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高考数学二轮专题学与练 06 三角函数的图像与性质(考点解读)(含解析)
展开这是一份高考数学二轮专题学与练 06 三角函数的图像与性质(考点解读)(含解析),共23页。试卷主要包含了同角三角函数基本关系式,函数y=Asin的图象, 已知为锐角,,.等内容,欢迎下载使用。
专题6 三角函数的图像与性质
1.三角函数y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换,周期及单调性是高考热点.
2.备考时应掌握y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象与性质,并熟练掌握函数y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的值域、单调性、周期性等.
1.任意角和弧度制
(1)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
(3)弧长公式:l=|α|r,
扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.
2.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=(x≠0).
(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.诱导公式
公式一
sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,
tan(2kπ+α)=tanα
公式二
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,
tan(π+α)=tanα
公式三
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,
tan(-α)=-tanα
公式四
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,
tan(π-α)=-tanα
公式五
sin=cosα,cos=sinα
公式六
sin=cosα,cos=-sinα
口诀
奇变偶不变,符号看象限
4.同角三角函数基本关系式
sin2α+cos2α=1,tanα=(cosα≠0).
5.正弦、余弦、正切函数的性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
R
R
{x|x≠+kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期
2π
2π
π
单调性
在[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增.
在[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增.在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减
在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x=+2kπ,k∈Z时,y取得最大值1.
当x=-+2kπ,k∈Z时,y取得最小值-1
当x=2kπ,k∈Z时,y取得最大值1.
当x=π+2kπ,k∈Z时,y取得最小值-1
无最值
对称性
对称中心:(kπ,0)(k∈Z).
对称轴:x=+kπ(k∈Z)
对称中心:(+kπ,0)(k∈Z).
对称轴:x=kπ(k∈Z)
对称中心:(,0)(k∈Z)
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z=ωx+φ,令z=0、、π、、2π,求出x的值与相应的y的值,描点连线可得.
高频考点一 三角函数图象及其变换
例1、【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D.
【举一反三】(2018年天津卷)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知:
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:
.
则函数的单调递增区间满足:,
即,
令可得一个单调递增区间为:.
函数的单调递减区间满足:,
即,
令可得一个单调递减区间为:.
本题选择A选项.
【变式探究】【2017课标1,理9】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位长度得到,故选D.
【变式探究】函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
【解析】根据图象上点的坐标及函数最值点,确定A,ω与φ的值.
由图象知=-=,故T=π,因此ω==2.又图象的一个最高点坐标为,所以A=2,且2×+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z),结合选项可知y=2sin.
【答案】A
【变式探究】 (1)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】基本法:由函数图象知T=2×=2.
∴=2,即ω=π.
由π×+φ=+2kπ,k∈Z,不妨设φ=.
∴f(x)=cos
由2kπ<πx+<2kπ+π得,
2k-<x<2k+,k∈Z,故选D.
速解法:由题图可知=-=1,所以T=2.
结合题图可知,在(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故选D.
【答案】D
(2)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
【解析】基本法:根据三角函数图象的变换关系求解.
由y=sin=sin 4得,只需将y=sin 4x的图象向右平移个单位即可,故选B.
速解法:将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位可得到函数y=sin=sin的图象.故选B.
【答案】B
高频考点二 三角函数性质及应用
例2、【2019年高考全国Ⅱ卷】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D;
因为,周期为,排除C;
作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确;
作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,
故选A.
图1
图2
图3
【举一反三】(2018年全国Ⅱ卷理数)已知,,则__________.
【答案】
【解析】因为,,
所以,
因此
【变式探究】【2017课标1,理17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)由题设得,即.
由正弦定理得.
故.
(2)由题设及(1)得,即.
所以,故.
由题设得,即.
由余弦定理得,即,得.
故△ABC的周长为.
【变式探究】(1)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )
【解析】基本法:用排除法排除错误选项.
当x∈时,f(x)=tan x+,图象不会是直线段,从而排除A,C.
当x∈时,f=f=1+,
f=2.∵2<1+,∴f<f=f,从而排除D,故选B.
速解法:当x=时,f=1+.
x=时,f=2,显然f<f排除C、D.
又∵x为角度,f(x)不是一次函数,排除A,故选B.
【答案】B
(2)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为________.
【解析】基本法:利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式.
∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)
=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ
=sin[(x+φ)-φ]=sin x,
∴f(x)的最大值为1.
速解法:∵φ为常数,令φ=0时,f(x)=sin x.
若φ=,则f(x)=sin-cos=sin x
猜想f(x)=sin x
f(x)max=1.
【答案】1
(3)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在单调递减
B.f(x)在单调递减
C.f(x)在单调递增
D.f(x)在单调递增
【解析】基本法:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=sin,
∵T==π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+=kπ+,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=·sin=cos 2x,令2kπ<2x<2kπ+π
得kπ<x<kπ+,k∈Z.
∴f(x)在上单调递减,故选A.
速解法:由f(x)=sin知T==π,
∴ω=2.
f(x)为偶函数,∴φ+=,∴φ=.
