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备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第五章 培优课 §5.4 平面向量的综合应用
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这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第五章 培优课 §5.4 平面向量的综合应用，共12页。
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)如图，在△ABC中，cs∠BAC＝eq \f(1,4)，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝eq \f(\r(15),2)，则△ABC的面积的最大值为________．
答案 eq \r(15)
解析 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，又AD＝eq \f(\r(15),2)，cs∠BAC＝eq \f(1,4)，
所以eq \(AD,\s\up6(—→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\(AC,\s\up6(→))))2＝eq \f(1,16)c2＋eq \f(9,16)b2＋eq \f(3,8)bccs∠BAC＝eq \f(1,16)c2＋eq \f(9,16)b2＋eq \f(3,32)bc，
又eq \f(15,4)＝eq \f(1,16)c2＋eq \f(9,16)b2＋eq \f(3,32)bc＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)c))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)b))2＋eq \f(3,32)bc≥2×eq \f(1,4)c×eq \f(3,4)b＋eq \f(3,32)bc＝eq \f(15,32)bc，
当且仅当c＝3b时，等号成立．
所以bc≤8，又sin∠BAC＝eq \f(\r(15),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin∠BAC≤eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(15),4)＝eq \r(15).
(2)(2022·天津)在△ABC中，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中点，eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，试用a，b表示eq \(DE,\s\up6(→))为________，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，则∠ACB的最大值为________．
答案 eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a eq \f(π,6)
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝b－a，
由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，
所以cs∠ACB＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3b2＋a2,4|a||b|)≥eq \f(2\r(3)|a||b|,4|a||b|)＝eq \f(\r(3),2)，
当且仅当|a|＝eq \r(3)|b|时取等号，而0<∠ACB<π，
所以∠ACB∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))).
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案 A
解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，
eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)在∠A的角平分线上，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，
即∠BAC＝60°，
可得△ABC是等边三角形．
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6) C．3eq \r(3) D．6
答案 A
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
设AB＝x，则eq \(AD,\s\up6(—→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2，
得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cs 60°＋eq \f(1,9)×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|
＝eq \r(\(\s\up7( ),\s\d5( ))|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(AC,\s\up6(→))|2－2|\(AB,\s\up6(→))|·|\(AC,\s\up6(→))|cs 60°)
＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．3 B．3eq \r(2) C．1 D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 由题意知，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(\(BC,\s\up6(→)),3)＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→)),3)＝eq \f(2\(AB,\s\up6(→)),3)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),3)，又eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2\(AM,\s\up6(→)),3x)＋eq \f(\(AN,\s\up6(→)),3y)，
由M，P，N三点共线，得eq \f(2,3x)＋eq \f(1,3y)＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3x)＋\f(1,3y)))＝eq \f(5,3)＋eq \f(2x,3y)＋eq \f(2y,3x)≥eq \f(5,3)＋2eq \r(\f(2x,3y)·\f(2y,3x))＝3，当且仅当x＝y时等号成立．
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 2－2eq \r(2)
解析 如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
设P(cs θ，sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，
则eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－cs θ，1－sin θ)，
eq \(PD,\s\up6(→))＝(－cs θ，1－sin θ)，
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－2cs θ＋cs2θ＋1－2sin θ＋sin2θ
＝2－2(sin θ＋cs θ)
＝2－2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取最小值，最小值为2－2eq \r(2).
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[eq \r(2)－1，eq \r(2)]
C．[eq \r(2)，eq \r(2)＋1] D．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
答案 A
解析 a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝eq \r(x－12＋y－12)＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故eq \r(12＋12)－1≤|c|≤eq \r(12＋12)＋1，∴eq \r(2)－1≤|c|≤eq \r(2)＋1.
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，∠BAC＝120°，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，M为线段EF的中点，若|eq \(AM,\s\up6(→))|＝1，则λ＋μ的最大值为( )
A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(2\r(7),3) C．2 D.eq \f(\r(21),3)
答案 C
解析 eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(μ,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
故|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(μ,2)\(AC,\s\up6(→))))2＝λ2＋μ2＋eq \f(λμ,2)×4cs 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，
故1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－eq \f(3,4)(λ＋μ)2，故λ＋μ≤2.
当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．
即λ＋μ的最大值为2.
(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(2)－1 C．2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2
＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝12，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
由平面向量模的三角不等式可得|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))|≥||eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))||＝2eq \r(3)－1.
