下列问题．
组数据的众数是______ ；
本次调查的样本容量是______ ，组所在扇形的圆心角的大小是______ ；
若该校有名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．

20.  本小题分
如图，，，都是的半径，．
求证：；
若，，求的半径．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
在图中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．

 

22.  本小题分
某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离单位：、飞行高度单位：随飞行时间单位：变化的数据如表．

探究发现与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围．
问题解决如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机根据上面的探究发现解决下列问题．
若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
在安全线上设置回收区域，，若飞机落到内不包括端点，，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．

 

23.  本小题分
问题提出如图，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小；
再探究一般情形，如图，求与的数量关系．
问题拓展将图特殊化，如图，当时，若，求的值．

 

24.  本小题分
抛物线交轴于，两点在的左边，交轴于点．
直接写出，，三点的坐标；
如图，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值；
如图，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、、选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、两枚骰子的点数的和为，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方计算，即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方与积的乘方法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，选项错误；
反比例函数，在每一个象限内，随着的增大而减小，故C选项正确；
反比例函数图象经过点，
，
解得或，
故D选项错误，
故选：．
利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：跳高记为项目、跳远记为项目、米短跑记为项目、米中长跑记为项目，
画树状图得：

共有种等可能的结果，恰好抽到“米”和“米”两项的有种情况，
恰好抽到“米”和“米”的概率是：．
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式

，
，
，
原式．
故选：．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而可得答案．
本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，设，
，
，
是的半径，，
是的切线，
与相切于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接、，设，由得，再证明是的切线，而与相切于点，则，由切线长定理得，，由，得，则，所以，，由勾股定理得，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
的面积为，边界上的格点个数，
，
，
．
故选：．
根据公式，先计算出和的值，即可求出的值．
本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一个小于的正无理数是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由于无理数是无限不循环小数，根据此定义即可找出一个比小的无理数．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
 

12.【答案】 

【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于，过点作于，

在中，，，
，
在中，，，
，
，
即与尺上沿的交点在尺上的读数是．
故答案为：．
过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解．
本题主要考查解直角三角形的的应用，构造直角三角形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知，不善行者函数解析式为，
善行者函数解析式为，
联立，
解得，
两图象交点的纵坐标为，
故答案为：．
根据题意去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点都在的左侧，
中，
抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，
抛物线的开口一定向下，即，
把代入得：，
即，
，，
，
故错误；
，，，，
方程的两个根的积大于，
即，
，
，
，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
抛物线的顶点在点的右侧，
，
，
，
故正确；
，
当时，，
抛物线对称轴在直线的右侧，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，抛物线开口向下，
距离抛物线越近的函数值越大，
，
故正确；
方程可变为，
方程有两个相等的实数解，
．
把代入得，即，
，
即，
，
，
即，
，在抛物线上，
，为方程的两个根，
，
，
，
，
．
 故正确．
综上，正确的结论有：．
故答案为：．
根据图象经过，，且抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得，即可判断错误；
先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可判断正确；
先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出正确；
根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出求出的取值范围，即可判断正确．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
折叠得到，
≌，
，，
平分等边的面积，
图形的面积，
，
，，
∽，∽，
，
，
，
解得或不合题意舍去，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得到，根据折叠的性质得到≌，根据已知条件得到图形的面积，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：，
Ⅰ解不等式，得；
故答案为：；
Ⅱ解不等式，得；
故答案为：；
Ⅲ把不等式和不等式的解集在数轴上表示出来如下：

Ⅳ原不等式组的解集是．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
，
．
解：是等边三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形． 

【解析】由平行线的性质得到而，因此推出，得到．
由平行线的性质，角平分线定义得到，由三角形内角和定理得到，即可推出是等边三角形．
本题考查平行线的性质和判定，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出．
 

19.【答案】     

【解析】解：组的数据分别为：，，，，，
组数据的众数是；
故答案为：；
本次调查的样本容量是，
，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
人，
答：估计该校学生劳动时间超过的大约有人．
利用众数的定义即可得出答案；
由组的人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以组所占百分比即可；
用总人数乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占百分比即可．
本题考查频数率分布表，扇形图和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】证明：，，，
；
解：过点作半径于点，
，
，，
．
．
，，
，，
在中，，
，
在中，，
，
解得，
即的半径是． 

【解析】利用圆周角定理可得，，结合可证明结论；
过点作半径于点，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，结可求得，，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径．
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，线段和点即为所求；
理由：，，，
≌，
，
，
线段绕点顺时针旋转 得，
，
，，
，
≌，
，
；

如图所示，点与点即为所求，
理由：，，，
≌，
，
，
与关于对称
，
，关于对称，
，
∽，
，

，
，
，
∽，
，
，
，
由轴对称可得，
． 

【解析】取格点，连接，连接，再取格点，连接交于，连接，延长交于即可；
取格点，连接、，交格线于，再取格点，，连接交于，连接并延长交于即可．
本题考查了作图旋转变换，轴对称变换，勾股定理、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
 

22.【答案】解：探究发现：与是一次函数关系，与是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，，

问题解决：依题意，得．
解得，舍，，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．

设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度

，，．
在中，
当，时，；
当，时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 

【解析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：令二次函数代入函数解析式即可求解；
设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度结合，即可求解．
本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解：问题探究如图中，在上截取，使得．

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
；

结论：；
理由：在上截取，使，连接．

，
，
．
，
≌．
．
，
．
，
，
；

问题拓展：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为．

，
，．
在中，，
，
，，
，
由知，，
，
∽．
，
，
，
由知，，
．
． 

【解析】问题探究如图中，在上截取，使得证明≌，推出，可得结论；
结论：；在上截取，使，连接证明方法类似；
问题拓展解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为用表示出，，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
 

24.【答案】解：当时，，
解得：，，
当时，，
，，．
是直线与抛物线的交点，
．
如图，若∽时．
则，
．
，
．
解得，舍去或．

如图，若∽时．
过作轴于点．
，
，，
，
又，
∽，
，
，，
，．
，，
，
，
解得：舍去或，
综上，符合题意的的值为或；
点在一条定直线上．
由题意知抛物线：，
直线的解析式为，
．
是的中点，
．
设，，直线的解析式为．
则，
解得：，
直线的解析式为．
直线经过点，
．
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．

联立，得，
直线与相交于点，
．
解得：，
，

设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数，得，
，．
当，时，无论，为何值时，等式恒成立．
点在定直线上． 

【解析】分别令、为，解方程即可求得点、、的坐标；
分两种情况：若∽时，可得，由平行线的判定可得，即轴，点与的纵坐标相同，建立方程求解即可．若∽时，过作轴于点可证得∽，，即，解方程即可求得答案；
由题意知抛物线：，联立方程求解即可得根据中点坐标公式可得设，，可得直线的解析式为将点的坐标代入可得同理，直线的解析式为；直线的解析式为联立方程组求解可得代入，整理得，比较系数可得，，故点在定直线上．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．