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2023年江苏省盐城市阜宁县益林中学中考数学三调试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省盐城市阜宁县益林中学中考数学三调试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省盐城市阜宁县益林中学中考数学三调试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子的运算结果是负数的是( )
A. (−1)+(−3) B. (−1)−(−3) C. (−1)×(−3) D. (−1)÷(−3)
2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
3. 化简(−x2)5的结果是( )
A. x10 B. x7 C. −x10 D. −x7
4. 数据14、15、16、16、16、18的众数为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
5. 如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为( )
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
6. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是( )
A. 48 B. 30 C. 24 D. 20
7. 在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价.一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于12匹马的价格.1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于12头牛的价格.问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为( )
A. x+2y=10000+12x2x+y=10000−12y B. 2x+y=10000+12xx+2y=10000−12y
C. 2x+y=10000+12yx+2y=10000−12x D. x+2y=10000+12y2x+y=10000−12x
8. 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是( )
A. 3
B. 2
C. 2 2
D. 2 3
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 4的算术平方根是______ ．
10. 肥皂泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm，则数据0.0007用科学记数法表示为______．
11. 若二次根式 2−x有意义，则x的取值范围是______．
12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P在边BC上，且CP=1，点E，F分别是AP、AD的中点，则AE+EF= ______ ．
13. 如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=kx(x>0)的图象上，AC//x轴，AC=2，若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为______．
14. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，有下列结论：①点P在∠ACB的角平分线上；②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③点P是△ABC的外心；④点P是△ABC的重心.其中正确的有______ .(直接填写序号)
15. 从小明家到奶奶家的路线上有一个公园.一天小明从家里出发沿这条路线骑行.他从家出发0.5小时后到达该公园，游玩一段时间后继续按原速骑车前往奶奶家.小明离家1小时20分钟后，爸爸驾车沿相同路线直接前往奶奶家，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知爸爸驾车的速度是小明骑行速度的3倍，爸爸比小明早到10分钟，根据图象可以推算小明家到奶奶家的路程为______ km．
16. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得△AB′C′，当AB′第一次与BC平行时，连接并延长BC′交AC于点D，则tan∠CBD= ______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(1− 2)0−tan45°；
(2)(x−2)2−(x−1)(x+1)．
18. (本小题8.0分)
解方程：3x−2=−1．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a−2a−a−1a+2)÷(a−4)，其中a满足a−2a=−2．
20. (本小题8.0分)
如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．
(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是______ ；
(2)若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，求BC的长．
22. (本小题8.0分)
中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，同称“二十大”.在会议召开期间，国家领导人就许多民众关心的热点问题进行了时论，并形成了许多的决议.为了了解民众对“二十大”相关政策的了解情况，某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词，分别为：“A、依法治国；B.社会保障；C.乡村振兴；D.教育改革；E.数字化生活”，每人只能从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)图中B所在扇形的圆心角度数为______ ；
(2)扇形统计图中，a= ______ ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若这个小区居民共有1300人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有多少人？
23. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为BD的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA=∠B．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE=2，∠BDE=30°，求CD的长．
24. (本小题8.0分)
如图，直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E，点B(a,6)在直线上，▱ABCD的顶点D在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，C．
(1)求a、k的值和点C的坐标；
(2)求▱ABCD的面积．
25. (本小题8.0分)
丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x(元/件)
…
35
40
45
…
每天销售数量y(件)
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
26. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(m,n)，我们称直线y=mx+n为点P的友好直线.例如，点P(−3,2)的友好直线为y=−3x+2．
(1)已知点A(43,4)，
①则点A的友好直线为______ ；
