重庆市九龙坡区育才中学校2022-2023学年九年级下学期2月月考数学试题

重庆育才中学2022－2023学年度初2023届初三（下）2月月考数学试题（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1. 下列各数中的无理数是（ ）A. B. C. 0 D. 【答案】B【解析】【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②含的代数式；③无限且不循环的小数，进行判断即可得到答案．【详解】解：A．=2是有理数，故不符合题意；B．是无理数，故符合题意；C．0有理数，故不符合题意；D．是有理数，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的定义是解题的关键．2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3. 计算正确的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：．故选：C．【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，若点B的坐标为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△OAB与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（-1，-2），∴点C的坐标为（(-1)×(-2)，(-2)×(-2)），即点C的坐标为（2，4），故选D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5. 估计的值在（ ）A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．【详解】解：=∵， ∵， ∴， ∴，∴的值在2到3之间，故选：B【点睛】本题考查了估算无理数的大小，根据二次根式的混合计算解答是解题的关键．6. 下列命题正确的是（ ）A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 同旁内角互补C. 凸多边形的外角和都等于360° D. 平分弦的直径垂直于弦【答案】C【解析】【分析】根据平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识对各项进行分析即可．【详解】A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本项不符合题意；B. 两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，本项不符合题意；C. 凸多边形的外角和都等于360°，正确；D. 平分弦（该弦不是圆的直径）的直径垂直于弦，原说法错误，本项不符合题意；故答案为：C．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握平行的性质、凸多边形的外角和、垂径定理等知识是解题的关键．7. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，由为的切线，根据切线的性质得到，即为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角的度数，求出圆心角的度数，在中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出的度数．【详解】解：连接，如图所示：∵圆心角与圆周角都对，∴，又，∴，又∵为的切线，∴，即，则．故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：150匹马恰好拉了210片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合题意，根据二元一次方程组的性质分析，即可得到答案．【详解】∵150匹马恰好拉了210片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，∴故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解．9. 下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（　　）A. 67 B. 92 C. 113 D. 121【答案】B【解析】【分析】分两部分：第①个图形为：，第②个图形为：，第③个图形为：，第④个图形为：，…，由此得出规律即可求解．【详解】第①个图形为：，第②个图形为：，第③个图形为：，第④个图形为：，…，一般地，第⑦个图形为：，故选：B．【点睛】本题是图形规律探索问题，由特殊出发得出一般规律是解题的关键．10. 如图，在边长为8的正方形中，点P是对角线上，连接并延长交于点F，过点P作交于点E，连接；若2，则的长为（ ）A. 10 B. 3 C. 4 D. 2【答案】C【解析】【分析】过P作，交于点M，交于点N，根据正方形性质及求得．再证明，得到，，最后在中，运用勾股定理，求得的长．【详解】解：如图，过P作，交于点M，交于点N，∵在正方形中，点P是对角线上一点，∴，∵在正方形中，，∴，∵，，∴．∵正方形，，∴，∴四边形是矩形，∴．∵，∴，∴，∵， ∴，∵，∴．∵在正方形中，∴，∵矩形，∴，∴， ∵，∴，即．在与中，∵∴，∴，∵，∴．∵，∴．∵正方形，边长为8，∴，， ∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，通过构造全等三角形和勾股定理，求得的长度，其中作适合的辅助线构造全等三角形，是解题的关键．11. 如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】表示出不等式组解集，确定出m的范围，根据分式方程有非负整数解确定出m的值即可．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组的解集为，∴，解方程，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化成1得．∵分式方程有非负整数解，∴，∴，∴，∴，∵，即时，方程无解，且时，方程无整数解，∴符合条件的m的所有值的和是．故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m的取值范围以及正确解分式方程是解题的关键．12. 已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6．正确的有（ ）个A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断①②，将变形为，可计算出解果进而判断③，由得，根据二次函数的性质及n为正整数可判断其最值，进而判断④，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，……找其规律可判断⑤．【详解】解：，则当时，，∴，即：当时，，故①错误；，故②正确；∵∴，故③正确；，当时，，当时，，即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，又∵为整数，∴取得最小值，此时或，故④错误；∵为的个位数字，且，由此可知，，，，，，，，，，……分别为：2，6，2，0，0，2，6，2，0，0，……即的规律为以2，6，2，0，0，五次一循环，且这五个数相加为10，则的个位0，且也是五次一循环，∵，∴，，∴的个位为，故⑤错误；故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键．二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13. 