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精品解析：重庆市第一中学校2022--2023学年九年级下学期期阶段性消化作业(八) 数学试题
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重庆一中初2023届22−23学年度下期阶段性消化作业
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图为从上面看到的图形逐项判断即可．
【详解】A．俯视图为带圆心的圆，不符合题意；
B．俯视图为圆，不符合题意；
C．俯视图为长方形，不符合题意；
D．俯视图三角形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图为从正面看到的图形，左视图为从左面看到的图形，俯视图为从上面看到的图形是解题关键．
3. 的运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法．掌握同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 代数式是分式 B. 分式是最简分式
C. 分式有意义 D. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：代数式中，分母不含有未知数，不是分式，故A不符合题意；
分式是最简分式，故B符合题意；
当，即时，分式无意义，故C不符合题意；
，故D错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．
5. 一辆汽车的速度与时间之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 时间是因变量，速度是自变量
B. 汽车在时匀速行驶
C. 汽车在时匀速行驶
D. 汽车最快的速度是
【答案】B
【解析】
【分析】观察图像，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：速度是因变量，时间是自变量，故选项A不合题意；
汽车在时，匀速行驶，故选项B合题意；
汽车在时，匀速减小，故选项C不符合题意；
汽车最快的速度是，故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是掌握函数的图像和实际意义的关系．
6. 如果那么m的取值范围正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定的取值范围，再确定的取值范围即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，掌握逼近法估算无理数的大小是解题的关键．
7. 从盛满20升纯消毒液容器中，倒出x升消毒液后，用水加满，第二次倒出x升混合后的消毒液，再用水加满，此时容器内的消毒液浓度为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出第一次倒出x升后，纯消毒液的含量，进而得出第一次用水加满后容器内的消毒液浓度．再计算第二次倒出x升混合后的消毒液中纯消毒液的含量，从而可求出第二次倒出x升后，纯消毒液的含量，进而得出第二次用水加满后容器内的消毒液浓度，即可列出方程，最后整理即可．
【详解】解：第一次倒出x升后，纯消毒液的含量为升，用水加满，容器内的消毒液浓度为，
第二次倒出x升混合后的消毒液中纯消毒液的含量为，
∴第二次倒出x升后，纯消毒液的含量为，用水加满，容器内的消毒液浓度为．
∵此时容器内的消毒液浓度为，
∴可列方程为，即．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
8. 如图，等腰直角三角形ABC两腰与圆相切，底边BC过圆心O点，⊙O的半径为1，则线段BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设与的切点为F，连接，根据题意，可证明为等腰直角三角形，即可得出的长度，观察图形可得，即可解答．
【详解】
解：如图，设与的切点为F，连接，
等腰直角三角形ABC两腰与圆相切，
，
等腰直角三角形，
，
,
为等腰直角三角形，
的半径为1，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，切线的性质，根据题意作出切线是解题的关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A. 8 B. 8 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
【详解】解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
10. 已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：， 等，下列相关说法正确的个数是（ ）
①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，“绝对领域”可理解为任意加了绝对值后，符号内外仍是大的数减小的数，因此符号不会因添加了绝对值而改变．
【详解】解：①因为，只需给添加绝对值即：，可得式子结果一定为非负数，故①正确；
②原式的相反数为，由于，故不可能得到，故②错误；
③，可得：与的符号不变，，，符号会发生变化，举例法得到化简后的结果为： ，，， ，，，，共计8种，故③错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减计算，弄清定义，按规律分类讨论是解题的关键．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，进行运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，准确计算．
12. 已知第一组数据：1，3，5，7的方差为；第二组数据：6，6，6，6，的方差为；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则的大小关系是__________（用“<”连接）
【答案】
【解析】
【分析】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【详解】第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均数，求方差．掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是__________．
【答案】####
【解析】
【分析】根据坐标系内两点的距离公式可求出，，从而利用位似的性质得到与的位似比为，进而即得出E点的坐标是，即．
【详解】解：由题意可得：，，
∵与位似，原点O是位似中心，
∴与的位似比为，
∴E点的坐标是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系内两点的距离公式，位似的性质．根据题意求出位似比是解题关键．
14. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
则
解得，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
15. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“1”、“2”、“3”、“6”四个数字，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，
∴从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，BC=1cm，则图中阴影部分的面积为_______cm²．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分面积扇形扇形,根据圆的性质，证明为等边三角形，即可得出的度数，即可解答．
【详解】解：扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，BC=1cm，
，,
．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键．
17. 若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】分别解不等式组和分式方程，从而得到a的范围，进而取得a的整数，即可解答．
【详解】解：
整理得：
不等式组无解，
，
解，得：，
方程得解为负数，
，
，
当时，，分式方程无解，
且
，且，
的整数解为：1，2．
所有满足条件的整数a的值之和为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式，注意分式方程取增根的情况和明确不等式组解集的取法是解题的关键．
18. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定．若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为a，百位数字为b，且，若是一个完全平方数，则__________，满足条件的m的最小值为__________．
【答案】 ①. 6 ②. 7117
【解析】
【分析】由题意可知，，从而可求出．再根据是一个完全平方数，a，b不相等，，，且都为整数，即得出．最后由m为最小，说明为满足条件的最小值，即得出，，从而得出．
【详解】解：根据题意可知，，
∴，
∴．
∵是一个完全平方数，即为完全平方数，
又∵a，b不相等，，，且都为整数，
∴.
