(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第11篇基本不等式01（含解析）

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  高考数学选填题专项测试01（基本不等式）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（·河北高三期末（文））已知递增等差数列中，，则的（    ）A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.2．（·山西高三期末（理））若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【详解】因为两个不等的实根是和，不妨令，故可得，解得，则=，故选：C.【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.3．（·海南高三月考）已知，且，则的最小值为（  ）A．4 B． C．8 D．2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求得结果.【详解】由得：，（当且仅当，即时取等号）故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.4．（·内蒙古高三期末）的最小值为（   ）A．2 B．16 C．8 D．12【答案】B【解析】【分析】利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.【详解】∵，∴，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.5．（·广东中山纪念中学高三月考（文、理））已知，均为正实数，且，则的最小值为（   ）A．20 B．24 C．28 D．32【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型即可得出.详解：均为正实数，且，则 当且仅当时取等号.      的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.6．（·海南中学高三月考）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（  ）A．      B． C． D．【答案】D【解析】【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.【详解】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.7.（·天水市第一中学高三月考（文））已知，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）A．9 B．12 C．16 D．20【答案】C【解析】【分析】可左右同乘，再结合基本不等式求解即可【详解】，， ，当且仅当时，等号成立，故。【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题8．（·四川石室中学高三月考（文、理））设，，且，，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式可求出的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出的最小值.【详解】，，且，，，，当且仅当时取等号.，则的最小值是.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.9．（·广东高三月考（文））如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.10. （·江苏南京师大附中高三月考）在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知可得，结合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.【详解】,由正弦定理得，由余弦定理得，，，当且仅当时，等号成立，，所以的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.11.（·天水市第一中学高三月考（理、文））实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先将目标函数化为，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到，再由，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由得，因为，所以直线的斜率为，作出不等式对应的平面区域如下：由图像可得：当直线经过点时，直线在轴截距最小，此时最小。由解得，即，此时目标函数的最小值为，即，所以.当且仅当，即时，等号成立.故选：D【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.12.（·内蒙古高三期末（文、理））已知，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据均值不等式，可有，则，，，，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。【详解】因为，所以，所以，所以，，，所以两边分别相加得，当且仅当 取等号，故选：B【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.第II卷（非选择题) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13．（·广西柳州高级中学高三开学考试（文））已知，则函数的最小值为_______.【答案】7【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可．【详解】，，．当且仅当，即，即时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．14．（·江苏高三月考）若均为非负实数，且，则的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由条件可得，然后将变形为，运用基本不等式即可求出.【详解】因为，且均为非负实数，所以所以当且仅当即时取得最小值，所以的最小值为1，此时，故答案为：1【点睛】当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.15.（·江苏南京师大附中高三月考）在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为____________.【答案】12【解析】【分析】求出直线方程，设点坐标，求出直线的方程，进而求出直线与轴交点的坐标，将所求三角形的面积表示成点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.【详解】点，直线方程为，点在线段的延长线上，设，当时，，当，且时，直线方程为，令，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为12.故答案为:12.【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档题.16．（·湖南长沙一中高三月考（理））如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.【答案】．【解析】【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【详解】根据条件：,,又,.又,,三点共线,.,,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式的应用,属于中等题型.