（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点57 数系的扩充与复数的引入 (含解析)

考点五十八  数系的扩充与复数的引入

知识梳理

1．复数的概念

(1) 虚数单位i

i是虚数单位，满足i2＝－1；i和实数在一起进行四则运算，进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立．

(2) 复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．把复数表示为a＋bi(a，b∈R)的形式，叫做复数的代数形式．

(3) 复数相等

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4) 共轭复数

实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，即

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5) 复数的模

设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则向量的长度叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝．

2．复平面

从复数的定义可以知道，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以用一个有序实数对(a，b)唯一确定，这样我们可以用建立了直角坐标系内的点来表示复数．当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数，除了原点，虚轴上的点都表示纯虚数．在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称．

3．复数的几何意义

复数、点、向量之间有一一对应的关系，复数的模表示复数对应的点到原点的距离．

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi平面向量.

(3)复数z＝a＋bi的模或绝对值：|z|＝.

4．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝

＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有

z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

5．复数的运算常用结论

(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*；

(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

(5)设ω＝－＋i，则|ω|＝1；1＋ω＋ω2＝0；＝ω2.

6．复数的几点注意事项

(1)两个虚数不能比较大小．

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

7．数系的发展

自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R以及复数集C之间关系为NZQRC

典例剖析

题型一  复数的概念

例1　(1) 复数z＝＋i的共轭复数为________．

(2)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的________．

①充分不必要条件 　②必要不充分条件    ③充分必要条件    ④既不充分也不必要条件

答案  (1) －i   (2) ③

解析  (1) ∵  z＝＋i，∴  ＝－i.

(2)由纯虚数的定义知：⇒x＝1，选③.

变式训练  (1)已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为________．

 (2) 设z＝＋i，则|z|＝________．

答案  (1) －1  (2)

解析  (1)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴，∴a＝－1.

(2) ∵z＝＋i＝＋i＝＋i，∴|z|＝＝.

解题要点  1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．

2. 解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

题型二  复数的几何意义

例2　（2015安徽理）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于第____象限.

答案　第二象限

解析　＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限.

变式训练  设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________．

答案  －5

解析  ∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2，1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.

解题要点 1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

题型三  复数的代数运算

例3　（2015山东理）若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝________．

答案　1－i

解析　∵＝i，∴＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.

变式训练  （2015安徽文）设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于________．

答案　3＋i

解析　(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i.

解题要点  复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，

1.复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．

2.复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．除法实际上是分母实数化的过程．

当堂练习

1．（2015新课标Ⅰ理）设复数z满足＝i，则|z|＝________．

答案　1

解析　由＝i，得1＋z＝i－zi，z＝＝i，∴|z|＝|i|＝1.

2．（2015广东文）已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2等于________．

答案　2i

解析　(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.

3. （2015湖北文）i为虚数单位，i607等于________．

答案　－i

解析　方法一　i607＝i4×151＋3＝i3＝－i.

方法二　i607＝＝＝＝－i.

4．（2015北京文）复数i(1＋i)的实部为________．

答案　－1

解析　i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，实部为－1，

5．（2015四川文）设i是虚数单位，则复数i－＝________.

答案　2i

解析　i－＝i－＝i＋i＝2i.

课后作业

一、    填空题

1．（2015福建文）若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于________．

答案　3，－2 

解析　(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2.

2．（2015新课标II文）若a为实数，且＝3＋i，则a等于________．

答案　4

解析　由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，

所以a＝4.

3．（2015湖南文）已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于________．

答案　－1－i

解析　由＝1＋i知，z＝＝－＝－1－i.

4．（2015湖北理）i为虚数单位，i607的共轭复数为________．

答案　i

解析　方法一　i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.

方法二　i607＝＝＝＝－i，其共轭复数为i.

5．（2015广东理）若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则等于________．

答案　32－3i

解析　因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以＝2－3i.

6．(2014·湖北)i为虚数单位，2＝________．

答案　－1

解析　2＝＝－1.

7．(2014·辽宁)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________．

答案　2＋3i

解析　利用方程思想求解复数并化简．由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.

8．(2014·安徽理)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________．

答案　2

解析　先根据z求出及，结合复数的运算法则求解．

∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i.

∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.

9．（2015江苏）设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．

答案　

解析　∵z2＝3＋4i，∴|z|2＝|3＋4i|＝5，即|z|＝.

10． （2015重庆文）复数(1＋2i)i的实部为________．

答案　－2

解析　(1＋2i)i＝i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2.

11． （2015天津理）i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．

答案　－2

解析　(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2.

二、解答题

12．计算：

(1)＋；

(2).

解析  (1)＋＝＋＝＋＝－1.

(2)＝＝＝＝－－i.

13．若复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i与复数12＋16i互为共轭复数，求实数m的值．

解析  由题意得得m＝1.

∴实数m的值为1.