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2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）（一模）
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这是一份2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）（一模），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）（一模）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{1，2，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
2．（5分）复数z＝，在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）刘徽（约公元225年﹣295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6°的近似值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设为单位向量，且|＝1，则|+2|＝（ ）
A． B． C．3 D．7
5．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多
6．（5分）设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）
A．（） B．（0，2） C．(（1，2） D．[1，2）
7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输入的a值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填（ ）
A．k＜3？ B．k＜4？ C．k＜5？ D．k＜6？
8．（5分）2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线．某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设，c＝log2021，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
10．（5分）设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
11．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限的公共点．若AF1⊥AF2，则C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn+，则数列{Sn}的前7项和为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x，则f（x）的最大值为 ．
15．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列，a1＝1，则S5＝ ．
16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：每题12分，共60分.
17．（12分）河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”．河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果．某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
a
（1）求a的值并计算礼品果所占的比例；
（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元/kg）
16
18
22
24
从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值．
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）设AB长为1，点E为BD的中点，求点D到平面ACE的距离．
20．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若A，B为抛物线E上的两个动点（异于点P），且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤ex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点O），与直线l的交点为B，求线段AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞b＞0，函数f（x）＝|x+|．
（1）若a＝1，b＝，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求证：f（x）+|x﹣a2|≥4．
2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{1，2，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【分析】根据A∩B＝{1}可得出1∈B，从而可得出1﹣4+m＝0，解出m＝3，然后解方程x2﹣4x+3＝0即可得出集合B．
【解答】解：∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，1﹣4+m＝0，解得m＝3，
∴B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）复数z＝，在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
【解答】解：∵z＝＝，
∴．
∴z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）刘徽（约公元225年﹣295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6°的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取正60边形，设半径为1，利用等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式得出方程，即可得出sin6°的近似值．
【解答】解：取正60边形，设半径为1，则60××12×sin6°≈π×12，解得sin6°≈．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式、正多边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）设为单位向量，且|＝1，则|+2|＝（ ）
A． B． C．3 D．7
【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可．
【解答】解：为单位向量，且|＝1，
可得＝1，可得＝，
|+2|＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．
5．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多
【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解即可．
【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，
互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故A正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＞20%，
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
17%×56%＝9.52%＞3%，
互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＜41%，
互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）
A．（） B．（0，2） C．(（1，2） D．[1，2）
【分析】利用辅助角公式化积，求出函数的对称轴方程，由图象的一条对称轴在区间（）内求得ω范围，验证周期得答案．
【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，
由，得x＝，k∈Z．
取k＝0，得x＝，取k＝1，得x＝，
由，得1＜ω＜2，此时T＝＞π；
由，得4＜ω＜8，此时T＝，不合题意；
依次当k取其它整数时，不合题意．
∴ω的取值范围为（1，2），
故选：C．
【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，可分类讨论的数学思想方法，是中档题．
7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输入的a值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填（ ）