∵m为最小，
∴为满足条件的最小值，
∴，，
∴．
故答案为：6，7117．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算等知识．理解新定义的概念是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，20−26每小题10分，共78分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方根式去括号，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且满足．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：四边形是矩形，
__________，，．
，．
，
__________．
．
在和中：
，
__________．
．
即．
【答案】（1）作图见详解
（2）；；；
【解析】
【分析】（1）利用尺规按照要求作图即可；
（2）证明，可得结论．
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
，，．
，．
，
．
．
在和中：
，
．
．
即．
【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，寻找全等三角形是解题的关键．
21. 传承爱国情怀，讴歌百年党史，某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制，80分及以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：．，．，．，．）．下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在组的数据是：80，84，85，90，95，98
八年级抽取的学生竞赛成绩在组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量：
年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
82
100
八年级
82
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）；（2）八年级学生对“党史”掌握的比较好，理由见解析；（3）520人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得的值；
（2）根据平均数、众数、中位数、满分率可得结论；
（3）先根据抽取学生的成绩得出该校七、八年级学生参加此次竞赛活动成绩的优秀率，再乘以800即可得．
【详解】解：（1）
过程如下：求中位数需要将成绩有小到大进行排列，共有20个数据，所以中位数等于最中间两个数之和除以2，即排到第10和11位上的数，由图可知在两组的数据中共有9个，所以第10和11位上的数出现在C组，分别为：80，84，
，
求八年级成绩出现次数最多的数，由表的满分率，知100出现了7次，是出现次数最多的数，从而可以下结论，众数为：100，
即．
（2）八年级学生对“党史”掌握的比较好，理由如下：
七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但八年级学生的中位数和满分率高于七年级；
（3）七年级抽取的学生成绩在80分及以上的人数为（人），
八年级抽取的学生成绩在80分及以上的人数为（人），
则优秀率为，
估计该校七，八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数为（人）．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数及用样本估计总体，解题的关键是：除了对基本知识点掌握之外，还需要有一定的数据处理能力．
22. 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．
【小问1详解】
解：设小红的速度为，则小明的速度为，
依据题意列方程得，，
，
，
经检验，是原式方程的解．
．
小红的速度为，小明的速度为．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：小明的速度为，
小明从A地道B地需要时间为：．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或（舍去）．
A地到C地所需要时间为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
23. 今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为米．
（1）求阻燃带的长度（精确到个位）；
（2）若救援队赶造阻燃带的速度为每小时米，火源头的蔓延速度是每小时米，火源头的蔓延速度是每小时米，受热浪影响，火源头到来前分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前分钟赶造好阻燃带？（参考数据：，）
【答案】（1）米
（2）能，计算见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，依题意，，，，分别解，，根据，即可求解；
（2）分别求得火源头到达点的时间为小时，火源头到达点的时间为小时，救援队赶造阻燃带的时间为小时，加上分钟，进而比较即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
依题意，，，
在中，，
在中，
∴（米）
【小问2详解】
解：由（1）可得米，米
火源头到达点的时间为：小时，
火源头到达点的时间为：小时，
救援队赶造阻燃带的速度为每小时米，则救援队赶造阻燃带的时间为，
∵火源头到来前分钟无法工作，
∴允许的时间为小时，
∵，
∴救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前分钟赶造好阻燃带．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接EC，BF，已知F点的速度且，令，运动时间为x．
请回答下列问题：
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质；
（3）根据图形直接估计当时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1），
（2）画图像见解析，当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大；
（3）
【解析】
【分析】（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，连接．由正方形的性质结合题意易证，即得出，，再由三角形的面积公式求解即可；②当F点在上运动时，即，连接，．由①同理易证，得出，从而得出，再由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据函数解析式画图即可；由图象即得出其性质；
（3）由求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即得出结果．
【小问1详解】
分类讨论：①当F点在上运动时，即，如图，连接．
∵为正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②当F点在上运动时，即，如图，连接，．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴，