②若⊙O与点A的友好直线相切，求⊙O的半径；
(2)已知点C(0,1)，点D是x轴上任意一点(原点除外)，点M为直线CD上的动点．
①当点D坐标是(1,0)时，求点O到点M的友好直线的距离的最大值；
②以Q(−1,0)为圆心，3为半径作⊙Q.在点D运动过程中，当点M的友好直线与⊙Q交于E、F两点时，EF的最小值为4，请直接写出点D的坐标．
27. (本小题8.0分)
如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E是边AB上的一点，把△ADE沿直线DE对折后，点A落在点F处．
(1)当AE=1时，如图2，正方形的对角线AC与DE相交于点M，与正方形另一条对角线BD相交于点O，连接OF并延长交AB于点G．
①求AMMC的值，并说明点M是OA的中点；
②试探究OG与DE有怎样位置关系，并说明理由；
③求线段GF的长．
(2)如图3，点G是线段DF上的一点，且DG=1，连接BF、CG.则在点E从点A运动到点B的过程中，BF+CG的最小值为______ ，此时BF的长为______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、(−1)+(−3)=−4，故本选项符合题意；
B、(−1)−(−3)=−1+3=2，故本选项不符合题意；
C、(−1)×(−3)=3，故本选项不符合题意；
D、(−1)÷(−3)=13，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据有理数的四则运算法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：(−x2)5=−x2×5=−x10．
故选：C．
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．
本题主要考查幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘．熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：16出现的次数最多，所以众数是16．
故选：C．
根据众数的定义就可以求解．
主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠3+∠2=180°，
∴∠3=180°−40°−60°=80°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=80°．
故选：A．
先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平行线的性质．
6.【答案】C
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为12×6×8=24，
故选：C．
根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可．
本题考查了菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选
7.【答案】D
【解析】解：依题意，得：x+2y=10000+12y2x+y=10000−12x．
故选：D．
根据“2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于12匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于12头牛的价格”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠AHD=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=90°−∠A=60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=12AB=4，
∴DH=12AD=2，
由旋转得：BE=BF，∠EBF=60°，
∴∠EBF=∠ABC=60°，
∴∠EBF−∠EBC=∠ABC−∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
∵BD=BC=4，
∴△BDE≌△BCF(SAS)，
∴DE=CF，
当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2，
∴CF长的最小值是2，
故选：B．
取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AB的长，∠ABC的度数，再根据线段的中点定义可得AD=BD=12AB=4，从而可得DH=12AD=2，然后利用旋转的性质可得：BE=BF，∠EBF=60°，从而利用等式的性质可得∠ABE=∠CBF，进而利用SAS证明△BDE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得DE=CF，再根据垂线段最短，即可解答．
本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：4的算术平方根是 4=2，
故答案为：2．
根据算术平方根定义直接求解即可得到答案．
本题考查算术平方根定义，熟记算术平方根定义是解决问题的关键．
10.【答案】7×10−4
【解析】解：0.0007=7×10−4，
故答案为：7×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】x≤2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，2−x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
12.【答案】5+ 102
【解析】解：连接PD，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴CD=AB=3，∠B=∠C=90°，
∵CP=1，
∴BP=5−1=4，
∴AP= AB2+BP2= 32+42=5，PD= CP2+CD2= 12+32= 10，
∵点E，F分别是AP、AD的中点，
∴AE=12AP=12×5=52，EF=12PD=12× 10= 102，
∴AE+EF=52+ 102=5+ 102，
故答案为：5+ 102．
连接PD，由矩形的性质得CD=AB=3，∠B=∠C=90°，因为BC=5，CP=1，所以BP=4，则AP= AB2+BP2=5，PD= CP2+CD2= 10，即可求得AE=12AP=52，EF=12PD= 102，则AE+EF=5+ 102，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13.【答案】(4,1)
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．根据点A的坐标可以求得反比例函数的解析式和点B的横坐标，进而求得点B的坐标，本题得以解决．
【解答】
解：∵点A(2,2)在函数y=kx(x>0)的图象上，
∴2=k2，得k=4，
∵在Rt△ABC中，AC//x轴，AC=2，
∴点B的横坐标是4，
∴y=44=1，
∴点B的坐标为(4,1)，
故答案为：(4,1)．
14.【答案】①②④
【解析】解：①取BC、AC的中点E、F，连接PE、PF、PC，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线，
由图可知，AC= 42+22=2 5,BC= 42+22=2 5，
∴AC=BC，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FC=EC，
又∵PE=PF，PC=PC，
∴△PEC≌△PFC(SSS)，
∴∠PCE=∠PCF，
∴PC平分∠ACB，
∴点P在∠ACB的角平分线上，故①正确；
②∵F是AC的中点，点B，P，F三点共线，
∴BF是△ABC的中线，
即直线BP把△ABC分成面积相等的两个部分，故②正确；
③∵AP=2,PC= 22+22=2 2，
∴AP≠CP，
∴点P不在AC的垂直平分线上，
∴点P不是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴点P不是△ABC的外心，故③错误；
④∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴AE、BF分别是△ABC的中线，
∴点P是△ABC的重心，故④正确，
故答案为：①②④．
①取BC、AC的中点E、F，连接PE、PF、PC，根据勾股定理解得AC、BC的长，再证明△PEC≌△PFC，由全等三角形对应角相等解得∠PCE=∠PCF，据此解题即可；
②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得AP≠CP，从而得到点P不在AC的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可．
本题考查了三角形的重心、角平分线的性质、圆周角定理以及三角形的外接圆与外心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15.【答案】30
【解析】解：由图象和已知可得：小明骑车速度为10÷0.5=20(km/h)，爸爸驾车的速度为20×3=60(km/h)，
1小时20分钟=43h，10分钟=16h，
设小明家到奶奶家的路程为S km，由题意可知：
S20−43+(1−0.5)=S60+16，
解得：S=30，
∴小明家到奶奶家的路程为30km．
故答案为：30．
求出小明骑车速度为20km/h，爸爸驾车的速度为60km/h，设小明家到奶奶家的路程为Skm，由爸爸比小明早到10分钟可得S20−43+(1−0.5)=S60+16，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
16.【答案】311
【解析】解：如图，过点C′作EF⊥AB′，交AB′于E，交BC于F，
∵AB′//BC，
∴∠ACB=∠CAB′=90°，
又∵EF⊥AB′，
∴四边形ACFE是矩形，
∴AE=CF，AC=EF=6，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得△AB′C′，
∴AB′=AB=10，AC′=AC=6，B′C′=BC=8，
∴S△AB′C′=12×6×8=12×10×C′E，
∴C′E=4.8，
∴AE= C′A2−C′E2=3.6，
∴C′F=1.2，CF=AE=3.6，
∴BF=4.4，
∴tan∠DCB=C′FBF=311，
故答案为：311．
由勾股定理可求AB的长，由面积法可求EC′的长，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造矩形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=1−1
=0；
(2)原式=x2−4x+4−(x2−1)
=x2−4x+4−x2+1
=−4x+5．
【解析】(1)先算零指数幂，把特殊角三角函数值代入，再算减法即可；
(2)用完全平方公式，平方差公式展开，再去括号合并同类项即可．
本题考查实数运算和整式的化简，解题的关键是掌握实数，整式相关的运算法则．
18.【答案】解：3x−2=−1，
方程两边同乘(x−2)得：3=−(x−2)，
去括号得：3=−x+2，
移项，合并同类项得：x=−1，
检验：把x=−1代入(x−2)得：x−2=−1−2=−3≠0，
∴x=−1是原方程的解．
【解析】先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．
19.【答案】解：原式=[(a−2)(a+2)a(a+2)−a(a−1)a(a+2)]⋅1a−4
=a2−4−a2+aa(a+2)⋅1a−4
=a−4a(a+2)⋅1a−4
=1a2+2a，
∵a−2a=−2，
∴a2−2=−2a，
∴a2+2a=2，
∴原式=12．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a2+2a的值，代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种，即①②、②①、②③、③②、③④、④③，
∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为616=38．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵正方形BEDF，
∴BE=DF，
∴AB−BE=CD−DF，
∴AE=DF；
(2)解：∵正方形BEDF，
∴BF⊥AB，
∴BF⋅AB=20，
∴BF=4，
∵CF=CD−DF=5−4=1，
在Rt△BCF中，
CF2+BF2=BC2
∴BC= 17．
【解析】(1)根据正方形的性质可以得到DF=EB，根据平行四边形的性质可以得到AB=CD，然后即可得到结论成立；
(2)根据平行四边形的面积，可以得到BF的长，从而可以求得CF的长，再利用勾股定理解答即可．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】108° 25
【解析】解：(1)议题B所在扇形的圆心角度数为：360°×30%=108°，
故答案为：108°；
(2)调查总人数为：60÷30%=200(人)，
D议题所占百分比为：20200×100%=10%，
∴a%=1−30%−15%−10%−20%=25%，即a=25．
故答案为：25；
(3)议题A的人数为：200×25%=50(人)，
议题C的人数为：200×15%=30(人)，
补全条形统计图如下：
(4)1300×20200=130(人)，
答：估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有130人．
(1)用360°乘以议题B的人数所占比例；
(2)用议题B的人数除以它对应的百分比可得调查总人数，进而求出D所占百分百，然后用“1”分别减去其他四个议题所占百分百可得a的值；
(3)根据议题A、议题C对应的人数补全图形即可；
(4)用总人数乘以样本中D人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)证明：连结OD，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDO+∠ADO=90°，
又∵OB=OD，∠CDA=∠B，
∴∠B=∠BDO=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)连结OE，如图所示：
∵∠BDE=30°，
∴∠BOE=2∠BDE=60°，
又∵E为BD的中点，
∴∠EOD=60°，
∴△EOD为等边三角形，
∴ED=EO=OD=2，
又∵∠BOD=∠BOE+∠EOD=120°，
∴∠DOC=180°−∠BOD=180°−120°=60°，
在Rt△DOC中，∠DOC=60°，OD=2，
∴tan∠DOC=tan60°=CDOD=CD2= 3，
∴CD=2 3．
【解析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线；
(2)连结OE，根据∠BDE=30°，E为BD的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．
本题考查圆的有关概念及基本性质，涉及切线的判定与性质，圆周角定理等知识，能弄清题意，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵点B(a,6)在直线y=2x+4上，
∴6=2a+4，
∴a=1，
∴B(1,6)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，
∴k=1×6=6；
∵直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E，
∴A(0,4)，E(−2,0)，
∵B(1,6)，
∴点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，
设D(m.0)，则C(m+1,2)，
∵反比例函数y=6x(x>0)的图象经过点C，
∴2(m+1)=6，
∴m=2，
∴D(2,0)，C(3,2)，
(2)延长BC交x轴于点F，
设直线BC为y=k′x+b，
把B、C的坐标代入得k′+b=63k′+b=2，
解得k′=−2b=8，
∴直线BC为y=−2x+8，
∴F(4,0)，
