2023年山东省菏泽市中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省菏泽市中考三模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省菏泽市中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．将“1兆”用科学记数法表示为（　　）A． B． C． D．2．下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．3．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动．李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：时间/h65432人数/名26462关于家务劳动时间的描述正确的是（    ）A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是14．若不等式组无解，则的取值范围为（  ）A． B． C． D．5．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（    ）A．4 B．2 C． D．6．如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是（    ）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：257．如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段BC的延长线上，且，则旋转角的度数为（　　）A．60° B．70° C．100° D．110°8．如图，在中，，，，点P从点A出发沿的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿的路径运动到点C停止，连接，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（    ）A． B．C． D． 二、填空题9．分解因式：___________10．设m、n是方程的两个实数根，则______．11．如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则_____．12．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是______．  13．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，直线交轴于点．若，的面积为9，则的值为______．14．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且,再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 _____． 三、解答题15．计算：．16．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点．且BF=DE，求证:AF＝CE.18．某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图，消防官兵利用云梯成功救出在 处的求救者后，发现在处正上方处又有一名求救者，消防官兵立即升高云梯将其求出，经测得点与居民楼的水平距离是15米，且在点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠＝45°，第二次施救时云梯与水平线的夹角∠＝55°，求、两点间的距离（结果精确到0.1米）.【参考数据：55°＝0.82；55°＝0.57，55°＝1.43】19．某校将举行跳绳比赛，需要购买A、B两种跳绳．已知每根A种跳绳的单价比B种跳绳的单价少5元，300元购买A种跳绳的数量与450元购买B种跳绳的数量相等．(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳m根，若学校计划购买A，B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳的数量不超过B种跳绳的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案．20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于第一、三象限内的A，B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将直线沿y轴向下平移6个单位长度后，与双曲线交第一象限于点E，交第三象限于点F，连接，求的面积．21．随着中考的时间越来越近，学生的压力也越来越大．某校为了解本校九年级学生的压力情况，设计了一份调查问卷，对该校所有九年级的学生进行调查，并随机抽取部分调查结果，通过分析可将本校九年级学生的压力情况归纳为A（非常大），B（比较大），C（正常），D（没有压力）四种类型．具体分析数据如下统计图：(1)本次抽查的学生总人数为__________，在扇形统计图中，__________°．(2)请把条形统计图补充完整．(3)若感觉压力非常大的同学中有两名女同学，三名男同学，从中随机抽取两名同学进行心理疏导，求抽到的两名同学恰好是一男一女的概率．22．如图，AB是的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），，且，连接CB，与交于点F，在CD上取一点E，使．(1)求证：EF是的切线：(2)连接AF，若D是OA的中点，，求CF的长．23．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：  如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到，依据是______；A．        B．       C．        D．(2)由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．(3)【初步运用】如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．(4)【灵活运用】如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段、、三者之间的等量关系，直接写出你的结论．24．如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式及对称轴；(2)设点为直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标？(3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由．