，
综上可知，；
【小问2详解】
在直角坐标系中画出的图像，如图，
由图像可知当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大；
【小问3详解】
联立两函数解析式，解得：，
∴与的交点坐标为．
求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，
由图像可知当时，函数的图像在函数的图像上方，
∴x的取值范围是．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用，求两直线的交点坐标，利用图像法解不等式等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
25. 如图1，抛物线与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A到直线的距离；
（2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作直线的垂线，垂足为点E，过点P作轴交于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当点P坐标为时，的周长有最大值，最大值为
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）过点作于点Q，连接.由抛物线解析式可求出，，，从而得出，，，进而由勾股定理可求出．最后由等积法可求出的长，即为点A到直线的距离．
（2）由题意结合平行线的性质易证为等腰直角三角形，再结合勾股定理可得出．由，即说明当取最大值时，的周长取最大值．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，则，即说明当时，有最大值，最大值为，进而可求出点P坐标和的周长最大值；
（3）先求出平移后抛物线的表达式，再联立两个抛物线解析式，即可求出点D的坐标．由菱形的性质可得出为等腰三角形．设，即可分别求出，，．分类讨论：①当时，②当时和③当时，分别可列出关于n的方程，解出n的值即得出答案．
【小问1详解】
如图，过点作于点Q，连接.
对于抛物线，
令，则，
解得：，；
令，则，
∴，，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
解得：，即点A到直线的距离为；
【小问2详解】
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当取最大值时，的周长取最大值．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，
∴，
当时，有最大值，最大值，
∴，的最大值为，
∴当点P坐标为时，的周长有最大值，最大值为；
【小问3详解】
∵，
∴将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，
联立，解得：，
∴．
∵点M为直线上的一点，
∴可设．
∵以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，
∴为等腰三角形．
∵，
∴，，．
分类讨论：①当时，，即：，
解得：，
∴，
∴；
②当时，，即：，
解得：，
当时，；
当时，，
∴或；
③当时，，即，
解得：（舍去），，
∴
综上，点M的坐标为：或或或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、特殊四边形、三角形的综合应用，还考查勾股定理，解一元二次方程等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
26. 如图，在中， ，，点D为直线右上方一点，且满足，连接．
（1）如图1，若，交于点O，求的长；
（2）如图2，点E为线段上一点，连接、，且满足，试证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，以，为边构造平行四边形，当时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）过点B作，证明，利用相似三角形的性质列出关于的方程，即可求解．
（2）延长、交于点F，在上截取，过点F作交延长线于点N，连接，由等边得出，再通过证明四边形是平行四边形得出，即可得出结论．
（3）过点F作，设，并用表示出，根据勾股定理得出，求出的值，得出的长度接口求出三角形的面积．
【小问1详解】
如图1，过点B作，交延长线于点E，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图2，延长、交于点F，在上截取，过点F作交延长线于点N，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，过点F作，垂足为点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
由（2）知，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去），
∴，，
∴，
故答案是．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形，勾股定理，解直角三角形等知识，属于综合题，有一定难度，熟练掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键．
重庆一中初2023届22−23学年度下期阶段性消化作业
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据俯视图为从上面看到的图形逐项判断即可．
【详解】A．俯视图为带圆心的圆，不符合题意；
B．俯视图为圆，不符合题意；
C．俯视图为长方形，不符合题意；
D．俯视图三角形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图为从正面看到的图形，左视图为从左面看到的图形，俯视图为从上面看到的图形是解题关键．
3. 的运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法．掌握同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 代数式是分式 B. 分式是最简分式
C. 分式有意义 D. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：代数式中，分母不含有未知数，不是分式，故A不符合题意；
分式是最简分式，故B符合题意；
当，即时，分式无意义，故C不符合题意；
，故D错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．
5. 一辆汽车的速度与时间之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 时间是因变量，速度是自变量
B. 汽车在时匀速行驶
C. 汽车在时匀速行驶
D. 汽车最快的速度是
【答案】B
【解析】
【分析】观察图像，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：速度是因变量，时间是自变量，故选项A不合题意；
汽车在时，匀速行驶，故选项B合题意；
汽车在时，匀速减小，故选项C不符合题意；
汽车最快的速度是，故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是掌握函数的图像和实际意义的关系．