∴▱ABCD的面积=S△BEF−S△AED−S△CDF=12×(4+2)×6−12×(2+2)×4−12(4−2)×2=8．
【解析】(1)把点B(a,6)代入直线的解析式即可求得a，得到B(1,6)，然后利用待定系数法即可求得k的值，由直线解析式求得A、E的坐标，根据平行四边形的性质即可A、B的坐标可知点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，故设D(m.0)，则C(m+1,2)，由点C在反比例函数图象上即可求得D(2,0)，C(3,2)；
(2)利用待定系数法求得直线BC的解析式，进而即可求得F的坐标，根据▱ABCD的面积=S△BEF−S△AED−S△CDF求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=kx+b，
把(35,90)，(40,80)代入得：
35k+b=9040k+b=80，
解得k=−2b=160，
∴y=−2x+160；
(2)根据题意得：(x−30)⋅(−2x+160)=1200，
解得x1=50，x2=60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x=50，
答：销售单价应定为50元；
(3)设每天获利w元，
w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55)2+1250，
∵−2<0，对称轴是直线x=55，
而x≤54，
∴x=54时，w取最大值，最大值是−2×(54−55)2+1250=1248(元)，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解析】(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=kx+b，用待定系数法可得y=−2x+160；
(2)根据题意得(x−30)⋅(−2x+160)=1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
(3)设每天获利w元，w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55)2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
26.【答案】y=43x+4
【解析】解：(1)①点A(43,4)，
∴点A的友好直线为y=43x+4．
故答案为：y=43x+4；
②设直线y=43x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，如图，
令x=0，则y=4，
∴C(0,4)，
∴OC=4．
令y=0，则x=−3，
∴B(−3,0)，
∴OB=3，
∴BC= OB2+OC2=5．
过点O作OD⊥BC于点D，
∵⊙O与点A的友好直线相切，
∴⊙O的半径=OD，
∵S△OBC=12OB⋅OC=12BC⋅OD，
∴3×4=5OD，
∴OD=125，
∴⊙O的半径为125；
(2)①设直线CD的解析式为y=kx+b，
∵C(0,1)，D(1,0)，
∴k+b=0b=1，
解得：k=−1b=1，
∴直线CD的解析式为y=−x+1，
∵点M为直线CD上的动点，
∴M(m,−m+1)．
∴点M的友好直线为y=mx−m+1，
∵y=m(x−1)+1，
∴点M的友好直线经过定点N(1,1)，
如图，直线l为点M的友好直线，过点O作OH⊥l于点H，连接ON，
∴ON≥OH，
∴当点H与点N重合时，OH取得最大值，
即点O到点M的友好直线的距离的最大，
∴点O到点M的友好直线的距离的最大值=ON= 12+12= 2；
②∵点D是x轴上任意一点(原点除外)，
∴设D(d,0)，
设直线CD的解析式为y=ax+c，
∴ad+c=0c=1，
解得：a=−1dc=1，
∴直线CD的解析式为y=−1dx+1，
∵点M为直线CD上的动点，
∴M(m,−1dm+1)．
∴点M的友好直线为y=mx−md+1，
∵y=mx−md+1=m(x−1d)+1，
∴点M的友好直线经过定点N(1d,1)，
如图，直线l为点M的友好直线，过点Q作OH⊥EF于点H，连接QF，
则EH=FH=12EF，
∵FH= QF2−QH2，
∴要使EF最小，则QH取得最大值，
由①知：当点N与点H重合时，即点H与(1d,1)重合时QH最大，
∵EF的最小值为4，
∴QH的最大值为 32−22= 5．
∵Q(−1,0)，H(1d,1)，
∴(−1−1d)2+(1−0)2=( 5)2，
解得：d=1或d=−13．
∴点D的坐标为(1,0)或(−13,0)．
(1)①利用友好直线的定义解答即可；
②利用圆的切线的定义，直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可得出结论；
(2)利用待定系数法求得直线CD的解析式，利用新定义的规定求得点M的友好直线，进而求得点M的友好直线经过定点N(1,1)，再利用垂线段最短，得到ON≥OH，当点H与点N重合时，OH取得最大值，即点O到点M的友好直线的距离的最大；
②利用①中的方法求得点M的友好直线经过定点N(1d,1)，直线l为点M的友好直线，过点Q作OH⊥EF于点H，连接QF，利用垂径定理，勾股定理和①的结论得到当点N与点H重合时，即点H与(1d,1)重合时QH最大，利用两点之间的距离公式列出方程解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，两点之间的距离，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是新定义型，理解新定义的规定和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
27.【答案】 13 15 13−6 3913
【解析】解：(1)①∵AE//DC，DC=3，AE=1，
∴△AME∽△CMD，
∴AMMC=AECD=13，
∴AM=14AC，
∵AO=CO=12AC，
∴AM=12AO，即点M是OA的的中点；
②OG//DE；理由如下：
连接AF交DE于点N，如图：
由折叠可知DE垂直平分AF，即点N是的AF中点，
∵点M是OA的的中点，
∴MN是△AFO的中位线，
∴MN//OF，即OG//DE；
③在Rt△AED中，DE= AD2+AE2= 32+12= 10，
∵∠AEN=∠AEN，∠ANE=∠EAD=90°，
∴△ANE∽△DAE，
∴ENAE=AEDE，即EN1−1 10，
∴EN= 1010，
由②可得OG//DE，点N是的AF中点，
∴△ANE∽△AFG，
∴ANAF=ENFG=12，
∴FG=2EN= 105；
(2)在DC上截取DP=1，连接FP，作FQ⊥DC于Q，如图：
∵DP=DG=1，DF=AB=DC，∠FDP=∠CDG，
∴△DPF≌△DCG(SAS)，
∴PF=CG，
∴BF+CG=BF+FP，
当B、F、P三点共线时，BF+CG最小，
此时BF+CG=BP= BC2+CP2= 13，
∴tan∠BPC=BCCP=32，sin∠BPC=BCBP=3 1313，
设PQ=2a，则FQ=3a，PF= 13a，
∵FQ2+DQ2=DF2，即(3a)2+(2a+1)2=32，
解得a1=6 3−213,a2−−−6 3−213(舍去)，
∴PF= 13×6 3−213=6 39−2 1313，
∴BF=BP−PF= 13−6 39−2 1313=15 13−6 3913．
故答案为： 13，15 13−6 3913．
(1)①根据相似三角形的判定和性质，可得△AME∽△CMD，得出AMMC=AECD=13；根据O是AC的中点，即可得到点M是OA的中点；
②连接AF交DE于点N，根据折叠的性质可得DE垂直平分AF，点N是的AF中点，故MN//OF，即可得答案；
③根据勾股定理可得DE= 10，根据相似三角形的判定和性质可得ENAE=AEDE，即可得到EN= 1010；根据相似三角形的判定和性质可得ANAF=ENFG=12，即可求得；
(2)在DC上截取DP=1，连接FP，证明△DPF≌△DCG，可得PF=CG，当B、F、P三点共线时，BF+CG最小，作FQ⊥DC于Q，设PQ=2a，FQ=3a，EF= 13a，利用勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是熟练运用正方形的性质和相似三角形的判定与性质进行推理证明．