计算：_________．【答案】1【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算方法依次计算即可．【详解】解：故答案为：1．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值等知识点，是一道综合计算题，也是各地中考题中常见的计算题型．14. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，上面分别标有数字，0，2，3，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上的数字之积为正数的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据随件事件的概率，先把可能出现的结果表示出来，再用数字之积为正的结果数除以总的结果数，由此即可求出答案．【详解】解：可能出现的结果如表所示， 总共有种结果，两数为正的结果有四种，分别是，，∴，故答案是：．【点睛】本题主要考查的是列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是要找出所需要结果的数量与所有可能出现的结果数之间的比值．15. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】【解析】【分析】连接BD，BE，BO，EO，由的长为，可求出圆的半径，然后根据图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE，即可求解.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，∴∠BAC=∠EBA=30°，∴BE∥AD，∵的长为，∴，解得R=2.∴AB=ADcos30°=2，∴BC=AB=,∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=，故答案为：.【点睛】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理的推论，添加辅助线，利用割补法求面积是关键.16. 对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位的和等于十位与百位的和，那么称这个数为“镜面数”，将一个“镜面数”个位与千位两个数位对调后得到一个新的四位数，将它的十位与百位两个数位对调后得到另一个新四位数，记F（m）＝．例如，对调个位与千位上的数字得到，对调十位与百位上的数字得到，这两个四位数的和为，所以，若s，t都是“镜面数”，其中（都是正整数），规定：，当时，k的最大值为________．【答案】【解析】【分析】根据定义得到，，由可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当时，取最大值，此时，又由，得到，即可得到答案．【详解】解：，，，，，，，，，，由，可知当取最大值，取最小值时，有最大值，当时，取最大值，此时，，，即，则，都是正整数，，∴只有当时，上式成立，综上可知，k的最大值为，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程和列代数式的应用，读懂题意和准确计算是解题的关键．三、解答题（本大题7个小题，其中第23小题14分，剩余每小题10分，共74分）17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则，平方差公式计算即可；（2）根据分式混合运算顺序、运算法则计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键．18. 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E．（1）尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空：解：，理由如下，如图所示，， ，为垂直平分线， ，在和中，，， ，，【答案】（1）答案见解析 （2），，，【解析】【分析】（1）以A为圆心，为半径，画弧交于一点M，连接，交于点F，即为的垂直平分线，连接，并延长交于点G；（2）按照题中给出的思路证明即可．【小问1详解】解：如下图，以A为圆心，为半径，画弧交于一点M，连接，交于点F，即为的垂直平分线，连接，并延长交于点G，证明：，，平分，，，，根据作图可知：，，，，，，为的垂直平分线；【小问2详解】，理由如下，如图所示，，，为的垂直平分线，，在和中，，，，，，故答案为：， ，，．【点睛】本题考查了基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质．19. 2月，我校初届学生进行了一次体育机器模拟测试．测试完成后，为了解初届学生的体育训练情况，在初届的学生中随机抽取了名男生，名女生的本次体育机考的测试成绩，对数据进行整理分析，并给出了下列信息：①名女生的测试成绩统计如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．②抽取的名男生的测试成绩扇形统计图如图：③抽取的名男生成绩得分用表示，共分成五组：：； ：；：；：；：．其中，抽取的名男生的测试成绩中，组的成绩如下：，，，，，．④抽取男生与女生的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数如表所示：（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；（2）结合以上的数据分析，针对本次的体育测试成绩中，你认为此次的体育测试成绩男生与女生谁更好？请说明理由(理由写出一条即可)；（3）若初届学生中男生有人，女生有人，(规定分及以上为优秀)请估计该校初届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生人数．【答案】（1）15；48；50 （2）此次的体育测试成绩女生更好，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中各部分百分比之和为1可以得到a的值，求出男生每组人数，然后根据D组分数及中位数的意义可得b的值，把女生成绩从低到高排序，然后根据众数的意义可得c的值；（2）比较男生成绩、女生成绩的平均数、中位数和众数可以得解；（3）分别用全校男生人数和女生人数乘以各自抽测人数中的优秀占比并相加即可得解．【小问1详解】由题意可得：，∴，由已知可得男生各组人数分别如下：、、三组总人数为：，D：，E：，∴男生成绩按照从低到高排序，排在第和第位的都为，∴，把女生成绩从低到高排序为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴根据众数的意义可得，故答案为；；；【小问2详解】∵在本次测试中，男生成绩和女生成绩的平均数相同，女生成绩的中位数与众数都比男生成绩的中位数与众数较高，∴此次的体育测试成绩女生更好；【小问3详解】由题意可得：（人），∴该校初2023届参加此次体育测试的学生中成绩为优秀的学生为人．【点睛】本题考查数据处理的应用，熟练掌握平均数、中位数和众数的意义和求法、扇形统计图中各部分百分比的意义和性质、扇形统计图中部分与总体的关系、根据样本数量估计总体数量的方法是解题关键．20. 小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：（1）求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？