6. 如果那么m的取值范围正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定的取值范围，再确定的取值范围即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，掌握逼近法估算无理数的大小是解题的关键．
7. 从盛满20升纯消毒液容器中，倒出x升消毒液后，用水加满，第二次倒出x升混合后的消毒液，再用水加满，此时容器内的消毒液浓度为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出第一次倒出x升后，纯消毒液的含量，进而得出第一次用水加满后容器内的消毒液浓度．再计算第二次倒出x升混合后的消毒液中纯消毒液的含量，从而可求出第二次倒出x升后，纯消毒液的含量，进而得出第二次用水加满后容器内的消毒液浓度，即可列出方程，最后整理即可．
【详解】解：第一次倒出x升后，纯消毒液的含量为升，用水加满，容器内的消毒液浓度为，
第二次倒出x升混合后的消毒液中纯消毒液的含量为，
∴第二次倒出x升后，纯消毒液的含量为，用水加满，容器内的消毒液浓度为．
∵此时容器内的消毒液浓度为，
∴可列方程为，即．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
8. 如图，等腰直角三角形ABC两腰与圆相切，底边BC过圆心O点，⊙O的半径为1，则线段BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设与的切点为F，连接，根据题意，可证明为等腰直角三角形，即可得出的长度，观察图形可得，即可解答．
【详解】
解：如图，设与的切点为F，连接，
等腰直角三角形ABC两腰与圆相切，
，
等腰直角三角形，
，
,
为等腰直角三角形，
的半径为1，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，切线的性质，根据题意作出切线是解题的关键．
9. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A. 8 B. 8 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
【详解】解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
10. 已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：， 等，下列相关说法正确的个数是（ ）
①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，“绝对领域”可理解为任意加了绝对值后，符号内外仍是大的数减小的数，因此符号不会因添加了绝对值而改变．
【详解】解：①因为，只需给添加绝对值即：，可得式子结果一定为非负数，故①正确；
②原式的相反数为，由于，故不可能得到，故②错误；
③，可得：与的符号不变，，，符号会发生变化，举例法得到化简后的结果为： ，，， ，，，，共计8种，故③错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减计算，弄清定义，按规律分类讨论是解题的关键．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，进行运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，准确计算．
12. 已知第一组数据：1，3，5，7的方差为；第二组数据：6，6，6，6，的方差为；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则的大小关系是__________（用“<”连接）
【答案】
【解析】
【分析】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【详解】第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均数，求方差．掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是__________．
【答案】####
【解析】
【分析】根据坐标系内两点的距离公式可求出，，从而利用位似的性质得到与的位似比为，进而即得出E点的坐标是，即．
【详解】解：由题意可得：，，
∵与位似，原点O是位似中心，
∴与的位似比为，
∴E点的坐标是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标系内两点的距离公式，位似的性质．根据题意求出位似比是解题关键．
14. 已知函数是反比例函数，则m的值为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
则
解得，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
15. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“1”、“2”、“3”、“6”四个数字，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，
∴从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，BC=1cm，则图中阴影部分的面积为_______cm²．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】根据阴影部分面积扇形扇形,根据圆的性质，证明为等边三角形，即可得出的度数，即可解答．
【详解】解：扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，
为等边三角形，
，
四边形为正方形，BC=1cm，
，,
．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求法，仔细观察图形，利用图形是解题的关键．
17. 若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______．
【答案】3
【解析】
【分析】分别解不等式组和分式方程，从而得到a的范围，进而取得a的整数，即可解答．
【详解】解：
整理得：
不等式组无解，
，
解，得：，
方程得解为负数，
，
，
当时，，分式方程无解，
且
，且，
的整数解为：1，2．
所有满足条件的整数a的值之和为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式，注意分式方程取增根的情况和明确不等式组解集的取法是解题的关键．
18. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定．若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为a，百位数字为b，且，若是一个完全平方数，则__________，满足条件的m的最小值为__________．
【答案】 ①. 6 ②. 7117
【解析】
【分析】由题意可知，，从而可求出．再根据是一个完全平方数，a，b不相等，，，且都为整数，即得出．最后由m为最小，说明为满足条件的最小值，即得出，，从而得出．
【详解】解：根据题意可知，，
∴，
∴．
∵是一个完全平方数，即为完全平方数，
又∵a，b不相等，，，且都为整数，
∴.