2023年江苏省盐城市阜宁县益林中学中考数学三调试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子的运算结果是负数的是( )
A. (−1)+(−3) B. (−1)−(−3) C. (−1)×(−3) D. (−1)÷(−3)
2. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
3. 化简(−x2)5的结果是( )
A. x10 B. x7 C. −x10 D. −x7
4. 数据14、15、16、16、16、18的众数为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
5. 如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为( )
A. 80°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
6. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是( )
A. 48 B. 30 C. 24 D. 20
7. 在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价.一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于12匹马的价格.1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于12头牛的价格.问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为( )
A. x+2y=10000+12x2x+y=10000−12y B. 2x+y=10000+12xx+2y=10000−12y
C. 2x+y=10000+12yx+2y=10000−12x D. x+2y=10000+12y2x+y=10000−12x
8. 如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是( )
A. 3
B. 2
C. 2 2
D. 2 3
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 4的算术平方根是______ ．
10. 肥皂泡沫的泡壁厚度大约是0.0007mm，则数据0.0007用科学记数法表示为______．
11. 若二次根式 2−x有意义，则x的取值范围是______．
12. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P在边BC上，且CP=1，点E，F分别是AP、AD的中点，则AE+EF= ______ ．
13. 如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=kx(x>0)的图象上，AC//x轴，AC=2，若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为______．
14. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，有下列结论：①点P在∠ACB的角平分线上；②直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分；③点P是△ABC的外心；④点P是△ABC的重心.其中正确的有______ .(直接填写序号)
15. 从小明家到奶奶家的路线上有一个公园.一天小明从家里出发沿这条路线骑行.他从家出发0.5小时后到达该公园，游玩一段时间后继续按原速骑车前往奶奶家.小明离家1小时20分钟后，爸爸驾车沿相同路线直接前往奶奶家，如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知爸爸驾车的速度是小明骑行速度的3倍，爸爸比小明早到10分钟，根据图象可以推算小明家到奶奶家的路程为______ km．
16. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得△AB′C′，当AB′第一次与BC平行时，连接并延长BC′交AC于点D，则tan∠CBD= ______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(1− 2)0−tan45°；
(2)(x−2)2−(x−1)(x+1)．
18. (本小题8.0分)
解方程：3x−2=−1．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a−2a−a−1a+2)÷(a−4)，其中a满足a−2a=−2．
20. (本小题8.0分)
如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐．
(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是______ ；
(2)若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证：AE=CF；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB=5，求BC的长．
22. (本小题8.0分)
中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，同称“二十大”.在会议召开期间，国家领导人就许多民众关心的热点问题进行了时论，并形成了许多的决议.为了了解民众对“二十大”相关政策的了解情况，某小区居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词，分别为：“A、依法治国；B.社会保障；C.乡村振兴；D.教育改革；E.数字化生活”，每人只能从中选一个最关注的议题，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)图中B所在扇形的圆心角度数为______ ；
(2)扇形统计图中，a= ______ ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若这个小区居民共有1300人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有多少人？
23. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为BD的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA=∠B．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE=2，∠BDE=30°，求CD的长．
24. (本小题8.0分)
如图，直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E，点B(a,6)在直线上，▱ABCD的顶点D在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，C．
(1)求a、k的值和点C的坐标；
(2)求▱ABCD的面积．
25. (本小题8.0分)
丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x(元/件)
…
35
40
45
…
每天销售数量y(件)
…
90
80
70
…
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
26. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(m,n)，我们称直线y=mx+n为点P的友好直线.例如，点P(−3,2)的友好直线为y=−3x+2．
(1)已知点A(43,4)，
①则点A的友好直线为______ ；
②若⊙O与点A的友好直线相切，求⊙O的半径；
(2)已知点C(0,1)，点D是x轴上任意一点(原点除外)，点M为直线CD上的动点．
①当点D坐标是(1,0)时，求点O到点M的友好直线的距离的最大值；
②以Q(−1,0)为圆心，3为半径作⊙Q.在点D运动过程中，当点M的友好直线与⊙Q交于E、F两点时，EF的最小值为4，请直接写出点D的坐标．