A．k＜3？ B．k＜4？ C．k＜5？ D．k＜6？
【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a的值正负交替．只需逐次循环，直到得到S＝﹣12，根据k的值判断．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
第一次循环，S＝2，a＝﹣2，k＝2；
第二次循环，S＝﹣6，a＝2，k＝3；
第三次循环，S＝12，a＝﹣2，k＝4；
此时输出S的值，观察可知，则判断框中可以填k＜4？
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构，对于循环次数不大的，一般是逐个循环，计算求解．注意计算的准确性，属基础题．
8．（5分）2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线．某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝9，医生甲和护士A被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，由此能求出医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率．
【解答】解：某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．
其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，
基本事件总数n＝＝9，
医生甲和护士A被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，
则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为p＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）设，c＝log2021，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系．
【解答】解：∵a＝＞1＞b＝＞0＞c＝log2021，
则a，b，c的大小关系为a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性可得f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），又由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x+2）＝f（x），
则f（x）是周期为2的周期函数，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），
当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（0.6）＝5×0.6×0.4＝，
故f（﹣2020.6）＝﹣f（0.6）＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，涉及函数值的计算，注意分析函数的周期，属于基础题．
11．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限的公共点．若AF1⊥AF2，则C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】不妨设|AF1|＝x，|AF2|＝y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：上的点，
∴2a＝4，b＝1，c＝；
∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即x2+y2＝（2c）2＝（2）2＝12，②
由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，
∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
12．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn+，则数列{Sn}的前7项和为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】由数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，讨论n为偶数或奇数，求得an，进而得到数列{an}的奇数项和偶数项均为等比数列，再根据{Sn}的偶数项均为0，奇数项为等比数列，求出数列{Sn}的前7项和．
【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝﹣a1﹣，解得a1＝﹣，
当n≥2时，Sn﹣1+＝（﹣1）n﹣1an﹣1，又Sn+＝（﹣1）nan，
两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣1）nan﹣（﹣1）n﹣1an﹣1+，
当n为偶数时，an﹣1＝﹣；
当n为奇数时，2an+an﹣1＝，即有an＝，
所以数列{an}的奇数项和偶数项均为等比数列，且公比均为，且a1＝﹣，a2＝，
所以数列{Sn}的前7项和为S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7
＝﹣+0﹣+0﹣+0﹣＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的求和，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 4 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图，
A（0，2），化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，
由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，
z取最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．
14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x，则f（x）的最大值为 ﹣1 ．
【分析】利用导数，求得函数f（x）的单调区间，从而可求得最大值．
【解答】解：f（x）＝lnx﹣x，定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以在x＝1处，f（x）取得极大值也是最大值，最大值为f（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题．
15．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列，a1＝1，则S5＝ 31 ．
【分析】先由题设求得等比数列{an}的公比q，再利用等比数列的前n项和公式求得结果即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由题设可得：2a5＝4a3+2a4，即a5＝2a3+a4，
又a1＝1，∴q4＝2q2+q3，解得：q＝2，
∴S5＝＝25﹣1＝31，
故答案为：31．
【点评】本题主要考查等差、等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．
16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是 [0，8] ．
【分析】根据题意，当弦MN经过球心时，弦MN长度最大，以D为原点建立空间直角坐标系如右图：根据直径的任意性，不妨设M，N分别是上下底面的中心，则M（2，2，4），N（2，2，0），设P（x，y，z），用坐标表示•＝（2﹣x）2+（2﹣y）2﹣z（4﹣z），分析•的取值范围．
【解答】解：因为MN是它内切球的一条弦，
所以当弦MN经过球心时，弦MN长度最大，
此时MN＝4，
以D为原点建立空间直角坐标系如右图：
根据直径的任意性，不妨设M，N分别是上下底面的中心，
则M（2，2，4），N（2，2，0），
设P（x，y，z），
则＝（2﹣x，2﹣y，4﹣z），＝（2﹣x，2﹣y，﹣z），
所以•＝（2﹣x）2+（2﹣y）2﹣z（4﹣z）
＝（x﹣2）2+（y﹣2）2+（z﹣2）2﹣4，x∈[0，2]，y∈[0，2]，z∈[0，2]，
因为点P为正方体表面上动点，
所以根据x，y，z的对称性可知，•的取值范围与点P在哪个面上无关，
不妨设点P在底面ABCD上，即z＝0时，
有•＝（x﹣2）2+（y﹣2）2，
所以当x＝y＝2时，•＝0，此时•最小，
当P位于正方形的顶点D，即x＝0，y＝0，z＝0时，
•最大，•＝8．
综上所述，•的取值范围为[0，8]．
故答案为：[0，8]．
【点评】本题考查正方体的内切球，数量积的取值范围，解题中注意利用正方体的性质解决平面向量数量积的运算，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：每题12分，共60分.