参考答案：1．C【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：1兆1万1万1亿，    故选C．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．2．C【分析】根据同底数幂的乘除计算、根据幂的乘方计算、根据平方差公式计算【详解】A．和指数不同，不能相加减，故错，不符题意；B．，故错，不符题意；C．正确，符合题意；D．，故错，不符题意【点睛】本题同底数幂的乘除计算、根据幂的乘方计算、根据平方差公式计算，掌握这些是本题关键．3．B【分析】分别求出众数、平均数、中位数和方差，即可做出判断【详解】这组数据出现次数最多的是3和5，分别出现6次，所以众数是3和5，因此选项A不符合题意；这组数据的平均数为，因此选项B正确，符合题意；将这20个数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此选项C不符合题意；这组数据的方差为：，因此选项D不符合题意．故选B．【点睛】此题考查了众数、平均数、中位数和方差，熟练掌握求解方法是解题的关键．4．A【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得．【详解】解不等式，得：x＞8，∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．D【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可．【详解】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，∵底面等边三角形的高=，∴ 它的左视图的面积是，故选：D．【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键．6．C【分析】根据位似图形的性质，可知 及，根据的比值可得的比，根据相似三角形的性质：相似三角形周长比等于相似比，可得与的周长比．【详解】解： 与是位似图形，点O为位似中心， 且 又 故选：C．【点睛】此题考查位似图形及相似三角形的性质，正确找出对应线段的比是解题的关键．7．C【分析】旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．【详解】绕点按逆时针方向旋转，得到，，，，，，，故选：C．【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．8．C【分析】分如图1所示，当点P在上运动，即时，过点Q作于D，如图2所示，当点P在上，点Q未到C，即时，过点P作于D，如图3所示，当点Q到达C点后，即时，分别求出y与x的关系式即可得到答案．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，，∵P、Q运动速度相同，∴ 如图1所示，当点P在上运动，即时，过点Q作于D，在中，，∴；如图2所示，当点P在上，点Q未到C，即时，过点P作于D，由题意得，，在中，，∴；如图3所示，当点Q到达C点后，即时，由题意得，∴；∴四个选项中只有C选项符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，勾股定理，利用分类讨论的思想求出三种情况下的函数解析式即可得到答案．9．【分析】先提公因式，然后根据平方差公式分解因式即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是平方差公式进行因式分解．10．2022【分析】利用根的定义即使得方程左右两边的值相等的未知数的值，根与系数关系计算即可．【详解】∵m、n是方程的两个实数根，∴，，∴，，∵，∴，故答案为：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，根与系数关系定理，正确理解根的意义，灵活掌握根与系数关系定理是解题的关键．11．22【分析】由题意可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，即可得，，根据求出，由可得答案．【详解】解：由题意可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，，，，，，，．故答案为：22．【点睛】本题考查作图基本作图、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线与角平分线的作图方法及性质、三角形内角和定理是解答本题的关键．12．3【分析】连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，∴，连接，  ∵，∴，∴设，则，∴，解得，故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．13．【分析】过点A作轴于F，轴于E，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的k的几何意义即得结果．【详解】解：如图，过点A作轴于F，轴于E，∵，，∴，∴，即．∵的面积为9，，则，，∴，，∴，∴，∴，由图可知，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形．14．【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．【详解】解：是等腰直角三角形，，，，将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将Rt△绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，每4次循环一周，，，，，，点与同在一个象限内，点．故答案为：．【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律及等腰直角三角形的性质，得出点坐标变化规律是解题关键．15．6【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．，1．【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据是方程的根可得，再代入即可．【详解】解：原式 ．∵是方程的根，∴．∴．∴ 原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关键．17．证明见解析.【分析】连接AC交BD于点O，连接AE，CF，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．【详解】证明：如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵BF=DE， ∴BF-OB =DE-OD，即OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；∴AF＝CE．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质：平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形．18．C、D两点间的距离约为米．【详解】试题分析：要求线段CD的长，可以先求线段BC和BD的长. 根据已知条件易知△ABC是等腰直角三角形，根据线段AB的长可以求得线段BC的长. 根据已知条件可以利用Rt△ABD和∠BAD的正切值求得线段BD的长. 利用线段BC和BD的长即可求得线段CD的长.试题解析：∵∠ABC=90°，∠CAB=45°，∴在Rt△ABC中，∠CAB=∠BCA=45°，∵AB=15(米)，∴在Rt△ABC中，AB=BC=15(米).