（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点38 两条直线的位置关系 (含解析)

考点三十八  两条直线的位置关系

知识梳理

1．两直线平行、垂直与斜率的关系

说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．

2．利用一般式方程系数判断平行与垂直

设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0.

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

3．利用平行的直线系和垂直的直线系解题

设直线Ax＋By＋C＝0，则

与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；

与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

典例剖析

题型一  两直线平行与垂直的判定

例1　“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的________条件

答案　充分不必要

解析  当a＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a＝2或者a＝－1.故“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的充分不必要条件．

变式训练  已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的________条件

答案  充分不必要

解析  若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.

解题要点  两直线平行、垂直的判定方法

(1)已知两直线的斜率存在

①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；

②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.

注意　当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．

(2)已知两直线的一般方程

两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：

A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；

A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.

题型二  根据平行与垂直求直线方程

例2　(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．

(2) 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．

解析　(1)依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)，

又因为直线过点(1,2)，

所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.

因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.

(2) 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.

变式训练  过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．

答案　x－2y－1＝0

解析　∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，

∴所求直线的斜率为，又直线过(1,0)点，

则直线方程为x－2y－1＝0.

解题要点  1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他条件求C1.

2. 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.

题型三  根据平行或垂直求参数

例3　(1)已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为________．

 (2) 若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝________．

答案　(1) －    (2)

解析  (1)因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以＝≠0，

解得m＝－.

(2) 由a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝.

变式训练  若直线y＝2x与kx＋y＋1＝0垂直，则实数k＝________．

答案 

解析  直线kx＋y＋1＝0斜率为－k，直线y＝2x斜率为2，由题两直线垂直，则－k·2＝－1，k＝．

解题要点  已知平行与垂直求参数时，具体选择斜率还是选择利用一般式方程的系数因题而异．一般来说，若直线的斜率较易得出，则利用斜率关系：l1∥l2则k1＝k2，若l1⊥l2，则k1k2＝－1．需注意的是，由一般式方程Ax＋By＋C＝0求斜率时，k＝－．

若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

当堂练习

1．下列命题

①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；

②如果两直线平行，则它们的斜率相等；

③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；

④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1．

其中正确的为________．

答案  ①③

解析　当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．

2．经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为________．

答案  6

解析  直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6．

3. 以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是________．

答案  以A点为直角顶点的直角三角形

解析  kAB＝＝－，kAC＝＝，

∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角，

∴△ABC为以A点为直角顶点的直角三角形．

4．已知A(2，0)，B(3，)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角为________．

答案  60°

解析  ∵l∥AB，∴kl＝kAB＝＝，∴直线l的倾斜角为60°.

5．经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．

答案 

解析  由题意知，直线MN的斜率存在，∵MN⊥l，

∴kMN＝＝，解得m＝．

课后作业

一、    填空题

1．下列说法正确的有________．

①若两直线斜率相等，则两直线平行；

②若l1∥l2，则k1＝k2；

③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；

④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．

答案  1个

解析  当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．

2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则|α1－α2|＝________．

答案  |α1－α2|＝90°

解析  如图所示．

由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，

∴|α1－α2|＝90°．

3．过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2， 0)的直线的位置关系为________．

答案  垂直

解析  过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2＝＝＋．因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．

4．“λ＝3”是“直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行”的________条件

答案  充要

解析  当λ＝3时，两直线平行．若直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行，则λ(λ－1)＝6，且－λ(λ－7)≠3×3λ，解得λ＝3.

5．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于________．

答案  －2

解析  l的斜率为－1，则l1的斜率为1，

kAB＝＝1，a＝0.

由l1∥l2，－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2.

6．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是________．

答案  m＝1或m＝－2

解析  由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1.

当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行．

当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行．

7．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为________．

答案  －12

解析  由2m－20＝0，得m＝10.

由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.

∴p＝－2.

又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.

8．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．

答案  －2

解析  l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，

∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2.

∴a＋b＝－2.

9．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________．

答案  4

解析  由题意，得tan45°＝，解得a＝4．

10．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号是________．

答案  ①④

解析  ∵kAB＝－，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，

∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD．

11．经过点(3，2)和(m，n)的直线l，

(1)若l与x轴平行，则m、n的取值情况是________；

(2)若l与x轴垂直，则m、n的取值情况是________．

答案  (1)m∈R且m≠3，n＝2    (2)m＝3，n∈R且n≠2

解析  (1)l与x轴平行，则两点的纵坐标相等．

(2)l与y轴平行，则两点的横坐标相等．

二、解答题

12．求过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行的直线方程．

解析  ∵2x－3y＋4＝0的斜率为k＝，

∴所求的直线方程为y－2＝(x＋1)，即2x－3y＋8＝0.

13．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．

(1)l′与l平行且过点(－1,3)；

(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4．

解析  (1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－.

又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－.

∴直线l′为y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0.

(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.

设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，

由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±.

∴直线l′为y＝(x＋)或y＝(x－)．