(通用版)高考数学二轮复习选填题专项测试第16篇椭圆01（含解析）

  高考数学选填题专项测试01（椭圆）

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（·福建高三月考）椭圆：的焦点坐标为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】【分析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标.

【详解】因为椭圆：，所以标准方程为，解得，

因为焦点在y轴上，所以焦点坐标为，.故选：B

【名师点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2．（·江西省南城一中高三期末）与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因且焦点在轴上，渐近线为,故应选A.

考点：椭圆、双曲线的标准方程与几何性质.

3．（·广东高三月考）已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长为 的圆上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【分析】在圆上，由题意可得，当，，三点共线时取得最大值，再由椭圆的定义可得的最大值．

【详解】由椭圆的方程可得焦点在轴上，，即，由题意可得，当，，三点共线时取得最大值， 而，所以的最大值为4，故选：．

【名师点睛】考查椭圆的定义和性质，还涉及椭圆的焦点三角形以及三点共线，属于中档题．

4．（·库车县乌尊镇中学高三月考）已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过点F2且斜率为的直线l交直线2bx+ay=0于M,若M在以线段F1F2为直径的圆上,则该椭圆的离心率为    (  )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【分析】由已知得出过点F2且斜率为的直线l的方程，与2bx+ay=0联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可求得，进而求出离心率．

【详解】设过点F2且斜率为的直线l的方程为y=（x-c），与2bx+ay=0联立，可得交点

∵点M在以线段F1F2为直径的圆：x2+y2=c2上，∴ ∴ 则，由 可得 .故选：C．

【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查离心率的求法，考查直线的点斜式、圆的方程的应用，属于基础题．

5．（·四川省泸县第四中学高三月考）已知是椭圆：的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F′，则有|PF|+|PF′|＝，而所求|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，从而求出|PA|+|PF|的最大值．

【详解】如图，设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝；又F′（﹣1，0），|AF′|，

∴|PA|+|PF|＝+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|，∴|PA|+|PF|的最大值为，故选D．

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．

6．（·福建省仙游县枫亭中学高三期末）已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.根据正三角形性质可得结合椭圆定义,可由勾股定理求得椭圆的离心率.

【详解】由题意可知,画出几何图形如下图所示:

由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.由椭圆定义可知,且为正三角形，所以则，

由正三角形性质可知为直角三角形，所以

即,化简可得，所以 故选:C

【名师点睛】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程与几何性质的综合应用,椭圆离心率的求法,属于中档题.

7. （·湖南高三期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，点.已知动点在椭圆上，且点，，不共线，若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】【分析】当，，共线时，此时的周长的最小，即可得到，再根据离心率公式计算即可．

【详解】的周长为，当，，共线时，此时周长最小，

，，，故选：．

【名师点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，

8．（·河南鹤壁高中高三）椭圆上的点到直线的最大距离为(   )

A．10 B． C． D．

【答案】B

【解析】【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.

【详解】设直线与椭圆相切．由消去x整理得.由得.当时符合题意(舍去)．

即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:

【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.

9．（·盘县红果镇育才学校高三月考（文））已知椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【分析】设，，中点坐标，坐标代入椭圆方程后两式相减，可得关于的等式，从而求得离心率．

【详解】设，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，

两式子相减得到，，结合，，，且，代入上面式子得到，，

【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，考查直线与椭圆相交，弦中点问题常常采用点差法，即设两交点坐标代入椭圆方程后相减可得直线斜率与中点坐标的关系．

10．（·钦州市第三中学高三月考）设椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点.若，则直线的斜率为(  )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【分析】由可得：，又，又，从而得到结果.

【详解】∵，∴，即椭圆方程为：,设，A，且，即,，又，∴，

【名师点睛】本题考查椭圆的方程与简单的几何性质，利用好二级结论是解题的关键,属于中档题.

11. （·广东深圳外国语学校高三月考）椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，且，，点，，则的面积为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】【分析】根据题意，求得，即可求得、、，结合余弦定理即可求得，即可由三角形面积公式求解.

【详解】椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，且，，可得，则，所以，不妨设，，，由余弦定理可得，

解得，即，所以的面积为故选：C．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及几何性质的简单应用，余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.

12. （·安徽六安一中高三月考）已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】【分析】根据椭圆的离心率，求出的值，得到椭圆的标准方程，然后根据，结合，得到的坐标表示，得到关于的函数，结合的范围，得到答案.

【详解】椭圆的，其离心率为，所以，所以，

所以，所以椭圆标准方程为，设，，

则，因为，所以，

所以，所以是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，所以.选：A.

【名师点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.

第II卷（非选择题)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。

13.（·平顶山市第一中学高三月考）“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.

【答案】

【解析】【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.

【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,可得，解得，所以椭圆的离心率为.

【名师点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

14. （·云南师大附中高三月考）设、为椭圆:的两个焦点，为上点，，则的面积为______.

【答案】1

【解析】【分析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【详解】由题意可知，，，，则.如下图，由题意知，由勾股定理得，由椭圆定义得，

将该等式两边平方得，，

因此，的面积为，故答案为.

【名师点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

15. （·湖南雅礼中学高三月考）点P为椭圆上的任意一点，AB为圆的任意一条直径,若的最大值为15,则a=_____.

【答案】3

【解析】【分析】利用向量的运算，将目标式转化为，再根据焦半径的范围，即可找到取得最大值时的条件，据此即可求得结果.

【详解】圆M：(x﹣1)2+y2=1的圆心M(1,0)，半径为1，AB为圆M的直径，可得，

椭圆C：1(a>1)的焦点为(﹣1,0)，(1,0)，则()(

=()()=，又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，

可得≤(a+c)2﹣1=15，当P为椭圆的左顶点(﹣a,0)，上式取得等号，则a+c=4，又c=1，可得a=3.

【名师点睛】本题考查向量的运算，焦半径的范围问题，属综合性中档题.

16. （·扬州市江都区大桥高级中学高三月考）已知椭圆的上顶点为B，若椭圆上离点B最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为________．

【答案】

【解析】【分析】设，利用两点间距离公式得到，利用换元法得到二次函数的对称轴位置；由最大值取得的位置可确定对称轴位置应在的左侧，从而得到关于的齐次不等式，进而求得离心率的范围.

【详解】由题意得：，设为椭圆上任意一点

,令，

对称轴为 ,的最大值为且在为椭圆下顶点时取得最大值

最大时，,在上单调递减,，即    ,    ,故答案为：

【名师点睛】本题考查椭圆离心率取值范围的求解问题，关键是能够通过两点间距离公式得到关于距离的函数关系式，利用二次函数最值取得的位置可确定函数的单调性，进而利用对称轴的位置得到关于的齐次不等式.