17．（12分）河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”．河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果．某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
a
（1）求a的值并计算礼品果所占的比例；
（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元/kg）
16
18
22
24
从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由．
【分析】（1）直接利用已知条件求出a，求解比例即可．
（2）理由一：求出方案2的石榴售价平均数，即可判断采用方案2比较好．
理由二：设方案2的石榴售价平均数为，即可判断从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．
【解答】解：（1）a＝100﹣10﹣30﹣40＝20，即a＝20，
比例是．
（2）理由一：方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
设方案2的石榴售价平均数为，
则，
因为，
所以从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好．
理由二：方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
设方案2的石榴售价平均数为，
则，
虽然，但20.6﹣20＝0.6，
所以从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．
【点评】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值．
【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理可列得关于a的方程，解之即可；
（2）在△ABC中，由正弦定理求得sinC的值，再结合cos∠ADB＝与三角形的内角和定理可判断出C为锐角，并根据同角三角函数的平方关系求出cosC和sin∠ADC的值，最后由正弦的两角和公式，可得解．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，
所以，即a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或a＝﹣1（舍），
所以BC＝3．
（2）在△ABC中，由正弦定理知，，
所以，解得，
因为cos∠ADB＝，
所以，即∠ADC为钝角，且sin∠ADC＝，
又∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，
所以∠C为锐角，
所以，
所以sin∠DAC＝sin（180°﹣∠ADC﹣∠C）＝sin（∠ADC+∠C）
＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C
＝．
【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练运用正弦定理、余弦定理与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）设AB长为1，点E为BD的中点，求点D到平面ACE的距离．
【分析】（1）取AC的中点O，连接BO，OD，证明OB⊥AC，OB⊥OD推出OB⊥平面ACD．然后证明平面ACD⊥平面ABC．
（2）设E是BD的中点通过VD﹣ACE＝VE﹣ACD，求解点D到平面ACE的距离．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，
AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
∴，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，
∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）设E是BD的中点，△ABC是等边三角形，边长为1，
△ABD是等腰三角形，|AB|＝|BD|＝1,|AD|＝,
∴，
，
，
，
，
，
点D到平面ACE的距离．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法求解点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．
20．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若A，B为抛物线E上的两个动点（异于点P），且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．
【分析】（1）求出焦点，设P（2，y0），，通过P是E上一点，转化求解p，得到抛物线方程．
（2）求出P（2，1），设，求出AB所在直线方程与x2＝4y联立．通过判别式△≥0，求解点C的横坐标的取值范围即可．
【解答】解：（1）依题意得，
设，
又点P是E上一点，
所以，
得p2﹣4p+4＝0，即p＝2，
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y．
（2）由题意知P（2，1），
设，
因为A，B为抛物线E上的两个动点（异于点P），即x1≠2，
所以，AB所在直线方程为，联立x2＝4y．
因为x≠x1，
得（x+x1）（x1+2）+16＝0，（方程的解为B的横坐标）
即，
因为Δ＝（x+2）2﹣4（2x+16）≥0，
即x2﹣4x﹣60≥0，
故x≥10或x≤﹣6，
经检验，当x＝﹣6时，不满足题意．
所以点B的横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，是难题．
21．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤ex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）＝0，求出a的值，从而求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（2）问题转化为a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），法一：令F（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的范围即可
法二：a≤ex+lnx﹣（x+lnx）+2，令x+lnx＝t（t∈R），问题转化为a≤et﹣t+2，令g（t）＝et﹣t+2，根据函数的单调性求出a的取值范围即可．
【解答】解：，
此时函数f（1）＝a＝1，
函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，成立，
所以，此时f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）的极大值为f（1）＝1，不存在极小值；
（2）由，
化简可得a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），
法一：令F（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），则，
令，则，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，
存在唯一的，使得，
故F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
，
由，得，
，所以a≤3，
即实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
法二：a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），
