2023年黑龙江省绥化市中考数学三模试卷（含解析）

2023年黑龙江省绥化市中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图的三视图对应的物体是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )
 

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形
D. 当时，它是矩形

6.  某校九年级有名同学参加“建党一百周年”知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的(    )

A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差

7.  如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  要使式子有意义，的取值范围是______．

10.  如图，，点在上，，若，则的度数是______．

11.  如图，的半径为，点，，都在上，若，则的长为          结果用含有的式子表示
 

12.  如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接若，则的周长为______ ．

13.  对于实数，，定义运算“”如下：若，则          ．

14.  如图，无人机于空中处测得某建筑项部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为______ 参考数据：，，．

15.  古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵中的点的个数即五边形数；

将五边形数，，，，，，，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第个数为______ ．

16.  已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：
；
若，则；
若点，在抛物线上，，且，则；
当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是______填写序号．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
“七一”建党节前夕，某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多元，预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．
求，奖品的单价；
购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件，求购买，两种奖品的数量，有哪几种方案？

19.  本小题分
某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是______ ；
请补全条形统计图；
若该校九年级共有学生人，则估计该校“良好”的人数是______ ；
已知“不及格”的名学生中有名男生、名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？

20.  本小题分
如图，，分别是的直径和弦，点为劣弧上一点，连接，弦分别交于点，，交于点，交于点，过点的切线交的延长线于点．
若，求证：．
点在劣弧的什么位置时，才能使？为什么？

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，面积为．
求反比例函数的解析式；
在轴上求一点，使的值最大，并求出其最大值和点坐标．

22.  本小题分
为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为元；乙种产品的进货总金额单位：元与乙种产品进货量单位：之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为元和元．
求出和时，与之间的函数关系式；
若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为元利润销售额成本，请求出单位：元与乙种产品进货量单位：之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低元和元，全部售出后所获总利润不低于元，求的最大值．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转．

如图，当时， ______ ，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为______ ；分
将绕点逆时针旋转至图所示位置时，中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；分
在绕点逆时针旋转过程中，的最大值为______ ；分
当，，三点共线时，请求出线段的长分．

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，点、分别位于原点左、右两侧，且，过点的直线交轴于点．

求、、的值；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，点为线段上一点，连接，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义，若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有满足这两点，
故选：．
本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．
因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，故A错误．
B、原式，故B错误．
C、原式，故C正确．
D、原式，故D错误．
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，且他们的成绩互不相同，第名的成绩是中位数，要判断是否进入决赛，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：．
人成绩的中位数是第名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入决赛，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，则，
解得，
令，则，
所以，点，，
所以，，，
，
，
由勾股定理得，，
旋转角是，
，
轴，
点．
故选：．
根据直线解析式求出点、的坐标，从而得到、的长度，再求出，利用勾股定理列式求出，然后根据旋转角是判断出轴，再写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质旋转，一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据题意得出轴是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的面积为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，
过点作，且使，
连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，

理由：，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
则，
则的周长的最小值为，
故选：．
由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解．
本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点、的位置是本题解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
由，即可求解．
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，即，
，
，
故答案为：．
先由，得，，得，再根据三角形内角和定理得，，即，从而求出，再由三角形外角和定理即可求出的度数．
此题考查的知识点是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出的度数．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
利用圆周角定理和圆的弧长公式解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的弧长公式，正确利用上述性质解答是解题的关键．
【解答】
解：，，
．
的长为，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出是解题关键．
【解答】
解：由基本作图方法得出：垂直平分，
则，
可得，，
，
，
的周长为：．
故答案为：．  

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．  

14.【答案】 

【解析】解：，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以得到和的值，从而可以得到的值．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：第一行有个数，第二行有个数，，第行有个数，前行共有个数，
第八行从左至右第个数就是第个五边形数，
根据图形得第个五边形数为：，
故答案为：．
先找到第八行左数第个数是第几个五边形数，再根据图形规律计算．
本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故错误；
由题意，抛物线的对称轴是直线，，
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，