27. (本小题8.0分)
如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E是边AB上的一点，把△ADE沿直线DE对折后，点A落在点F处．
(1)当AE=1时，如图2，正方形的对角线AC与DE相交于点M，与正方形另一条对角线BD相交于点O，连接OF并延长交AB于点G．
①求AMMC的值，并说明点M是OA的中点；
②试探究OG与DE有怎样位置关系，并说明理由；
③求线段GF的长．
(2)如图3，点G是线段DF上的一点，且DG=1，连接BF、CG.则在点E从点A运动到点B的过程中，BF+CG的最小值为______ ，此时BF的长为______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、(−1)+(−3)=−4，故本选项符合题意；
B、(−1)−(−3)=−1+3=2，故本选项不符合题意；
C、(−1)×(−3)=3，故本选项不符合题意；
D、(−1)÷(−3)=13，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据有理数的四则运算法则，逐项判断即可求解．
本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：(−x2)5=−x2×5=−x10．
故选：C．
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．
本题主要考查幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘．熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：16出现的次数最多，所以众数是16．
故选：C．
根据众数的定义就可以求解．
主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
5.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠3+∠2=180°，
∴∠3=180°−40°−60°=80°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=80°．
故选：A．
先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.也考查了平行线的性质．
6.【答案】C
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，
∴这个菱形的面积为12×6×8=24，
故选：C．
根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可．
本题考查了菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选
7.【答案】D
【解析】解：依题意，得：x+2y=10000+12y2x+y=10000−12x．
故选：D．
根据“2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于12匹马的价格；1匹马、2头牛的总价不足10000钱，所差的钱数相当于12头牛的价格”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠AHD=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，∠ABC=90°−∠A=60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=12AB=4，
∴DH=12AD=2，
由旋转得：BE=BF，∠EBF=60°，
∴∠EBF=∠ABC=60°，
∴∠EBF−∠EBC=∠ABC−∠EBC，
∴∠ABE=∠CBF，
∵BD=BC=4，
∴△BDE≌△BCF(SAS)，
∴DE=CF，
当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2，
∴CF长的最小值是2，
故选：B．
取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出AB的长，∠ABC的度数，再根据线段的中点定义可得AD=BD=12AB=4，从而可得DH=12AD=2，然后利用旋转的性质可得：BE=BF，∠EBF=60°，从而利用等式的性质可得∠ABE=∠CBF，进而利用SAS证明△BDE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得DE=CF，再根据垂线段最短，即可解答．
本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：4的算术平方根是 4=2，
故答案为：2．
根据算术平方根定义直接求解即可得到答案．
本题考查算术平方根定义，熟记算术平方根定义是解决问题的关键．
10.【答案】7×10−4
【解析】解：0.0007=7×10−4，
故答案为：7×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】x≤2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，2−x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
12.【答案】5+ 102
【解析】解：连接PD，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴CD=AB=3，∠B=∠C=90°，
∵CP=1，
∴BP=5−1=4，
∴AP= AB2+BP2= 32+42=5，PD= CP2+CD2= 12+32= 10，
∵点E，F分别是AP、AD的中点，
∴AE=12AP=12×5=52，EF=12PD=12× 10= 102，
∴AE+EF=52+ 102=5+ 102，
故答案为：5+ 102．
连接PD，由矩形的性质得CD=AB=3，∠B=∠C=90°，因为BC=5，CP=1，所以BP=4，则AP= AB2+BP2=5，PD= CP2+CD2= 10，即可求得AE=12AP=52，EF=12PD= 102，则AE+EF=5+ 102，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13.【答案】(4,1)
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．根据点A的坐标可以求得反比例函数的解析式和点B的横坐标，进而求得点B的坐标，本题得以解决．
【解答】
解：∵点A(2,2)在函数y=kx(x>0)的图象上，
∴2=k2，得k=4，
∵在Rt△ABC中，AC//x轴，AC=2，
∴点B的横坐标是4，
∴y=44=1，
∴点B的坐标为(4,1)，
故答案为：(4,1)．
14.【答案】①②④
【解析】解：①取BC、AC的中点E、F，连接PE、PF、PC，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线，
由图可知，AC= 42+22=2 5,BC= 42+22=2 5，
∴AC=BC，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FC=EC，
又∵PE=PF，PC=PC，
∴△PEC≌△PFC(SSS)，
∴∠PCE=∠PCF，
∴PC平分∠ACB，
∴点P在∠ACB的角平分线上，故①正确；
②∵F是AC的中点，点B，P，F三点共线，
∴BF是△ABC的中线，
即直线BP把△ABC分成面积相等的两个部分，故②正确；
③∵AP=2,PC= 22+22=2 2，
∴AP≠CP，
∴点P不在AC的垂直平分线上，
∴点P不是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴点P不是△ABC的外心，故③错误；
④∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴AE、BF分别是△ABC的中线，
∴点P是△ABC的重心，故④正确，
故答案为：①②④．