即a≤xex﹣（x+lnx）+2＝ex+lnx﹣（x+lnx）+2，
令x+lnx＝t（t∈R），即a≤et﹣t+2，
令g（t）＝et﹣t+2，g′（t）＝et﹣1，
则g（t）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故g（t）≥g（0）＝3，
故a≤3．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点O），与直线l的交点为B，求线段AB的长．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，
由直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
根据，转换为直角坐标方程为：．
（2）曲线C的方程可化为x2+y2﹣2y＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
由题意设A（），B（），
将代入ρ＝2sinθ，得到ρ1＝1．
将代入ρsin（θ+）＝，得到ρ2＝，
所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝1．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞b＞0，函数f（x）＝|x+|．
（1）若a＝1，b＝，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求证：f（x）+|x﹣a2|≥4．
【分析】（1）把a＝1，b＝代入f（x），然后求解绝对值的不等式得f（x）＞2的解集；
（2）把f（x）代入f（x）+|x﹣a2|，由绝对值不等式的性质求最值，再由不等式的性质得到，即可证得f（x）+|x﹣a2|≥4．
【解答】解：（1）依题意，当a＝1，b＝时，得f（x）＝|x+4|，
则f（x）＞2⇔|x+4|＞2⇔x+4＞2或x+4＜﹣2，
解得x＞﹣2或x＜﹣6．
故不等式f（x）＞2的解集为{x|x＞﹣2或x＜﹣6}；
证明：（2）依题意，f（x）+|x﹣a2|≥4⇔|x+|+|x﹣a2|≥4，
∵|x+|+|x﹣a2|≥|x+﹣（x﹣a2）|＝，
又a＝b+a﹣b，∴，
故．
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
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2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）（一模）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{1，2，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
2．（5分）复数z＝，在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）刘徽（约公元225年﹣295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6°的近似值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设为单位向量，且|＝1，则|+2|＝（ ）
A． B． C．3 D．7
5．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多
6．（5分）设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）
A．（） B．（0，2） C．(（1，2） D．[1，2）
7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输入的a值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填（ ）
A．k＜3？ B．k＜4？ C．k＜5？ D．k＜6？
8．（5分）2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线．某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设，c＝log2021，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
10．（5分）设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
11．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限的公共点．若AF1⊥AF2，则C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn+，则数列{Sn}的前7项和为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x，则f（x）的最大值为 ．
15．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列，a1＝1，则S5＝ ．
16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：每题12分，共60分.
17．（12分）河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”．河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果．某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
a
（1）求a的值并计算礼品果所占的比例；
（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元/kg）
16
18
22
24
从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值．
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）设AB长为1，点E为BD的中点，求点D到平面ACE的距离．
20．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若A，B为抛物线E上的两个动点（异于点P），且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤ex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点O），与直线l的交点为B，求线段AB的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞b＞0，函数f（x）＝|x+|．
（1）若a＝1，b＝，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求证：f（x）+|x﹣a2|≥4．
2021年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{1，2，5}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【分析】根据A∩B＝{1}可得出1∈B，从而可得出1﹣4+m＝0，解出m＝3，然后解方程x2﹣4x+3＝0即可得出集合B．
【解答】解：∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，1﹣4+m＝0，解得m＝3，
∴B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）复数z＝，在复平面内复数z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
【解答】解：∵z＝＝，
∴．