当且仅当eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))方向相反时，等号成立．
因此|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为2eq \r(3)－1.
(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
答案 D
解析 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3,0)，B(0,4)．
设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x,4－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2－eq \f(25,4).
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))距离的平方，圆心(0,0)到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))的距离为eq \f(5,2)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－1))2－\f(25,4)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋1))2－\f(25,4)))，
即eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－4,6]，故选D.
课时精练
1．四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝0，则这个四边形是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形
答案 A
解析 由题意，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，
又(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形．
2．(2022·合肥模拟)非零向量a，b满足|a|＝2，a在b方向上的投影为eq \r(3)，则|a－b|的最小值为( )
A．1 B.eq \r(3) C．2 D．2eq \r(3)
答案 A
解析 ∵a在b方向上的投影为eq \r(3)，
∴|a|cs〈a，b〉＝eq \r(3)，
∴|a－b|＝eq \r(|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cs〈a，b〉)＝eq \r(|b|2－2\r(3)|b|＋4)，
∴当|b|＝eq \r(3)时，|a－b|min＝eq \r(3－6＋4)＝1.
3.如图，在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，E为线段AD上的动点，且eq \(CE,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
答案 D
解析 由已知得eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，∴eq \(CE,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋3yeq \(CD,\s\up6(→))，
∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，
∴x＋3y＝1且x>0，y>0，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))(x＋3y)＝10＋eq \f(3y,x)＋eq \f(3x,y)≥10＋2eq \r(\f(3y,x)·\f(3x,y))＝16，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,4)时，等号成立．
故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为16.
4．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，G为△ABC的重心，若eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，则△ABC外接圆的半径为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(4\r(3),3) C．2 D．2eq \r(3)
答案 C
解析 由eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，可得eq \(AG,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则有AG⊥BC，
又在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，G为△ABC的重心，则△ABC为等边三角形．
则eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(AB,\s\up6(→))|2cs \f(π,3)))＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝6，
解得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
则△ABC外接圆的半径为eq \f(1,2)×eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,sin \f(π,3))＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝2.
5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是( )
A．－eq \f(5,8) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(3,8) D．－eq \f(1,4)
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，
故(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2－eq \f(5,8)，
所以当x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,2)时，(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(5,8).
6．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于( )
A．1 B．2 C．1＋eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5)
答案 D
解析 向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，
不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，
∵c·(a＋b－c)＝0，
∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，
即x2＋y2－x－2y＝0，
整理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋(y－1)2＝eq \f(5,4)，则|c|表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，半径为eq \f(\r(5),2)的圆上的点到原点的距离，
则|c|的最大值为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋12)＋eq \f(\r(5),2)＝eq \r(5).
7．(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
①若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的重心；
②若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，则点O为△ABC的垂心；
③若(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心；
④若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则点O为△ABC的内心．
A．①②④ B．①③④
C．①③ D．②④
答案 C
解析 对于①，设D为BC的中点，由于eq \(OA,\s\up6(→))＝－(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－2eq \(OD,\s\up6(→))，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，①正确；
对于②，向量eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为eq \(AC′,\s\up6(—→))和eq \(AB′,\s\up6(—→))，则它们的差是向量eq \(B′C′,\s\up6(——→))，则当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(B′C′,\s\up6(——→))时，点O在∠BAC的角平分线上，同理由eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，知点O在∠ABC的角平分线上，故O为△ABC的内心，②错误；
对于③，由(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，得(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OA,\s\up6(→))2，故|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|，同理有|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，于是O为△ABC的外心，③正确；
对于④，由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OB,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→))，同理可证eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，④错误．
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[1,2] B．[2,3]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
答案 B
解析 如图所示，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝eq \r(3)，
又eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＋eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＋eq \(PO,\s\up6(→))·(eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))－1＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1，
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为eq \r(3)，此时|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1＝2，
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1＝3，
故eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是[2,3]．
9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________．
答案 7
解析 以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，
则2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7,3a－5b)，
|2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(49＋3a－5b2)≥7，当且仅当b＝eq \f(3a,5)时取得最小值7.
