高考数学二轮专题学与练 08 平面向量（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 08 平面向量（考点解读）（含解析），共21页。试卷主要包含了向量的基本概念，共线向量定理，平面向量基本定理，两向量的夹角，向量的坐标表示及运算，平面向量共线的坐标表示，平面向量的数量积，数量积的性质等内容，欢迎下载使用。
高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．
预测高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．
1．向量的基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.
(3)长度等于1的向量叫单位向量．
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
4．两向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．
5．向量的坐标表示及运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)．
6．平面向量共线的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．
7．平面向量的数量积
设θ为a与b的夹角．
(1)定义：a·b＝|a||b|csθ.
(2)投影：eq \f(a·b,|b|)＝|a|csθ叫做向量a在b方向上的投影．
8．数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；
(3)|a·b|≤|a|·|b|；
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|).
9．数量积的坐标表示、模、夹角
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；
(4)csθ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【误区警示】
1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b| SKIPIF 1 < 0 |；
当| SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 |>| SKIPIF 1 < 0 |成立时，| SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 |2>| SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 |2 SKIPIF 1 < 0 • SKIPIF 1 < 0 >0，又因为点A，B，C不共线，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角.故“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角”是“| SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 |>| SKIPIF 1 < 0 |”的充分必要条件,故选C．
4．【2019年高考全国III卷理数】已知a，b为单位向量，且a·b=0，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
5．【2019年高考天津卷理数】在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，其方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．【2019年高考浙江卷】已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，当每个 SKIPIF 1 < 0 取遍 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值是________；最大值是_______.
【答案】0； SKIPIF 1 < 0 .
【解析】以 SKIPIF 1 < 0 分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.
则 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 0.
又因为 SKIPIF 1 < 0 可取遍 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，有最小值 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的取值不相关， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别取得最大值时，y有最大值，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，有最大值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为0； SKIPIF 1 < 0 .
1. (2018年浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−
【答案】A
【解析】设，则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2. (2018年天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
点在上，则，设，则：
，即，
据此可得：，且：
，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
3. (2018年全国I卷理数)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点(–2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】根据题意，过点(–2，0)且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.
4. (2018年全国I卷理数)在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
5. (2018年全国Ⅱ卷理数)已知向量，满足，，则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】因为
所以选B.
6. (2018年江苏卷)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
7. (2018年全国Ⅲ卷理数)已知向量，，．若，则________．
【答案】
【解析】由题可得

,即
故答案为
1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 的最大值为
A．3B．2 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系
设 SKIPIF 1 < 0
根据等面积公式可得圆的半径是 SKIPIF 1 < 0 ，即圆的方程是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是3，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值是3，故选A。
2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，即两向量反向，夹角是 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 T，若 SKIPIF 1 < 0 ，那么两向量的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，并不一定反向，即不一定存在负数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以是充分不必要条件，故选A.
3.【2017课标II，理12】已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，所求的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】利用如下图形，可以判断出 SKIPIF 1 < 0 的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5.【2017天津，理13】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ,则
SKIPIF 1 < 0 .
6.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
【答案】
【解析】，
，
，
，解得：．
7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4， SKIPIF 1 < 0
【解析】设向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理有： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值是4，最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选C。
9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的模分别为1,1, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,且tan SKIPIF 1 < 0 =7, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为45°.若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , 则 SKIPIF 1 < 0 ▲ .
SKIPIF 1 < 0
A
C
B
O
(第12题)
【答案】3
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据向量的分解，
易得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10.【2017江苏，16】 已知向量 SKIPIF 1 < 0
(1)若a∥b,求x的值；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值以及对应的 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 时， QUOTE SKIPIF 1 < 0 取得最大值，为3； SKIPIF 1 < 0 时， QUOTE SKIPIF 1 < 0 取得最小值，为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
解：(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，a∥b，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
于是，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值3；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 .
1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则( )
(A)－8 (B)－6 (C)6 (D)8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，
，
因此，
3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
4.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，
，
因此，