∵∠ABD=90°，∠BAD=55°，，∴在Rt△ABD中，(米)，∵BC=15(米)，BD≈21.45(米)，∴CD=BD-BC≈21.45-15=6.45≈6.5(米).答：点C与点D之间的距离约为6.5米.点睛：本题考查了解直角三角形及其应用的相关知识. 本题的图形属于典型的“双直角三角形”，需要重点掌握. 该类型问题的关键在于利用两个直角三角形的公共边(如本题中的线段AB)将已知条件在两个直角三角形之间进行转换，最终求解出要求的线段和角度.19．(1)购买一根A种跳绳和一根B种跳绳各需10元，15元(2)购买A种跳绳30根，购买B种跳绳15根 【分析】（1）设购买一根B种跳绳需x元，则购买一根A种跳绳需元，根据题意易得，然后求解即可；（2）根据题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：设购买一根B种跳绳需x元，则购买一根A种跳绳需元，根据题意，列方程得：，解得：，经检验，是原方程的解，则（元），答：购买一根A种跳绳和一根B种跳绳各需10元，15元．（2）解：根据题意，列不等式组得：，解得，设购绳所需总费用为w元，则，∵，∴w随m的增大而减少，∴当时，购绳最省钱，此时（根），则最省钱的购买方案是购买A种跳绳30根，购买B种跳绳15根．【点睛】本题主要考查一次函数的应用及分式方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及分式方程的应用是解题的关键．20．(1)，(2) 【分析】（1）解直角三角形求出的坐标，代入求出反比例函数解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式求出即可；（2）将直线沿轴向下平移个单位长度后的解析式为，解方程组得到，，于是得到结论．【详解】（1）过作轴于， ，．，，，即的坐标是，把的坐标代入得：，即反比例函数的解析式是，把代入得：，即的坐标是，把、的坐标代入得：，解得：，即一次函数的解析式是；（2）将直线沿轴向下平移个单位长度后的解析式为，联立，解得，或，，，∵与x轴交于的面积．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题解直角三角形，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．21．(1)50；108(2)见解析(3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，根据扇形统计图的意义解答即可．（2）利用频数之和等于样本容量计算即可．（3）利用画树状图计算即可．【详解】（1）本次抽样调查的样本容量是，故答案为：．参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为；故答案为：．（2）B（比较大）的人数为（人）.补全条形统计图如下：（3）设三个女生分别为，两个男生分别为，画树状图如下：∴恰好取到一男和一女的概率是．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．22．(1)见解析(2) 【分析】（1）连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解；（2）先由AB=CD=8，BD=6，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长．【详解】（1）解：连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示：∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°，∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°，又∵EC=EF，∴∠C=∠EFC，∴∠CGF=∠GFE，又∵∠CGF=∠AGD，∴∠GFE=∠AGD，∵CD⊥AB，∴∠ADG=90°，∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°，∴OF⊥EF，∴EF是圆O的切线；（2）解：∵D是OA的中点，且AB=8，∴DO=2，BD=BO+DO=6，又∵AB=CD=8，∴在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²=10²，∴BC=10，∵∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B，∴△ABF∽△CBD，∴，代入数据后得：，∴，∴，∴CF的长为．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键．23．(1)C(2)(3)5(4) 【分析】（1）根据判定，选择即可．（2）根据，运用三角形三边关系定理计算即可．（3）延长到M，使，连接，仿照（1）和等腰三角形的性质证明即可．（4）延长到N，使，连接．利用全等三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理证明即可．【详解】（1）∵边上的中线， ∴，  ∵，∴，故选C．（2）根据（1）得，∴，∵，∴，∵，，∴，解得，故答案为：．（3）延长到M，使，连接．∵，，，∴，∵是的中线，∴，  ∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（4）延长到N，使，连接．∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，  ∵，，∴直线是线段的垂直平分线，∴，∴．【点睛】本题考查了倍长中线，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握倍长中线的作法，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形的全等判定是解题的关键．24．(1)，(2)(3)坐标为、、、 【分析】（1）待定系数法求解即可得出答案；（2）点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，求出直线的表达式为，得出，则的周长最小值；（3）设点，由点、、的坐标知，，，，分三种情况：①当时，，②当时，， ③当时，，求解再检验即可得出答案．【详解】（1）解：将、、代入抛物线中，则，解得，故抛物线的解析式是；由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线；（2）解：点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，理由：的周长为最小，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为，当时，，故点，则的周长最小值； （3）设点，由点、、的坐标知，，，，①当时，，解得：或（舍去），②当时，，解得：或，③当时，，解得：，检验：当时，、、三点共线，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的点有4个，坐标为、、、．【点睛】本题是二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．