∴z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）刘徽（约公元225年﹣295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6°的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取正60边形，设半径为1，利用等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式得出方程，即可得出sin6°的近似值．
【解答】解：取正60边形，设半径为1，则60××12×sin6°≈π×12，解得sin6°≈．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式、正多边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）设为单位向量，且|＝1，则|+2|＝（ ）
A． B． C．3 D．7
【分析】通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可．
【解答】解：为单位向量，且|＝1，
可得＝1，可得＝，
|+2|＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基本知识的考查．
5．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多
【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解即可．
【解答】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×（39.6%+17%）＝31.696%＞30%，
互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上，故A正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＞20%，
互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
17%×56%＝9.52%＞3%，
互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；
由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%×39.6%＝22.176%＜41%，
互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内，且f（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）
A．（） B．（0，2） C．(（1，2） D．[1，2）
【分析】利用辅助角公式化积，求出函数的对称轴方程，由图象的一条对称轴在区间（）内求得ω范围，验证周期得答案．
【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，
由，得x＝，k∈Z．
取k＝0，得x＝，取k＝1，得x＝，
由，得1＜ω＜2，此时T＝＞π；
由，得4＜ω＜8，此时T＝，不合题意；
依次当k取其它整数时，不合题意．
∴ω的取值范围为（1，2），
故选：C．
【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，可分类讨论的数学思想方法，是中档题．
7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输入的a值为2时，输出的S的值为12，则判断框中可以填（ ）
A．k＜3？ B．k＜4？ C．k＜5？ D．k＜6？
【分析】这是一个当型循环结构，反复求和，注意a的值正负交替．只需逐次循环，直到得到S＝﹣12，根据k的值判断．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
第一次循环，S＝2，a＝﹣2，k＝2；
第二次循环，S＝﹣6，a＝2，k＝3；
第三次循环，S＝12，a＝﹣2，k＝4；
此时输出S的值，观察可知，则判断框中可以填k＜4？
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构，对于循环次数不大的，一般是逐个循环，计算求解．注意计算的准确性，属基础题．
8．（5分）2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线．某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝9，医生甲和护士A被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，由此能求出医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率．
【解答】解：某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．
其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，
基本事件总数n＝＝9，
医生甲和护士A被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，
则医生甲和护士A被选为第一医院工作的概率为p＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）设，c＝log2021，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系．
【解答】解：∵a＝＞1＞b＝＞0＞c＝log2021，
则a，b，c的大小关系为a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性可得f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），又由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x+2）＝f（x），
则f（x）是周期为2的周期函数，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），
当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（0.6）＝5×0.6×0.4＝，
故f（﹣2020.6）＝﹣f（0.6）＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，涉及函数值的计算，注意分析函数的周期，属于基础题．
11．（5分）已知F1，F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第二象限的公共点．若AF1⊥AF2，则C2的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】不妨设|AF1|＝x，|AF2|＝y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵点A为椭圆C1：上的点，
∴2a＝4，b＝1，c＝；
∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即x2+y2＝（2c）2＝（2）2＝12，②
由①②得：，解得x＝2﹣，y＝2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，
∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
12．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn+，则数列{Sn}的前7项和为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】由数列的递推式：n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，讨论n为偶数或奇数，求得an，进而得到数列{an}的奇数项和偶数项均为等比数列，再根据{Sn}的偶数项均为0，奇数项为等比数列，求出数列{Sn}的前7项和．