∵m为最小，
∴为满足条件的最小值，
∴，，
∴．
故答案为：6，7117．
【点睛】本题考查新定义运算，整式的混合运算等知识．理解新定义的概念是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，20−26每小题10分，共78分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方根式去括号，然后合并同类项即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20. 如图，在矩形中，点是边上一点，连接，且满足．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：四边形是矩形，
__________，，．
，．
，
__________．
．
在和中：
，
__________．
．
即．
【答案】（1）作图见详解
（2）；；；
【解析】
【分析】（1）利用尺规按照要求作图即可；
（2）证明，可得结论．
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
，，．
，．
，
．
．
在和中：
，
．
．
即．
【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，寻找全等三角形是解题的关键．
21. 传承爱国情怀，讴歌百年党史，某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制，80分及以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：．，．，．，．）．下面给出了部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在组的数据是：80，84，85，90，95，98
八年级抽取的学生竞赛成绩在组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量：
年级
平均数
众数
中位数
满分率
七年级
82
100
八年级
82
88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出，的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）；（2）八年级学生对“党史”掌握的比较好，理由见解析；（3）520人．
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得的值；
（2）根据平均数、众数、中位数、满分率可得结论；
（3）先根据抽取学生的成绩得出该校七、八年级学生参加此次竞赛活动成绩的优秀率，再乘以800即可得．
【详解】解：（1）
过程如下：求中位数需要将成绩有小到大进行排列，共有20个数据，所以中位数等于最中间两个数之和除以2，即排到第10和11位上的数，由图可知在两组的数据中共有9个，所以第10和11位上的数出现在C组，分别为：80，84，
，
求八年级成绩出现次数最多的数，由表的满分率，知100出现了7次，是出现次数最多的数，从而可以下结论，众数为：100，
即．
（2）八年级学生对“党史”掌握的比较好，理由如下：
七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但八年级学生的中位数和满分率高于七年级；
（3）七年级抽取的学生成绩在80分及以上的人数为（人），
八年级抽取的学生成绩在80分及以上的人数为（人），
则优秀率为，
估计该校七，八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数为（人）．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数及用样本估计总体，解题的关键是：除了对基本知识点掌握之外，还需要有一定的数据处理能力．
22. 周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
（1）求小明、小红的跑步速度；
（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．
【小问1详解】
解：设小红的速度为，则小明的速度为，
依据题意列方程得，，
，
，
经检验，是原式方程的解．
．
小红的速度为，小明的速度为．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：小明的速度为，
小明从A地道B地需要时间为：．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或（舍去）．
A地到C地所需要时间为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
23. 今年夏季我市持续高温引发多地山火．如图，某地山火火口宽米，受风力等因素的影响，火源头正沿东北方向的蔓延，火源头正沿北偏东方向的蔓延，山火救援队在前方赶造一条阻燃带，已知，与间的距离为米．
（1）求阻燃带的长度（精确到个位）；
（2）若救援队赶造阻燃带的速度为每小时米，火源头的蔓延速度是每小时米，火源头的蔓延速度是每小时米，受热浪影响，火源头到来前分钟无法工作．通过计算说明，救援队能否在最先到达阻燃带的火源头到来前分钟赶造好阻燃带？（参考数据：，）
【答案】（1）米
（2）能，计算见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，依题意，，，，分别解，，根据，即可求解；
（2）分别求得火源头到达点的时间为小时，火源头到达点的时间为小时，救援队赶造阻燃带的时间为小时，加上分钟，进而比较即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
依题意，，，
在中，，
在中，
∴（米）
【小问2详解】
解：由（1）可得米，米
火源头到达点的时间为：小时，
火源头到达点的时间为：小时，
救援队赶造阻燃带的速度为每小时米，则救援队赶造阻燃带的时间为，
∵火源头到来前分钟无法工作，
∴允许的时间为小时，
∵，
∴救援队能在最先到达阻燃带的火源头到来前分钟赶造好阻燃带．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接EC，BF，已知F点的速度且，令，运动时间为x．
请回答下列问题：
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图像，并写出函数的一条性质；
