(新高考)高考数学一轮复习素养练习 第8章 第1讲　高效演练分层突破 (含解析)

[基础题组练]

1．下列说法正确的有(　　)

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④圆锥的轴截面是等腰三角形．

A．1个  B．2个 

C．3个  D．4个

解析：选A．①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．

2．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是(　　)

A．4πS  B．2πS

C．πS  D．πS

解析：选A．由πr2＝S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为2π·＝2，所以圆柱的侧面积是4πS，故选A．

3．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是(　　)

A．三棱锥 B．四棱锥

C．三棱柱 D．组合体

解析：选B．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.

4．(2020·安徽合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4.若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为(　　)

A．5  B．

C．9  D．3

解析：选B．因为圆锥的底面半径r＝4，高h＝3，所以圆锥的母线l＝5，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝20π，设球的半径为R，则4πR2＝20π，所以R＝，故选B．

5．(2020·辽宁沈阳东北育才学校五模)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为(　　)

A．π  B．2π

C．3π  D．4π

解析：选B．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为R，则有2πR＝3×，所以R＝1.设圆锥的内切球半径为r，圆锥的高为h，内切球球心必在圆锥的高线上，因为圆锥的母线长为3，所以h＝＝2，所以有＝，解得r＝，因此内切球的表面积S＝4πr2＝2π.

6．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．

解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝S＝5(cm2)．

答案：5 cm2

7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.

解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.

在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．

所以AB＝＝13(cm)．

答案：13

8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．

解析：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，所以V圆锥SO＝πr2h，V圆柱PO＝π·＝，所以＝.

答案：

9. (应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.

因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P­A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；

正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积

V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．

故仓库的容积是312 m3.

10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．

解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.

故AC⊥平面BED.

又AC⊂平面AEC，

所以平面AEC⊥平面BED.

(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.

因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.

由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.

由已知得，三棱锥E­ACD的体积V三棱锥E­ACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.

从而可得AE＝EC＝ED＝.

所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.

故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2.

[综合题组练]

1．(2020·辽宁丹东测试)已知表面积为12π的圆柱的上下底面的中心分别为O1，O2.若过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则O1O2＝(　　)

A．2  B．2

C．  D．

解析：选B．因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为r，则母线长为2r，所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝12π，解得r＝，所以O1O2＝2r＝2，故选B．

2.如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(　　)

A．  B．π

C．  D．

解析：选C．正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3×＝.故选C．

3．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，D1B与DC所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是(　　)

A．16π  B．8π

C．4π  D．4π

解析：选A．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，因为DC∥AB，所以相交直线D1B与AB所成的角是异面直线D1B与DC所成的角．

连接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1，所以在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B与DC所成的角，即∠ABD1＝60°，又AB＝2，AB＝BD1cos 60°，

所以BD1＝＝4，设长方体ABCD­A1B1C1D1外接球的半径为R，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得4R2＝D1B2＝16，则R＝2，

所以长方体外接球的表面积是4πR2＝16π.故选A．

4. (多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是(　　)

A．AE∥平面C1BD

B．四面体ACEF的体积不为定值

C．三棱锥A­BEF的体积为定值

D．四面体ACDF的体积为定值

解析：选ACD．对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；

对于B，如图2，S△AEF＝EF·h1＝×1×＝，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA-CEF＝VC-AEF＝××d＝d为定值，所以B错误；

对于C，如图3，S△BEF＝×1×3＝，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VA-BEF＝××d＝d为定值，C正确；

对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA-CDF＝VF-ACD＝××3×3×3＝为定值，D正确．

5．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．

解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.

△SAB的面积为·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，

所以SA2＝80，SA＝4.因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.所以底面周长l＝2π·AS′＝4π，所以圆锥的侧面积为×4×4π＝40π.

答案：40π

6．(2020·东北师大附中、重庆一中等校联合模拟)若侧面积为4π的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为________．

解析：设圆柱的底面圆半径为r，高为h，

则球的半径R＝.

因为球的体积V＝R3，故V最小当且仅当R最小．

圆柱的侧面积为2πrh＝4π，所以rh＝2.

所以＝，

所以R＝≥，

当且仅当r2＝.

即r＝1时取等号，此时k取最小值，所以r＝1，h＝2，圆柱的表面积为2π＋4π＝6π.

答案：6π

7．(应用型)(2020·安徽六安一中模拟(四))我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的半椭球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，短半轴长为1，长半轴长为3的椭球体的体积是________．

解析：因为S圆＝S环总成立，所以半椭球体的体积为πb2a－πb2a＝πb2a，

所以椭球体的体积V＝πb2a.

因为椭球体的短半轴长为1，长半轴长为3.

所以椭球体的体积V＝πb2a＝π×12×3＝4π.

答案：4π

8．(应用型)我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛(chú ráo )：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体(如图)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为______，体积为______．

解析：由题意知该五面体的表面积S＝S矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2××2×＋2××(2＋4)×＝8＋8.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，连接OQ.因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，所以OP＝(AB－EF)＝1，PF＝＝，OQ＝BC＝1，所以OF＝＝，采用分割的方法，分别过点F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN­FQH，两个全等的四棱锥：E­AMND，F­QBCH，所以这个几何体的体积V＝VEMN­FQH＋2VF­QBCH＝S△QFH×MQ＋2×S矩形QBCH×FO＝×2××2＋2××1×2×＝.

答案：8＋8