10．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 5
解析 取BC的中点O，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2eq \r(3))，设P(x，y)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－2eq \r(3))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－2eq \r(3))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(3))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq \(AC,\s\up6(→))＝(4－6λ，2eq \r(3)λ－4eq \r(3))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－6λ，,y＝2\r(3)λ－2\r(3)，))
∴P(4－6λ，2eq \r(3)λ－2eq \r(3))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(6λ－4,4eq \r(3)－2eq \r(3)λ)，
eq \(PC,\s\up6(→))＝(6λ－2,2eq \r(3)－2eq \r(3)λ)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4eq \r(3)－2eq \r(3)λ)(2eq \r(3)－2eq \r(3)λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，
当λ＝eq \f(3,4)时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值5.
11．(2022·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
答案 eq \f(1,16)
解析 ∵λ，μ为正实数，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，故eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋4μeq \(AD,\s\up6(→))，
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝eq \f(1,4)·λ·4μ≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ＋4μ,2)))2＝eq \f(1,16)，当且仅当λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,8)时取等号，故λμ的最大值为eq \f(1,16).
12．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq \(PA\\al(2,1),\s\up6(———→))＋eq \(PA\\al(2,2),\s\up6(———→))＋…＋eq \(PA\\al(2,8),\s\up6(———→))的取值范围是______________．
答案 [12＋2eq \r(2)，16]
解析 以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1(0,1)，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，A3(1,0)，
A4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A5(0，－1)，A6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，
A7(－1,0)，A8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
设P(x，y)，
于是eq \(PA\\al(2,1),\s\up6(———→))＋eq \(PA\\al(2,2),\s\up6(———→))＋…＋eq \(PA\\al(2,8),\s\up6(———→))＝8(x2＋y2)＋8，
因为cs 22.5°≤|OP|≤1，
所以eq \f(1＋cs 45°,2)≤x2＋y2≤1，
故eq \(PA\\al(2,1),\s\up6(———→))＋eq \(PA\\al(2,2),\s\up6(———→))＋…＋eq \(PA\\al(2,8),\s\up6(———→))的取值范围是[12＋2eq \r(2)，16]．
题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)如图，在△ABC中，cs∠BAC＝eq \f(1,4)，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝eq \f(\r(15),2)，则△ABC的面积的最大值为________．
答案 eq \r(15)
解析 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，又AD＝eq \f(\r(15),2)，cs∠BAC＝eq \f(1,4)，
所以eq \(AD,\s\up6(—→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\(AC,\s\up6(→))))2＝eq \f(1,16)c2＋eq \f(9,16)b2＋eq \f(3,8)bccs∠BAC＝eq \f(1,16)c2＋eq \f(9,16)b2＋eq \f(3,32)bc，
又eq \f(15,4)＝eq \f(1,16)c2＋eq \f(9,16)b2＋eq \f(3,32)bc＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)c))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)b))2＋eq \f(3,32)bc≥2×eq \f(1,4)c×eq \f(3,4)b＋eq \f(3,32)bc＝eq \f(15,32)bc，
当且仅当c＝3b时，等号成立．
所以bc≤8，又sin∠BAC＝eq \f(\r(15),4)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin∠BAC≤eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(15),4)＝eq \r(15).
(2)(2022·天津)在△ABC中，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中点，eq \(CB,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，试用a，b表示eq \(DE,\s\up6(→))为________，若eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，则∠ACB的最大值为________．
答案 eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a eq \f(π,6)
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝b－a，
由eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，
所以cs∠ACB＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3b2＋a2,4|a||b|)≥eq \f(2\r(3)|a||b|,4|a||b|)＝eq \f(\r(3),2)，
当且仅当|a|＝eq \r(3)|b|时取等号，而0<∠ACB<π，
所以∠ACB∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))).
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案 A
解析 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)分别表示eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量，
eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)在∠A的角平分线上，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，
即∠BAC＝60°，
可得△ABC是等边三角形．
(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6) C．3eq \r(3) D．6
答案 A
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
设AB＝x，则eq \(AD,\s\up6(—→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2，
得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cs 60°＋eq \f(1,9)×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|
＝eq \r(\(\s\up7( ),\s\d5( ))|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(AC,\s\up6(→))|2－2|\(AB,\s\up6(→))|·|\(AC,\s\up6(→))|cs 60°)
＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 如图，在△ABC中，点P满足2eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为( )
A．3 B．3eq \r(2) C．1 D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 由题意知，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(\(BC,\s\up6(→)),3)＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→)),3)＝eq \f(2\(AB,\s\up6(→)),3)＋eq \f(\(AC,\s\up6(→)),3)，又eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2\(AM,\s\up6(→)),3x)＋eq \f(\(AN,\s\up6(→)),3y)，
由M，P，N三点共线，得eq \f(2,3x)＋eq \f(1,3y)＝1，
∴2x＋y＝(2x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3x)＋\f(1,3y)))＝eq \f(5,3)＋eq \f(2x,3y)＋eq \f(2y,3x)≥eq \f(5,3)＋2eq \r(\f(2x,3y)·\f(2y,3x))＝3，当且仅当x＝y时等号成立．
故2x＋y的最小值为3.