①取BC、AC的中点E、F，连接PE、PF、PC，根据勾股定理解得AC、BC的长，再证明△PEC≌△PFC，由全等三角形对应角相等解得∠PCE=∠PCF，据此解题即可；
②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得AP≠CP，从而得到点P不在AC的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可．
本题考查了三角形的重心、角平分线的性质、圆周角定理以及三角形的外接圆与外心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15.【答案】30
【解析】解：由图象和已知可得：小明骑车速度为10÷0.5=20(km/h)，爸爸驾车的速度为20×3=60(km/h)，
1小时20分钟=43h，10分钟=16h，
设小明家到奶奶家的路程为S km，由题意可知：
S20−43+(1−0.5)=S60+16，
解得：S=30，
∴小明家到奶奶家的路程为30km．
故答案为：30．
求出小明骑车速度为20km/h，爸爸驾车的速度为60km/h，设小明家到奶奶家的路程为Skm，由爸爸比小明早到10分钟可得S20−43+(1−0.5)=S60+16，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
16.【答案】311
【解析】解：如图，过点C′作EF⊥AB′，交AB′于E，交BC于F，
∵AB′//BC，
∴∠ACB=∠CAB′=90°，
又∵EF⊥AB′，
∴四边形ACFE是矩形，
∴AE=CF，AC=EF=6，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得△AB′C′，
∴AB′=AB=10，AC′=AC=6，B′C′=BC=8，
∴S△AB′C′=12×6×8=12×10×C′E，
∴C′E=4.8，
∴AE= C′A2−C′E2=3.6，
∴C′F=1.2，CF=AE=3.6，
∴BF=4.4，
∴tan∠DCB=C′FBF=311，
故答案为：311．
由勾股定理可求AB的长，由面积法可求EC′的长，由勾股定理可求AE的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造矩形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=1−1
=0；
(2)原式=x2−4x+4−(x2−1)
=x2−4x+4−x2+1
=−4x+5．
【解析】(1)先算零指数幂，把特殊角三角函数值代入，再算减法即可；
(2)用完全平方公式，平方差公式展开，再去括号合并同类项即可．
本题考查实数运算和整式的化简，解题的关键是掌握实数，整式相关的运算法则．
18.【答案】解：3x−2=−1，
方程两边同乘(x−2)得：3=−(x−2)，
去括号得：3=−x+2，
移项，合并同类项得：x=−1，
检验：把x=−1代入(x−2)得：x−2=−1−2=−3≠0，
∴x=−1是原方程的解．
【解析】先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．
19.【答案】解：原式=[(a−2)(a+2)a(a+2)−a(a−1)a(a+2)]⋅1a−4
=a2−4−a2+aa(a+2)⋅1a−4
=a−4a(a+2)⋅1a−4
=1a2+2a，
∵a−2a=−2，
∴a2−2=−2a，
∴a2+2a=2，
∴原式=12．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a2+2a的值，代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是14，
故答案为：14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种，即①②、②①、②③、③②、③④、④③，
∴小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为616=38．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵正方形BEDF，
∴BE=DF，
∴AB−BE=CD−DF，
∴AE=DF；
(2)解：∵正方形BEDF，
∴BF⊥AB，
∴BF⋅AB=20，
∴BF=4，
∵CF=CD−DF=5−4=1，
在Rt△BCF中，
CF2+BF2=BC2
∴BC= 17．
【解析】(1)根据正方形的性质可以得到DF=EB，根据平行四边形的性质可以得到AB=CD，然后即可得到结论成立；
(2)根据平行四边形的面积，可以得到BF的长，从而可以求得CF的长，再利用勾股定理解答即可．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】108° 25
【解析】解：(1)议题B所在扇形的圆心角度数为：360°×30%=108°，
故答案为：108°；
(2)调查总人数为：60÷30%=200(人)，
D议题所占百分比为：20200×100%=10%，
∴a%=1−30%−15%−10%−20%=25%，即a=25．
故答案为：25；
(3)议题A的人数为：200×25%=50(人)，
议题C的人数为：200×15%=30(人)，
补全条形统计图如下：
(4)1300×20200=130(人)，
答：估计该小区居民中最关注的议题是“教育改革”的大约有130人．
(1)用360°乘以议题B的人数所占比例；
(2)用议题B的人数除以它对应的百分比可得调查总人数，进而求出D所占百分百，然后用“1”分别减去其他四个议题所占百分百可得a的值；
(3)根据议题A、议题C对应的人数补全图形即可；
(4)用总人数乘以样本中D人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)证明：连结OD，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDO+∠ADO=90°，
又∵OB=OD，∠CDA=∠B，
∴∠B=∠BDO=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)连结OE，如图所示：
∵∠BDE=30°，
∴∠BOE=2∠BDE=60°，
又∵E为BD的中点，
∴∠EOD=60°，
∴△EOD为等边三角形，
∴ED=EO=OD=2，
又∵∠BOD=∠BOE+∠EOD=120°，
∴∠DOC=180°−∠BOD=180°−120°=60°，
在Rt△DOC中，∠DOC=60°，OD=2，
∴tan∠DOC=tan60°=CDOD=CD2= 3，
∴CD=2 3．
【解析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线；
(2)连结OE，根据∠BDE=30°，E为BD的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．
本题考查圆的有关概念及基本性质，涉及切线的判定与性质，圆周角定理等知识，能弄清题意，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵点B(a,6)在直线y=2x+4上，
∴6=2a+4，
∴a=1，
∴B(1,6)，
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，
∴k=1×6=6；
∵直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E，
∴A(0,4)，E(−2,0)，
∵B(1,6)，
∴点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，
设D(m.0)，则C(m+1,2)，
∵反比例函数y=6x(x>0)的图象经过点C，
∴2(m+1)=6，
∴m=2，
∴D(2,0)，C(3,2)，
(2)延长BC交x轴于点F，
设直线BC为y=k′x+b，
把B、C的坐标代入得k′+b=63k′+b=2，
解得k′=−2b=8，
∴直线BC为y=−2x+8，
∴F(4,0)，
∴▱ABCD的面积=S△BEF−S△AED−S△CDF=12×(4+2)×6−12×(2+2)×4−12(4−2)×2=8．
