重庆市黔江新华中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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本试卷共4页；考试时间120分钟；满分150分

注意事项：

1.本试卷分为第Ⅰ劵（选择题)和第Ⅱ劵（非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号框.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题)

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在中，已知，，，则角等于（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】

根据边长的比较，可知大小关系，结合正弦定理，可得结果.

【详解】在中，已知，

可知，所以

由，又

可知，则

故选：A

【点睛】本题主要考查正弦定理，属基础题.

2.在等差数列中，若，则（  ）

A. 8 B. 12 C. 14 D. 10

【答案】C

【解析】

【分析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，

则由，，得解得，，

所以．故选C．

【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.

3.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 (   )

A. 5海里/时 B. 海里/时 C. 10海里/时 D. 海里/时

【答案】C

【解析】

【分析】

在中，计算得到， ，在计算得到，得到答案.

【详解】

如图依题意有,,

∴,从而,

在中,求得,

∴这艘船的速度是 (海里/时)

【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.

4.若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.

【详解】对，，因为大小无法确定，故不一定成立；

对，当时，才能成立，故也不一定成立；

对，当时不成立，故也不一定成立；

对，，故一定成立.

故选D.

【点睛】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.

5.在数列中，， (n∈N+)，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

取倒数，确定是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.

【详解】，则，故是首项为，公差为的等差数列.

，，.

故选：.

【点睛】本题考查了数列的通项公式，取倒数确定等差数列是解题的关键.

6.若实数，满足，则的最大值为（    ）

A. 512 B. 8 C. 256 D. 64

【答案】C

【解析】

【分析】

作出可行域，如下图阴影部分所示，令，可知要使取到最大值，只需取到最大值即可，根据图像平移得到答案.

【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，

令，可知要使取到最大值，只需取到最大值即可，

观察图像可知，当直线过点时取到最大值8，

故的最大值为256.

故选：C．

【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

7.在中，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据面积公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.

【详解】

利用余弦定理得到：

正弦定理：

故

故选

【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.

8.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为,则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设三个角分别为，，，由正弦定理可得，利用两角和差

的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．

【详解】钝角三角形三内角、、的度数成等差数列，则，，

可设三个角分别为，，．

故．

又，．

令，且，

则

因为函数在，上是增函数，

，

故选．

点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到，是解题的关键和难点．

9.已知内角的对边分别为，满足且，则△ABC （    ）

A. 一定是等腰非等边三角形 B. 一定是等边三角形

C. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得和，然后对进行分类讨论，结合三角形的性质，即可得到结果.

【详解】在中，因为，所以，

又，所以，

又

当时，因，所以时等边三角形；

当时，因为，所以不存在，综上：一定是等边三角形.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题过程中注意两解得情况，一般需要检验，本题属于基础题.

10.已知等差数列的前n项和为，若，则一定成立的是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】因为，所以，则.故选B．

11.已知首项为正数的等比数列中，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据求出，再根据得到，再由计算即可.

【详解】因为，，所以，即.

因为，.

故选：B

【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了等比中项，属于中档题.

12.三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为，三个角分别为，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出，然后利用余弦定理得到，将表示出的代入，整理后得到关于的方程，求出方程的解得到的值，

【详解】解：设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，
由正弦定理可得：，
，
再由余弦定理可得：

，
化简可得：，解得：或（舍去），
∴，故三角形的三边长分别为：,

故选：C.

【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题.

第II卷（非选择题)

二、填空题

13.已知数列满足，，则          ；

【答案】45

【解析】

,

.

14.不等式的解集为_____．

【答案】（或写成）

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法解不等式即可．

【详解】原不等式等价于：

即，可得．

故答案为（或写成）

【点睛】解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．

15.已知满足，，的恰有一个，那么的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

计算出表达式，结合该三角形只有一解可得出满足的条件，进而可求得的取值范围.

【详解】根据正弦定理，，

若三角形有一解，即仅有一个解，所以或，即或，

解得.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用三角形解的个数求边长的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.

16.若长度为，，的三条线段可以构成一个锐角三角形，则取值范围是____.

【答案】

【解析】

分析】

可知边长的边所对的角为最大角，设该角为，利用余弦定理结合得出关于的不等式，解出即可.

【详解】，可得为最大边，设边长为的边所对的角为，

由于此三角形为锐角三角形，，

化为：，，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用锐角三角形求参数的取值范围，一般要转化为最大角为锐角，结合余弦定理列不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.

三、解答题

17.已知，且.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）24（2）50

【解析】

【分析】

（1）由基本不等式可得，可求；

（2），利用基本不等式可求.

【详解】（1），且.

由基本不等式可得，，

解不等式可得，，

当且仅当即，时取最小值24；

（2），

当且仅当数取得最小值50.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值的应用，解题的关键是应用条件的配凑.

18.在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的公差为,得到,,再根据,,成等比数列,由等比中项公式得出首项,代入通项公式即可得通项.

（2）由（1）得,数列,是等差加等比的形式,所以数列求和用分组求和即可..

【详解】解：（1）∵的公差为,

∴,.

∵,,成等比数列,

∴,

解得,

从而.

（2）由（1）得,

.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和分组求和,是数列中最基本的运算,属于基础题.

19.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.

(1)若,求的值;

(2)若,求b,c值.

【答案】(1);(2)

【解析】

【分析】

(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；

(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.

【详解】(1)∵,且，

∴，

由正弦定理得，

∴；

(2)∵，

∴，

∴，

由余弦定理得，

∴.

【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.

20.已知等差数列，若，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由，且，，成等比数列这两个条件列出和的方程组可求解出，从而可得数列的通项；

（Ⅱ）把（Ⅰ）解得的代入中，化简得

，然后利用裂项相消法求和.

【详解】解：（Ⅰ）∵，∴①

∵，，成等比数列，∴，∴化简得，

若，

若，②，由①②可得，，

所以数列的通项公式是或

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴

【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算，裂项相消求和法，属于基础题.

21.设的内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.

（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.

【详解】（1）由题设知，，

即，

所以，

即，又

所以.

（2）由题设知，，

即，

又为锐角三角形，所以，即

所以，即，

所以的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.

22.已知数列的前项和为，且2，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）对于（2）中的，设，求数列中的最大项．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由成等差数列，得，利用和的关系，化简得，进而得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求解其通项公式；

（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求的；

（3）由（1）（2）可得，设数列的第n项最大，列出不等式组，即可求解实数n的范围，得到答案．

【详解】（1）由题意知成等差数列，所以，　①

可得，　 ②

①-②得，所以，

又，，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.

（2）由（1）可得，

用错位相减法得：，　①

，　②

①-②可得.

（3）由（1）（2）可得，

设数列的第n项最大，则，可得，

解得．

所以或 时，最大，即为中的最大项．

【点睛】本题主要考查等差、等比数列综合应用、以及“错位相减法”求和、数列的最大项的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定数列的通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查了逻辑思维能力及基本计算能力等.