（3）根据图形直接估计当时x的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1），
（2）画图像见解析，当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大；
（3）
【解析】
【分析】（1）分类讨论：①当F点在上运动时，即，连接．由正方形的性质结合题意易证，即得出，，再由三角形的面积公式求解即可；②当F点在上运动时，即，连接，．由①同理易证，得出，从而得出，再由三角形的面积公式求解即可；
（2）根据函数解析式画图即可；由图象即得出其性质；
（3）由求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，再结合图象即得出结果．
【小问1详解】
分类讨论：①当F点在上运动时，即，如图，连接．
∵为正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
②当F点在上运动时，即，如图，连接，．
由①同理可证，
∴，
∴，
∴，
，
综上可知，；
【小问2详解】
在直角坐标系中画出的图像，如图，
由图像可知当时，的值随x的增大而减小；时，的值随x的增大而增大；
【小问3详解】
联立两函数解析式，解得：，
∴与的交点坐标为．
求时x的取值范围，即求函数的图像在函数的图像上方时（包括交点），x的取值范围，
由图像可知当时，函数的图像在函数的图像上方，
∴x的取值范围是．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用，求两直线的交点坐标，利用图像法解不等式等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
25. 如图1，抛物线与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C．
（1）求点A到直线的距离；
（2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作直线的垂线，垂足为点E，过点P作轴交于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当点P坐标为时，的周长有最大值，最大值为
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）过点作于点Q，连接.由抛物线解析式可求出，，，从而得出，，，进而由勾股定理可求出．最后由等积法可求出的长，即为点A到直线的距离．
（2）由题意结合平行线的性质易证为等腰直角三角形，再结合勾股定理可得出．由，即说明当取最大值时，的周长取最大值．利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，则，即说明当时，有最大值，最大值为，进而可求出点P坐标和的周长最大值；
（3）先求出平移后抛物线的表达式，再联立两个抛物线解析式，即可求出点D的坐标．由菱形的性质可得出为等腰三角形．设，即可分别求出，，．分类讨论：①当时，②当时和③当时，分别可列出关于n的方程，解出n的值即得出答案．
【小问1详解】
如图，过点作于点Q，连接.
对于抛物线，
令，则，
解得：，；
令，则，
∴，，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
解得：，即点A到直线的距离为；
【小问2详解】
∵，
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当取最大值时，的周长取最大值．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设，则，
∴，
当时，有最大值，最大值，
∴，的最大值为，
∴当点P坐标为时，的周长有最大值，最大值为；
【小问3详解】
∵，
∴将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，
联立，解得：，
∴．
∵点M为直线上的一点，
∴可设．
∵以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，
∴为等腰三角形．
∵，
∴，，．
分类讨论：①当时，，即：，
解得：，
∴，
∴；
②当时，，即：，
解得：，
当时，；
当时，，
∴或；
③当时，，即，
解得：（舍去），，
∴
综上，点M的坐标为：或或或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、特殊四边形、三角形的综合应用，还考查勾股定理，解一元二次方程等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
26. 如图，在中， ，，点D为直线右上方一点，且满足，连接．
（1）如图1，若，交于点O，求的长；
（2）如图2，点E为线段上一点，连接、，且满足，试证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，以，为边构造平行四边形，当时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）过点B作，证明，利用相似三角形的性质列出关于的方程，即可求解．
（2）延长、交于点F，在上截取，过点F作交延长线于点N，连接，由等边得出，再通过证明四边形是平行四边形得出，即可得出结论．
（3）过点F作，设，并用表示出，根据勾股定理得出，求出的值，得出的长度接口求出三角形的面积．
【小问1详解】
如图1，过点B作，交延长线于点E，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图2，延长、交于点F，在上截取，过点F作交延长线于点N，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图3，过点F作，垂足为点H，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
由（2）知，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去），
∴，，
∴，
故答案是．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形，勾股定理，解直角三角形等知识，属于综合题，有一定难度，熟练掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键．
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