【解析】(1)把点B(a,6)代入直线的解析式即可求得a，得到B(1,6)，然后利用待定系数法即可求得k的值，由直线解析式求得A、E的坐标，根据平行四边形的性质即可A、B的坐标可知点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，故设D(m.0)，则C(m+1,2)，由点C在反比例函数图象上即可求得D(2,0)，C(3,2)；
(2)利用待定系数法求得直线BC的解析式，进而即可求得F的坐标，根据▱ABCD的面积=S△BEF−S△AED−S△CDF求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的性质，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=kx+b，
把(35,90)，(40,80)代入得：
35k+b=9040k+b=80，
解得k=−2b=160，
∴y=−2x+160；
(2)根据题意得：(x−30)⋅(−2x+160)=1200，
解得x1=50，x2=60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x=50，
答：销售单价应定为50元；
(3)设每天获利w元，
w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55)2+1250，
∵−2<0，对称轴是直线x=55，
而x≤54，
∴x=54时，w取最大值，最大值是−2×(54−55)2+1250=1248(元)，
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解析】(1)设每天的销售数量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y=kx+b，用待定系数法可得y=−2x+160；
(2)根据题意得(x−30)⋅(−2x+160)=1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
(3)设每天获利w元，w=(x−30)⋅(−2x+160)=−2x2+220x−4800=−2(x−55)2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
26.【答案】y=43x+4
【解析】解：(1)①点A(43,4)，
∴点A的友好直线为y=43x+4．
故答案为：y=43x+4；
②设直线y=43x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，如图，
令x=0，则y=4，
∴C(0,4)，
∴OC=4．
令y=0，则x=−3，
∴B(−3,0)，
∴OB=3，
∴BC= OB2+OC2=5．
过点O作OD⊥BC于点D，
∵⊙O与点A的友好直线相切，
∴⊙O的半径=OD，
∵S△OBC=12OB⋅OC=12BC⋅OD，
∴3×4=5OD，
∴OD=125，
∴⊙O的半径为125；
(2)①设直线CD的解析式为y=kx+b，
∵C(0,1)，D(1,0)，
∴k+b=0b=1，
解得：k=−1b=1，
∴直线CD的解析式为y=−x+1，
∵点M为直线CD上的动点，
∴M(m,−m+1)．
∴点M的友好直线为y=mx−m+1，
∵y=m(x−1)+1，
∴点M的友好直线经过定点N(1,1)，
如图，直线l为点M的友好直线，过点O作OH⊥l于点H，连接ON，
∴ON≥OH，
∴当点H与点N重合时，OH取得最大值，
即点O到点M的友好直线的距离的最大，
∴点O到点M的友好直线的距离的最大值=ON= 12+12= 2；
②∵点D是x轴上任意一点(原点除外)，
∴设D(d,0)，
设直线CD的解析式为y=ax+c，
∴ad+c=0c=1，
解得：a=−1dc=1，
∴直线CD的解析式为y=−1dx+1，
∵点M为直线CD上的动点，
∴M(m,−1dm+1)．
∴点M的友好直线为y=mx−md+1，
∵y=mx−md+1=m(x−1d)+1，
∴点M的友好直线经过定点N(1d,1)，
如图，直线l为点M的友好直线，过点Q作OH⊥EF于点H，连接QF，
则EH=FH=12EF，
∵FH= QF2−QH2，
∴要使EF最小，则QH取得最大值，
由①知：当点N与点H重合时，即点H与(1d,1)重合时QH最大，
∵EF的最小值为4，
∴QH的最大值为 32−22= 5．
∵Q(−1,0)，H(1d,1)，
∴(−1−1d)2+(1−0)2=( 5)2，
解得：d=1或d=−13．
∴点D的坐标为(1,0)或(−13,0)．
(1)①利用友好直线的定义解答即可；
②利用圆的切线的定义，直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可得出结论；
(2)利用待定系数法求得直线CD的解析式，利用新定义的规定求得点M的友好直线，进而求得点M的友好直线经过定点N(1,1)，再利用垂线段最短，得到ON≥OH，当点H与点N重合时，OH取得最大值，即点O到点M的友好直线的距离的最大；
②利用①中的方法求得点M的友好直线经过定点N(1d,1)，直线l为点M的友好直线，过点Q作OH⊥EF于点H，连接QF，利用垂径定理，勾股定理和①的结论得到当点N与点H重合时，即点H与(1d,1)重合时QH最大，利用两点之间的距离公式列出方程解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，两点之间的距离，一次函数图象上点的坐标的特征，本题是新定义型，理解新定义的规定和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
27.【答案】 13 15 13−6 3913
【解析】解：(1)①∵AE//DC，DC=3，AE=1，
∴△AME∽△CMD，
∴AMMC=AECD=13，
∴AM=14AC，
∵AO=CO=12AC，
∴AM=12AO，即点M是OA的的中点；
②OG//DE；理由如下：
连接AF交DE于点N，如图：
由折叠可知DE垂直平分AF，即点N是的AF中点，
∵点M是OA的的中点，
∴MN是△AFO的中位线，
∴MN//OF，即OG//DE；
③在Rt△AED中，DE= AD2+AE2= 32+12= 10，
∵∠AEN=∠AEN，∠ANE=∠EAD=90°，
∴△ANE∽△DAE，
∴ENAE=AEDE，即EN1−1 10，
∴EN= 1010，
由②可得OG//DE，点N是的AF中点，
∴△ANE∽△AFG，
∴ANAF=ENFG=12，
∴FG=2EN= 105；
(2)在DC上截取DP=1，连接FP，作FQ⊥DC于Q，如图：
∵DP=DG=1，DF=AB=DC，∠FDP=∠CDG，
∴△DPF≌△DCG(SAS)，
∴PF=CG，
∴BF+CG=BF+FP，
当B、F、P三点共线时，BF+CG最小，
此时BF+CG=BP= BC2+CP2= 13，
∴tan∠BPC=BCCP=32，sin∠BPC=BCBP=3 1313，
设PQ=2a，则FQ=3a，PF= 13a，
∵FQ2+DQ2=DF2，即(3a)2+(2a+1)2=32，
解得a1=6 3−213,a2−−−6 3−213(舍去)，
∴PF= 13×6 3−213=6 39−2 1313，
∴BF=BP−PF= 13−6 39−2 1313=15 13−6 3913．
故答案为： 13，15 13−6 3913．
(1)①根据相似三角形的判定和性质，可得△AME∽△CMD，得出AMMC=AECD=13；根据O是AC的中点，即可得到点M是OA的中点；
②连接AF交DE于点N，根据折叠的性质可得DE垂直平分AF，点N是的AF中点，故MN//OF，即可得答案；
③根据勾股定理可得DE= 10，根据相似三角形的判定和性质可得ENAE=AEDE，即可得到EN= 1010；根据相似三角形的判定和性质可得ANAF=ENFG=12，即可求得；
(2)在DC上截取DP=1，连接FP，证明△DPF≌△DCG，可得PF=CG，当B、F、P三点共线时，BF+CG最小，作FQ⊥DC于Q，设PQ=2a，FQ=3a，EF= 13a，利用勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是熟练运用正方形的性质和相似三角形的判定与性质进行推理证明．
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