，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故正确，
故答案为：．
正确．根据对称轴在轴的右侧，可得结论；
错误．；
正确．由题意，抛物线的对称轴是直线，，由点，在抛物线上，，且，推出点到对称轴的距离点到对称轴的距离，推出；
正确，证明判别式即可．
本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算，再进行加减运算即可．
此题考查的是实数的运算，掌握负整数次幂、零指数幂、特殊三角函数、绝对值的运算法则是解决此题关键．
 

18.【答案】解：设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：奖品的单价为元，则奖品的单价为元；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，
由题意得：
解得：，
为正整数，
的值为，，，
有三种方案：
购买种奖品件，种奖品件；
购买种奖品件，种奖品件；
购买种奖品件，种奖品件． 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意：预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．列出分式方程，解方程即可；
设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，由题意：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
 

19.【答案】 

人
画树状图如图：

共有种等可能的结果，抽到两名男生的结果有种，
抽到两名男生的概率为． 

【解析】解：
在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：，故答案为：；

这次调查的人数为：人，则及格的人数为：人，

估计该校“良好”的人数为：人，故答案为：人；

见答案

由乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
求出这次调查的人数为：人，得出及格的人数，补全条形统计图即可；
由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，抽到两名男生的结果有种，则由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

20.【答案】证明：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：；
解：在劣弧的中点时，才能使．
理由：连接，
若，
可得：∽，
，
，
即为劣弧的中点时，能使． 

【解析】作辅助线，连接根据切线的性质，根据，，可得：，在中，可得：，故AB；
根据，可得：∽，从而可知：，即在劣弧的中点．
本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定与性质的运用，掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设点坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
，
，
反比例函数解析式为有．
如图，当点为直线与轴交点时满足题意，

把代入得，
解得，
点坐标为，
令，
得，，
把代入得，
把代入得，
点坐标为，点坐标为，
，
为最大值． 

【解析】由面积为可得反比例函数系数，进而求解．
当点为直线与轴交点时满足题意，联立直线与曲线方程，求出点，坐标，进而求解．
本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是掌握反比例函数系数的几何意义，掌握函数与方程的关系．
 

22.【答案】解：当时，设，根据题意可得，，
解得，
；
当时，设，
根据题意可得，，
解得，
．
．
根据题意可知，购进甲种产品千克，
，
当时，，
，
当时，的最大值为元；
当时，，
，
当时，的最大值为元，
综上，；当购进甲产品千克，乙产品千克时，利润最大为元．

根据题意可知，降价后，
，
当时，取得最大值，
，解得．
的最大值为． 

【解析】分当时，当时，利用待定系数法求解即可；
根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于，可得出的取值范围．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
 

23.【答案】     

【解析】解：在中，，
，
，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
，
，所在直线相交所成的较小夹角为，
故答案为：；；

中结论仍然成立，证明：延长，相交于点，如图，

由旋转知，，
，，
，，
，，
，
∽，
，，
，
；

由题意，，，，
当点落在的延长线上时，的面积最大，最大值；
故答案为：；

在图中，在中，，当点在的延长线上时，如图，

，，三点共线，
，
在中，，
；
当点在线段上时，如图，

同的方法得，，
；
即线段的长为或．
先求出，，再求出，进而求出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，，进而求出，即可得出结论；
当点落在的延长线上时，的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出，即可得出结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：由知，点、的坐标分别为、，
设抛物线的表达式为，
则，
则点，
将点、的坐标代入并解得：，
即，
故，，；

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则设点的坐标为，
当为直角时，如图，
设抛物线的对称轴交轴于点，

则，，，，
，，
，
，即，
，解得；
故点的坐标为；
当为直角时，如图，

故点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
则，，，，
同理可得，
，即，
解得：，
故点的坐标为或；
当为直角时，如图，

同理可得，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或；

过点作直线使，过点作交于点，则点为所求点，

理由：，则，则为最小，
过点作于点，则，
由点、的坐标得，，
则，则，
在中，，
同理可得，，
在中，，，
则，
则，
则的最小值． 

【解析】用待定系数法即可求解；
当为直角时，由得到，即，即可求解；当为直角或为直角时，同理可解；
过点作直线使，过点作交于点，则点为所求点，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．