∴f(x)=cos 2x依据图象特征可得f(x)在为减区间.
【答案】A
1.【2019年高考全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D.
2.【2019年高考全国Ⅰ卷】关于函数有下述四个结论:
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(,)单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
【答案】C
【解析】为偶函数,故①正确.
当时,,它在区间单调递减,故②错误.
当时,,它有两个零点:;当时,
,它有一个零点:,故在有个零点:,故③错误.
当时,;当时,,又为偶函数,的最大值为,故④正确.
综上所述,①④正确,故选C.
3.【2019年高考全国Ⅱ卷】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是
A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|
C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D;
因为,周期为,排除C;
作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确;
作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,
故选A.
图1
图2
图3
4.【2019年高考全国Ⅱ卷】已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,,,又,,又,,故选B.
5.【2019年高考全国Ⅲ卷】设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:
①在()有且仅有3个极大值点
②在()有且仅有2个极小值点
③在()单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A.①④ B.②③
C.①②③ D.①③④
【答案】D
【解析】①若在上有5个零点,可画出大致图象,
由图1可知,在有且仅有3个极大值点.故①正确;
②由图1、2可知,在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误;
④当=sin()=0时,=kπ(k∈Z),所以,
因为在上有5个零点,
所以当k=5时,,当k=6时,,解得,
故④正确.
③函数=sin()的增区间为:,.
取k=0,
当时,单调递增区间为,
当时,单调递增区间为,
综上可得,在单调递增.故③正确.
所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
6.【2019年高考天津卷】已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵为奇函数,∴;
又∴,
又,∴,
∴,故选C.
1.(2018年全国Ⅲ卷理数)若,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故答案为B.
2. (2018年天津卷)将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知:
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:
.
则函数的单调递增区间满足:,
即,
令可得一个单调递增区间为:.
函数的单调递减区间满足:,
即,
令可得一个单调递减区间为:.
本题选择A选项.
3. (2018年北京卷)设函数f(x)=,若对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立,所以取最大值,所以,因为,所以当时,ω取最小值为.
4. (2018年江苏卷)已知函数的图象关于直线对称,则的值是________.
【答案】
【解析】由题意可得,所以,因为,所以
5. (2018年全国Ⅲ卷理数)函数在的零点个数为________.
【答案】
【解析】
由题可知,或
解得,或
故有3个零点。
6. (2018年全国Ⅱ卷理数)已知,,则__________.
【答案】
【解析】因为,,
所以,
因此
7. (2018年浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P().
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【答案】(Ⅰ) , (Ⅱ) 或
【解析】(Ⅰ)由角的终边过点得,
所以.
(Ⅱ)由角的终边过点得,
由得.
由得,
所以或.
8. (2018年江苏卷)已知为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)因为,,所以.
因为,所以,
因此,.
(2)因为为锐角,所以.
又因为,所以,
因此.
因为,所以,
因此,.
1.【2017课标1,理9】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位长度得到,故选D.
2.【2017课标1,理17】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【答案】(1).(2).
【解析】
(1)由题设得,即.
由正弦定理得.
故.
(2)由题设及(1)得,即.
所以,故.
由题设得,即.
由余弦定理得,即,得.
故△ABC的周长为.
1.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】设边上的高为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.
2.【2016高考新课标2理数】若,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 ,
且,故选D.
3.【2016高考新课标3理数】若 ,则( )
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由,得或,所以,故选A.
4.【2016年高考四川理数】= .
【答案】
【解析】 由二倍角公式得
5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( )
(A)向左平行移动个单位长度 (B)向右平行移动个单位长度
(C)向左平行移动个单位长度 (D)向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意,为了得到函数,只需把函数的图像上所有点向右移个单位,故选D.
6.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】由题意,将函数的图像向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.
7.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移() 个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则( )
A.,的最小值为B. ,的最小值为
C.,的最小值为D.,的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得,,当s最小时,所对应的点为,此时,故选A.
8.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
【解析】因为,=,所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
9.【2016高考浙江理数】设函数,则的最小正周期( )
A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关
【答案】B
【解析】,其中当时,,此时周期是;当时,周期为,而不影响周期.故选B.
10.【2016高考山东理数】函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x –sin x)的最小正周期是( )
(A) (B)π (C) (D)2π
【答案】B
【解析】,故最小正周期,故选B.
11.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( )
(A)向左平行移动个单位长度 (B)向右平行移动个单位长度
(C)向左平行移动个单位长度 (D)向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意,为了得到函数,只需把函数的图像上所有点向右移个单位,故选D.
12.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】由题意,将函数的图像向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.
13.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移() 个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则( )
A.,的最小值为B. ,的最小值为
C.,的最小值为D.,的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得,,当s最小时,所对应的点为,此时,故选A.
14.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
【解析】因为,=,所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
15.【2016高考新课标3理数】在中,,边上的高等于,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】设边上的高为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.
16.【2016高考新课标2理数】若,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】 ,
且,故选D.
17.【2016高考新课标3理数】若 ,则( )
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由,得或,所以,故选A.
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