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 2－2eq \r(2)
解析 如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
设P(cs θ，sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，
则eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－cs θ，1－sin θ)，
eq \(PD,\s\up6(→))＝(－cs θ，1－sin θ)，
eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－2cs θ＋cs2θ＋1－2sin θ＋sin2θ
＝2－2(sin θ＋cs θ)
＝2－2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取最小值，最小值为2－2eq \r(2).
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1] B．[eq \r(2)－1，eq \r(2)]
C．[eq \r(2)，eq \r(2)＋1] D．[2－eq \r(2)，2＋eq \r(2)]
答案 A
解析 a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝eq \r(x－12＋y－12)＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故eq \r(12＋12)－1≤|c|≤eq \r(12＋12)＋1，∴eq \r(2)－1≤|c|≤eq \r(2)＋1.
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，∠BAC＝120°，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，M为线段EF的中点，若|eq \(AM,\s\up6(→))|＝1，则λ＋μ的最大值为( )
A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(2\r(7),3) C．2 D.eq \f(\r(21),3)
答案 C
解析 eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))＝eq \f(λ,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(μ,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
故|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(μ,2)\(AC,\s\up6(→))))2＝λ2＋μ2＋eq \f(λμ,2)×4cs 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，
故1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－eq \f(3,4)(λ＋μ)2，故λ＋μ≤2.
当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．
即λ＋μ的最大值为2.
(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(2)－1 C．2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2
＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝12，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
由平面向量模的三角不等式可得|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))|≥||eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))||＝2eq \r(3)－1.
当且仅当eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))方向相反时，等号成立．
因此|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为2eq \r(3)－1.
(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－5,3] B．[－3,5]
C．[－6,4] D．[－4,6]
答案 D
解析 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(3,0)，B(0,4)．
设P(x，y)，
则x2＋y2＝1，eq \(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x,4－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2－eq \f(25,4).
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))距离的平方，圆心(0,0)到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))的距离为eq \f(5,2)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－1))2－\f(25,4)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋1))2－\f(25,4)))，
即eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))∈[－4,6]，故选D.
课时精练
1．四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝0，则这个四边形是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形
答案 A
解析 由题意，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，
又(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形．
2．(2022·合肥模拟)非零向量a，b满足|a|＝2，a在b方向上的投影为eq \r(3)，则|a－b|的最小值为( )
A．1 B.eq \r(3) C．2 D．2eq \r(3)
答案 A
解析 ∵a在b方向上的投影为eq \r(3)，
∴|a|cs〈a，b〉＝eq \r(3)，
∴|a－b|＝eq \r(|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cs〈a，b〉)＝eq \r(|b|2－2\r(3)|b|＋4)，
∴当|b|＝eq \r(3)时，|a－b|min＝eq \r(3－6＋4)＝1.
3.如图，在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，E为线段AD上的动点，且eq \(CE,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为( )
A．8 B．9 C．12 D．16
答案 D
解析 由已知得eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，∴eq \(CE,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋3yeq \(CD,\s\up6(→))，
∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，
∴x＋3y＝1且x>0，y>0，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))(x＋3y)＝10＋eq \f(3y,x)＋eq \f(3x,y)≥10＋2eq \r(\f(3y,x)·\f(3x,y))＝16，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,4)时，等号成立．
故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为16.
4．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，G为△ABC的重心，若eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝6，则△ABC外接圆的半径为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(4\r(3),3) C．2 D．2eq \r(3)
答案 C
解析 由eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，可得eq \(AG,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则有AG⊥BC，
又在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，G为△ABC的重心，则△ABC为等边三角形．
则eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(AB,\s\up6(→))|2cs \f(π,3)))＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝6，
解得|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
则△ABC外接圆的半径为eq \f(1,2)×eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,sin \f(π,3))＝eq \f(1,2)×eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝2.