【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝﹣a1﹣，解得a1＝﹣，
当n≥2时，Sn﹣1+＝（﹣1）n﹣1an﹣1，又Sn+＝（﹣1）nan，
两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣1）nan﹣（﹣1）n﹣1an﹣1+，
当n为偶数时，an﹣1＝﹣；
当n为奇数时，2an+an﹣1＝，即有an＝，
所以数列{an}的奇数项和偶数项均为等比数列，且公比均为，且a1＝﹣，a2＝，
所以数列{Sn}的前7项和为S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7
＝﹣+0﹣+0﹣+0﹣＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的求和，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 4 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图，
A（0，2），化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，
由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，
z取最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．
14．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣x，则f（x）的最大值为 ﹣1 ．
【分析】利用导数，求得函数f（x）的单调区间，从而可求得最大值．
【解答】解：f（x）＝lnx﹣x，定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以在x＝1处，f（x）取得极大值也是最大值，最大值为f（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题．
15．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，前n项和为Sn，且4a3，a5，2a4成等差数列，a1＝1，则S5＝ 31 ．
【分析】先由题设求得等比数列{an}的公比q，再利用等比数列的前n项和公式求得结果即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由题设可得：2a5＝4a3+2a4，即a5＝2a3+a4，
又a1＝1，∴q4＝2q2+q3，解得：q＝2，
∴S5＝＝25﹣1＝31，
故答案为：31．
【点评】本题主要考查等差、等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．
16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，MN是它内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是 [0，8] ．
【分析】根据题意，当弦MN经过球心时，弦MN长度最大，以D为原点建立空间直角坐标系如右图：根据直径的任意性，不妨设M，N分别是上下底面的中心，则M（2，2，4），N（2，2，0），设P（x，y，z），用坐标表示•＝（2﹣x）2+（2﹣y）2﹣z（4﹣z），分析•的取值范围．
【解答】解：因为MN是它内切球的一条弦，
所以当弦MN经过球心时，弦MN长度最大，
此时MN＝4，
以D为原点建立空间直角坐标系如右图：
根据直径的任意性，不妨设M，N分别是上下底面的中心，
则M（2，2，4），N（2，2，0），
设P（x，y，z），
则＝（2﹣x，2﹣y，4﹣z），＝（2﹣x，2﹣y，﹣z），
所以•＝（2﹣x）2+（2﹣y）2﹣z（4﹣z）
＝（x﹣2）2+（y﹣2）2+（z﹣2）2﹣4，x∈[0，2]，y∈[0，2]，z∈[0，2]，
因为点P为正方体表面上动点，
所以根据x，y，z的对称性可知，•的取值范围与点P在哪个面上无关，
不妨设点P在底面ABCD上，即z＝0时，
有•＝（x﹣2）2+（y﹣2）2，
所以当x＝y＝2时，•＝0，此时•最小，
当P位于正方形的顶点D，即x＝0，y＝0，z＝0时，
•最大，•＝8．
综上所述，•的取值范围为[0，8]．
故答案为：[0，8]．
【点评】本题考查正方体的内切球，数量积的取值范围，解题中注意利用正方体的性质解决平面向量数量积的运算，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：每题12分，共60分.
17．（12分）河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”．河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果．某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
a
（1）求a的值并计算礼品果所占的比例；
（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：
方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元/kg）
16
18
22
24
从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由．
【分析】（1）直接利用已知条件求出a，求解比例即可．
（2）理由一：求出方案2的石榴售价平均数，即可判断采用方案2比较好．
理由二：设方案2的石榴售价平均数为，即可判断从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．
【解答】解：（1）a＝100﹣10﹣30﹣40＝20，即a＝20，
比例是．
（2）理由一：方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
设方案2的石榴售价平均数为，
则，
因为，
所以从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好．
理由二：方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；
设方案2的石榴售价平均数为，
则，
虽然，但20.6﹣20＝0.6，
所以从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．
【点评】本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，∠B＝45°．
（1）求边BC的长；
（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值．
【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理可列得关于a的方程，解之即可；
（2）在△ABC中，由正弦定理求得sinC的值，再结合cos∠ADB＝与三角形的内角和定理可判断出C为锐角，并根据同角三角函数的平方关系求出cosC和sin∠ADC的值，最后由正弦的两角和公式，可得解．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为，
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，
所以，即a2﹣2a﹣3＝0，
解得a＝3或a＝﹣1（舍），
所以BC＝3．
（2）在△ABC中，由正弦定理知，，
所以，解得，
因为cos∠ADB＝，
所以，即∠ADC为钝角，且sin∠ADC＝，
又∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，
所以∠C为锐角，
所以，
所以sin∠DAC＝sin（180°﹣∠ADC﹣∠C）＝sin（∠ADC+∠C）
＝sin∠ADCcos∠C+cos∠ADCsin∠C
＝．
【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练运用正弦定理、余弦定理与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）设AB长为1，点E为BD的中点，求点D到平面ACE的距离．
【分析】（1）取AC的中点O，连接BO，OD，证明OB⊥AC，OB⊥OD推出OB⊥平面ACD．然后证明平面ACD⊥平面ABC．
（2）设E是BD的中点通过VD﹣ACE＝VE﹣ACD，求解点D到平面ACE的距离．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，
AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
∴，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，
∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）设E是BD的中点，△ABC是等边三角形，边长为1，
△ABD是等腰三角形，|AB|＝|BD|＝1,|AD|＝,
∴，
，
，
，
，
，
点D到平面ACE的距离．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法求解点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．
20．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若A，B为抛物线E上的两个动点（异于点P），且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．
【分析】（1）求出焦点，设P（2，y0），，通过P是E上一点，转化求解p，得到抛物线方程．
（2）求出P（2，1），设，求出AB所在直线方程与x2＝4y联立．通过判别式△≥0，求解点C的横坐标的取值范围即可．
【解答】解：（1）依题意得，
设，
又点P是E上一点，
所以，
得p2﹣4p+4＝0，即p＝2，
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y．
（2）由题意知P（2，1），
设，
因为A，B为抛物线E上的两个动点（异于点P），即x1≠2，
所以，AB所在直线方程为，联立x2＝4y．
因为x≠x1，
得（x+x1）（x1+2）+16＝0，（方程的解为B的横坐标）
即，
因为Δ＝（x+2）2﹣4（2x+16）≥0，
即x2﹣4x﹣60≥0，
故x≥10或x≤﹣6，
经检验，当x＝﹣6时，不满足题意．
所以点B的横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪[10，+∞）．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，是难题．
21．（12分）已知函数f（x）＝．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤ex+﹣1恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）＝0，求出a的值，从而求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（2）问题转化为a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），法一：令F（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），求出函数的导数，结合函数的单调性求出a的范围即可
法二：a≤ex+lnx﹣（x+lnx）+2，令x+lnx＝t（t∈R），问题转化为a≤et﹣t+2，令g（t）＝et﹣t+2，根据函数的单调性求出a的取值范围即可．
【解答】解：，
此时函数f（1）＝a＝1，
函数f（x）的图象在x＝1处的切线为y＝1，成立，
所以，此时f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）的极大值为f（1）＝1，不存在极小值；
（2）由，
化简可得a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），
法一：令F（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），则，
令，则，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，
存在唯一的，使得，
故F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
，
由，得，
，所以a≤3，
即实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
法二：a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2（x＞0），
即a≤xex﹣（x+lnx）+2＝ex+lnx﹣（x+lnx）+2，
令x+lnx＝t（t∈R），即a≤et﹣t+2，
令g（t）＝et﹣t+2，g′（t）＝et﹣1，
则g（t）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故g（t）≥g（0）＝3，
故a≤3．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）射线OP的极坐标方程为θ＝，若射线OP与曲线C的交点为A（异于点O），与直线l的交点为B，求线段AB的长．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由，转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，
由直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．
根据，转换为直角坐标方程为：．
（2）曲线C的方程可化为x2+y2﹣2y＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
由题意设A（），B（），
将代入ρ＝2sinθ，得到ρ1＝1．
将代入ρsin（θ+）＝，得到ρ2＝，
所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝1．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞b＞0，函数f（x）＝|x+|．
（1）若a＝1，b＝，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求证：f（x）+|x﹣a2|≥4．
【分析】（1）把a＝1，b＝代入f（x），然后求解绝对值的不等式得f（x）＞2的解集；
（2）把f（x）代入f（x）+|x﹣a2|，由绝对值不等式的性质求最值，再由不等式的性质得到，即可证得f（x）+|x﹣a2|≥4．
【解答】解：（1）依题意，当a＝1，b＝时，得f（x）＝|x+4|，
则f（x）＞2⇔|x+4|＞2⇔x+4＞2或x+4＜﹣2，
解得x＞﹣2或x＜﹣6．
故不等式f（x）＞2的解集为{x|x＞﹣2或x＜﹣6}；
证明：（2）依题意，f（x）+|x﹣a2|≥4⇔|x+|+|x﹣a2|≥4，
∵|x+|+|x﹣a2|≥|x+﹣（x﹣a2）|＝，
又a＝b+a﹣b，∴，
故．
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
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