【答案】（1）小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时 （2）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时【解析】【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，则，答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；【小问2详解】解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为（小时），小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：（小时），设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：，解得：，答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为千米/小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．21. 如图，一货船从港口A出发，以40海里/小时的速度向正北方向航行，经过1小时到达B处，测得小岛C在B的东北方向，且在点A的北偏东方向．（参考数据：，，，，）（1）求的距离（结果保留整数）；（2）由于货船在B处突发故障，于是立即以30海里/小时的速度沿赶往小岛C维修，同时向维修站D发出信号，在D处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以50海里/小时的速度沿前往小岛C，已知D在A的正东方向上，C在D的北偏西方向，通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟，请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C．【答案】（1）的距离为77海里 （2）维修船能在货船之前到达小岛C【解析】【分析】（1）过C作交延长线于M，由题意可得，设，则，通过勾股定理和三角函数进行列方程求解即可；（2）结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较即可得到解答．【小问1详解】过C作交延长线于M，由题意得，海里，由题意得，在中，，∴，设 ，则，在中，，∴，解得，∴海里，在中，，∴海里；【小问2详解】∵海里，∴海里，∵，∴，∴，∴海里，∵，，∴，∴，∴海里，货船从B到C用时：（小时），∵6分钟小时，∴（小时）∴（海里），∵（海里），∴能在货船之前到达小岛C．【点睛】本题考查了三角函数的综合、勾股定理的应用、分式方程的应用和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．22. 如图，矩形的周长为，将对角线绕点A顺时针方向旋转得到线段，连接，设边（），的面积为．（1）求y与x的函数关系式：（2）下表列出了部分点，先直接写出m的值为_______，并在图2中利用描点法画出此函数图象；（3）结合图象，指出在x的变化过程中，y的最小值为_______；并写出在整个变化过程中，点E到直线的最小距离为_______．【答案】（1）： （2）26，图见解析 （3）25，【解析】【分析】（1）设边，由矩形的周长为求出，由勾股定理得到，由旋转性质得到，，即可得到y与x的函数关系式：（2）由函数解析式即可得到m的值，用描点法画出函数图像即可；（3）图象得到最低点的纵坐标即是y的最小值；作交的延长线于点H，先证明，则,由题意得到,则，即可得到点E到直线的最小距离．【小问1详解】解：∵矩形的周长为，∴，设边，则，∴，∵对角线绕点A顺时针方向旋转得到线段，∴，，∴的面积为，即y与x的函数关系式为：【小问2详解】当时，，即，图像如下：故答案为：26【小问3详解】解：由图象可知，在x的变化过程中，当时，y取得最小值为25，如图，作交的延长线于点H，则，∵，∴，∵，,∴，∴,∵，∴，∵，∴,∴，即点E到直线的最小距离为．【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，其中，．（1）求抛物线的解析式：（2）点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点E，作轴交于点F，求的最小值，及此时点P的坐标；（3）如图2，x轴上有一点，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线与原抛物线的交点，点E是直线上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1） （2）最小值为，点； （3）或或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设，则，，由题意可得，则，当时，最小，此时；（3）先求平移后的抛物线解析式为，联立方程组，可得，设，分和两种情况，分别求解点E的坐标即可．【小问1详解】解：将，代入得，，解得：， ∴抛物线解析式为；【小问2详解】解：∵令中y＝0，则解得：，，∴，∴，设，代入，，∴，解得：，∴，设，则，，∴，∵轴，轴，∴，，∴，∴，∴，而，∵，，，∴当时，最小，最小值为，当时，，∴点；【小问3详解】解：，设平移后的抛物线解析式为，∵平移后抛物线经过，∴，解得或（舍），∴平移后的抛物线解析式为，联立方程组，解得，，设，，①当时，，解得或，当时，，当时，，∴点的坐标是或；②当时，，解得或， 当时，，当时，，∴点的坐标是或；综上所述：E点坐标为或或或．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法、二次函数图象的平移、解一元二次方程、勾股定理等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．四、解答题（本大题1个小题，12分）24. 在中，，，D为上一点．（1）如图1，过C作于E，连接．若平分，，求的长；（2）如图2，以为直角边，点C为直角顶点，向右作等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转，连接，取线段的中点N，连接．求证：；（3）如图3，连接，将沿翻折至处，在上取点H，连接，过点F作交于点Q，交于点G，连接，若，，当取得最小值时，求的面积．【答案】（1） （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）过D作于F，根据角平分线的性质得出，证明是等腰直角三角形，求出，，的长度，也是等腰直角三角形，求出的长，再求出的长，用勾股定理求出即可；（2）延长至点G，使得，连接，证明，，N是线段的中点，利用三角形的中位线的性质得出，即可证明．（3）连接，过点F作于点M，以为直径作，则有，即可求出，在中得到，进而求出长，点G在上运动，即当M在上时，最小，进而计算即可解题．【小问1详解】解：如图，过D作于F，∵平分，，，，∴，∵中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵在中，由勾股定理得，∴．【小问2详解】解：延长至点G，使得，连接，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵，N是线段AM的中点，∴是的中位线，∴，∴．【小问3详解】解：如图，连接，过点F作于点M，以为直径作，∵，∴，又∵，,∴∴∴，∴,由折叠可知,在中∵,∴，则是等边三角形，又∵O中点，∴,∴,∵，∴点在上运动，即当M在上时，最小，最小为，这时，．【点睛】本题考查三角形的全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，图形翻折变换的性质，锐角三角函数解直角三角形等，正确画出辅助线及熟练掌握几何相关知识点是解答本题的关键．第一次抽到的数02第二次抽到的数022002性别平均数中位数众数女生男生x123456y4134292625m