重庆市广益中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com广益中学校高2022级高一（下）5月月考（数学试题）

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.数列1，，，，，…的一个通项公式是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

通过观察数列的分子和分母，猜想出数列的通项公式.

【详解】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为.故选D.

【点睛】本小题考查观察数列给定的项，猜想数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易得出正确的选项.属于基础题.

2.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)

A 15 B. 30

C 31 D. 64

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等差数列性质解得，再根据等差数列性质得结果.

【详解】因为

故选:A

【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【详解】由余弦定理得，

解得（舍去），故选D.

【考点】余弦定理

【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！

4.若向量，，且，则x的值为(    )

A. 4 B. 8 C. 6 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

由平面向量共线的性质可得，即可得解.

【详解】由题意可得，则.

故选：A.

【点睛】本题考查了平面向量共线的条件及对数运算，属于基础题.

5.给出下列命题中正确的有几个：①；②；③； ④.

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】A

【解析】

【分析】

举出反例，逐项判断即可得解.

【详解】当时，，故①错误；

当，时，满足，此时，故②错误；

当时，，故③错误；

当时，，故④错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了不等式与不等关系，属于基础题.

6.在中，若，则必定是(    )

A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正弦定理进行边角互化可得，进一步化简可推出，三角形为等腰三角形.

【详解】，，又,

所以，

化简得，所以，为等腰三角形.

故选：A

【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属于基础题.

7.已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．

【详解】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0）
由题意可得 即q2-2q-3=0，
解得q=-1（舍去），或q=3，
故

故选D．

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．

8.下列推导正确的有(    )个

（1）因为，，所以；（2）因为，，所以；（3）因为，，所以

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

由对数函数的性质可判断（1）,举出反例可判断（2），由基本不等式及不等式的基本性质可判断（3），即可得解.

【详解】若，时，，，所以，无意义，故（1）错误；

当时，，故（2）错误；

因为，，所以，，则，，由基本不等式及不等式的基本性质可得（3）正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握基本不等式成立的条件，属于基础题.

9.设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么的外接圆半径为(    )

A. 2 B. 4 C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合余弦定理得，进而可得，再由正弦定理即可得解.

【详解】，，

，

又，，，

的外接圆半径满足即.

故选：D.

【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

10.设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.

C.  D. 与是的最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合数列与的关系可得，，，由等差数列及其前n项和的性质即可得解.

【详解】是等差数列，且，，

，，，

，与是的最大值，

即，

故A、C、D正确，B错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了等差数列及其前n项和，考查了运算求解能力，属于基础题.

11.设是平面上的两个单位向量，.若，则的最小值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

依题意， ，则 ，所以当 时， 有最小值 ，选C.

点睛：本题主要考查了求向量的模，属于基础题. 本题思路：由 ，化为关于 的开口向上的二次函数，在对称轴处取得最小值．选C.

12.已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】

由知，两式相减可得，数列是等差数列，求出通项公式代入，转化为对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当时，取得最大值，即可求解.

【详解】由题意，数列满足，则当时，，

两式相减可得，

所以，又由，所以，

即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，

所以，

因为，所以，

即，

则对任意的正整数恒成立，

又，所以对任意正整数恒成立，

设，则，

所以，当时，最大,此时最大值为，

所以，即，所以的最大整数为4，故选B.

故选：B

【点睛】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难题.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.在等比数列{an}中，已知=8，则=__________

【答案】4

【解析】

【分析】

利用等比数列通项公式得a2a4a6==8，求出a4=2，再由a3a5=，能求出结果．

【详解】∵在等比数列{an}中，a2a4a6=8，∴a2a4a6==8，

解得a4=2，∴a3a5==4．

故答案为4．

【点睛】本题考查等比数列的等比中项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，是基础题．

14.在中，已知，，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合余弦定理即可得，即可得解.

【详解】由余弦定理得，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题.

15.如图，在平行四边形中，，分别为，上的点，且，，连接，交于点，若，则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可得，进而可得，即可得解.

【详解】，，

，

设，则即，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量共线的性质，属于基础题.

16.已知内角所对的边分别为，且，，则的周长的最大值为______________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合正弦定理得，利用基本不等式可得，即可得解.

【详解】由正弦定理得，整理得，

，，

即，当且仅当时等号成立，

的周长的最大值.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理与基本不等式的综合应用，属于基础题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知向量且与夹角为，

（1）求；      

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）2 （2）

【解析】

【分析】

（1）由结合向量的数量积的定义和性质，计算可得；

（2）由向量垂直的条件：数量积为0，计算可得．

【详解】解：（1）因为，所以，

又因为，与的夹角为 ，

∴，

所以;

（2）由，

得，即，

解得.

【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．

18.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．

(1)求数列的通项；

(2)设数列，求数列的前项和.

【答案】(1)；(2).

【解析】

【分析】

(1)由等比中项的性质列出方程求解d，写出通项公式即可；(2)求出的通项公式，利用等差数列、等比数列的前n项和公式分部求和即可.

【详解】(1)因为成等比数列，所以，

则，得，所以；

(2) 因为,所以.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和，等比数列的性质及前n项和，属于基础题.

19.已知函数.

（1）求在上的减区间；

（2）在中，角的对边分别为，且满足，，的周长为，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意结合三角恒等变换可得，令，化简即可得解；

（2）由题意，解得，由余弦定理可得，求得后，利用即可得解.

【详解】由题意

，

（1）令，解得，

令可得，

在上的减区间为；

（2）由题意，

即，

又，，

，的周长为，，

由余弦定理可得即，

即，解得，

.

【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

20.已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数a，b的值；

（3）若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由题意可得，解一元二次不等式即可得解；

（2）由一元二次不等式与一元二次方程的关系可得方程的两根为，，由根与系数的关系即可得解；

（3）由一元二次不等式恒成立可得，即可得解.

【详解】（1）当时，可转化为，

，解得，

不等式的解集为；

（2）不等式的解集为，

方程的两根为，，

，解得；

（3）对一切恒成立，

即对一切恒成立，

，解得，

故实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解、一元二次不等式与一元二次方程的关系及一元二次不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力，属于中档题.

21.已知数列满足，，数列满足.

（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）数列的前项和为，设，求数列的前40项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由题意，即可得，即可得数列是等差数列，进而可得其通项公式；

（2）由题意，利用错位相减法即可得解；

（3）由题意，利用分组求和法与等差数列前n项和公式即可得数列的前40项和.

【详解】（1），，

，

，，

又，，

数列是首项为1，公差为的等差数列，；

（2）由（1）得，，

，

，

两式相减得

，

；

（3）由题意，，

数列的前40项和

，

数列的前40项和为.

【点睛】本题考查了等差数列证明及应用，考查了分组求和法与错位相减法求数列前n项和的应用，属于中档题.

22.如图，D是直角斜边BC上一点，．

Ⅰ若，求的大小；

Ⅱ若，且，求AD的长．

【答案】ⅠⅡ

【解析】

【分析】

Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．

【详解】Ⅰ，，

，

在中，由正弦定理可得：，

，

或，

又，

Ⅱ，

，

在中，由勾股定理可得：，可得：，

，，，

令，由余弦定理：

在中，，

在中，，

可得：，

解得：，可得：

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．