备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第三章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算、定积分

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第三章 导数及其应用 第1节 导数的概念及运算、定积分，共19页。试卷主要包含了了解导数概念的实际背景；2，函数y＝f的导函数，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，复合函数的导数，定积分的性质，1米/秒 米/秒，5)＝－9等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq \r(x)的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的形式)的导数；5.了解定积分的概念及简单应用．
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝
eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
6.定积分的性质
(1)eq \i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq \i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数).
(2)eq \i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq \i\in(a,b,)f1(x)dx±eq \i\in(a,b,)f2(x)dx.
(3)eq \i\in(a,b,)f(x)dx＝eq \i\in(a,c,)f(x)dx＋eq \i\in(c,b,)f(x)dx(其中a＜c＜b).
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f（x）)))′＝－eq \f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cs x.( )
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( )
(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )
(5)若eq \i\in(a,b,)f(x)dx0)的图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为( )
A.eq \f(2,3)eeq \s\up6(\f(3,4)) B.eq \f(3,2)eeq \s\up6(\f(3,4))
C.eq \f(4,3)eeq \s\up6(\f(2,3)) D.eq \f(3,4)eeq \s\up6(\f(2,3))
答案 D
解析 设P(x0，y0)，由于P为公共点，
则eq \f(1,2)xeq \\al(2,0)＋2ax0＝3a2ln x0＋2b.
又点P处的切线相同，则f′(x0)＝g′(x0)，
即x0＋2a＝eq \f(3a2,x0)，即(x0＋3a)(x0－a)＝0.
又a>0，x0>0，则x0＝a，于是2b＝eq \f(5,2)a2－3a2ln a.
设h(x)＝eq \f(5,2)x2－3x2ln x，x>0，
则h′(x)＝2x(1－3ln x).
可知：当x∈(0，eeq \s\up6(\f(1,3)))时，h(x)单调递增；
当x∈(eeq \s\up6(\f(1,3))，＋∞)时，h(x)单调递减.
故h(x)max＝h(eeq \s\up6(\f(1,3)))＝eq \f(3,2)eeq \s\up6(\f(2,3))，
于是b的最大值为eq \f(3,4)eeq \s\up6(\f(2,3))，选D.
二、切点不同的公切线问题
例2 曲线y＝－eq \f(1,x)(x0，即2ln t－eq \f(2,t)－1＝0，只需探究此方程解的个数.
易知函数f(x)＝2ln x－eq \f(2,x)－1在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－30，于是f(x)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.
1.函数f(x)＝x2＋ln x＋sin x＋1的导函数f′(x)＝( )
A.2x＋eq \f(1,x)＋cs x＋1 B.2x－eq \f(1,x)＋cs x
C.2x＋eq \f(1,x)－cs x D.2x＋eq \f(1,x)＋cs x
答案 D
解析 由f(x)＝x2＋ln x＋sin x＋1得f′(x)＝2x＋eq \f(1,x)＋cs x.
2.曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3，2)处的切线的斜率是( )
A.2 B.－2 C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)
答案 D
解析 y′＝eq \f(（x＋1）′（x－1）－（x＋1）（x－1）′,（x－1）2)
＝－eq \f(2,（x－1）2)，
故曲线在点(3，2)处的切线的斜率
k＝y′|x＝3＝－eq \f(2,（3－1）2)＝－eq \f(1,2).
3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f(x)＝x3＋2xf′(0)，则f′(1)＝( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
解析 f′(x)＝3x2＋2f′(0)，
∴f′(0)＝2f′(0)，解得f′(0)＝0，
∴f′(x)＝3x2，∴f′(1)＝3.
4.曲线f(x)＝x3－2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤\f(5,2)))，过点P(2，0)的切线方程为( )
A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0
C.x－y－2＝0 D.x－y＋2＝0
答案 A
解析 因为f(2)＝23－2×22＋2＝2≠0，
所以点(2，0)不在曲线f(x)＝x3－2x2＋2上.
设切点坐标为(x0，y0)，且eq \f(1,2)≤x0≤eq \f(5,2)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝xeq \\al(3,0)－2xeq \\al(2,0)＋2，,\f(0－y0,2－x0)＝f′（x0），))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝xeq \\al(3,0)－2xeq \\al(2,0)＋2，,\f(－y0,2－x0)＝3xeq \\al(2,0)－4x0，))
消去y0，整理得(x0－1)(xeq \\al(2,0)－3x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝eq \f(3＋\r(5),2)(舍去)或x0＝eq \f(3－\r(5),2)(舍去)，
所以y0＝1，f′(x0)＝－1，
所以所求的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
5.(2022·昆明诊断)若直线y＝ax与曲线y＝ln x－1相切，则a＝( )
A.e B.1 C.eq \f(1,e) D.eq \f(1,e2)
答案 D
解析 由y＝ln x－1，得y′＝eq \f(1,x)，设切点为(x0，ln x0－1)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax0＝ln x0－1，,a＝\f(1,x0)，))解得a＝eq \f(1,e2).
6.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq \f(f（4）－f（2）,4－2)＝a，则下列不等式正确的是( )
A.a