5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值是( )
A．－eq \f(5,8) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(3,8) D．－eq \f(1,4)
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，
故(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2－eq \f(5,8)，
所以当x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,2)时，(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(PB,\s\up6(→))取得最小值－eq \f(5,8).
6．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于( )
A．1 B．2 C．1＋eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5)
答案 D
解析 向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，
不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，
∵c·(a＋b－c)＝0，
∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，
即x2＋y2－x－2y＝0，
整理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋(y－1)2＝eq \f(5,4)，则|c|表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，半径为eq \f(\r(5),2)的圆上的点到原点的距离，
则|c|的最大值为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋12)＋eq \f(\r(5),2)＝eq \r(5).
7．(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
①若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的重心；
②若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，则点O为△ABC的垂心；
③若(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，则点O为△ABC的外心；
④若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则点O为△ABC的内心．
A．①②④ B．①③④
C．①③ D．②④
答案 C
解析 对于①，设D为BC的中点，由于eq \(OA,\s\up6(→))＝－(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－2eq \(OD,\s\up6(→))，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，①正确；
对于②，向量eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为eq \(AC′,\s\up6(—→))和eq \(AB′,\s\up6(—→))，则它们的差是向量eq \(B′C′,\s\up6(——→))，则当eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)－\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(B′C′,\s\up6(——→))时，点O在∠BAC的角平分线上，同理由eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)－\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)))＝0，知点O在∠ABC的角平分线上，故O为△ABC的内心，②错误；
对于③，由(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，得(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OA,\s\up6(→))2，故|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|，同理有|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，于是O为△ABC的外心，③正确；
对于④，由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OB,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OB,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→))，同理可证eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，④错误．
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[1,2] B．[2,3]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
答案 B
解析 如图所示，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝eq \r(3)，
又eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))·(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＋eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2＋eq \(PO,\s\up6(→))·(eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))－1＝|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1，
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为eq \r(3)，此时|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1＝2，
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时|eq \(PO,\s\up6(→))|2－1＝3，
故eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围是[2,3]．
9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为________．
答案 7
解析 以D为坐标原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，
则2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7,3a－5b)，
|2eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(49＋3a－5b2)≥7，当且仅当b＝eq \f(3a,5)时取得最小值7.
10．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq \(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 5
解析 取BC的中点O，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2eq \r(3))，设P(x，y)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－2eq \r(3))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－2eq \r(3))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(3))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq \(AC,\s\up6(→))＝(4－6λ，2eq \r(3)λ－4eq \r(3))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－6λ，,y＝2\r(3)λ－2\r(3)，))
∴P(4－6λ，2eq \r(3)λ－2eq \r(3))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(6λ－4,4eq \r(3)－2eq \r(3)λ)，
eq \(PC,\s\up6(→))＝(6λ－2,2eq \r(3)－2eq \r(3)λ)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4eq \r(3)－2eq \r(3)λ)(2eq \r(3)－2eq \r(3)λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，
当λ＝eq \f(3,4)时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值5.
11．(2022·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，若P为BD上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．
答案 eq \f(1,16)
解析 ∵λ，μ为正实数，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))，故eq \(AC,\s\up6(→))＝4eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋4μeq \(AD,\s\up6(→))，
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝eq \f(1,4)·λ·4μ≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ＋4μ,2)))2＝eq \f(1,16)，当且仅当λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,8)时取等号，故λμ的最大值为eq \f(1,16).
12．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq \(PA\\al(2,1),\s\up6(———→))＋eq \(PA\\al(2,2),\s\up6(———→))＋…＋eq \(PA\\al(2,8),\s\up6(———→))的取值范围是______________．
答案 [12＋2eq \r(2)，16]
解析 以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1(0,1)，A2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，A3(1,0)，
A4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，A5(0，－1)，A6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，
A7(－1,0)，A8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
设P(x，y)，
于是eq \(PA\\al(2,1),\s\up6(———→))＋eq \(PA\\al(2,2),\s\up6(———→))＋…＋eq \(PA\\al(2,8),\s\up6(———→))＝8(x2＋y2)＋8，
因为cs 22.5°≤|OP|≤1，
所以eq \f(1＋cs 45°,2)≤x2＋y2≤1，
故eq \(PA\\al(2,1),\s\up6(———→))＋eq \(PA\\al(2,2),\s\up6(———→))＋…＋eq \(PA\\al(2,8),\s\up6(———→))的取值范围是[12＋2eq \r(2)，16]．
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