2021年北京市顺义区高考数学二模试卷

这是一份2021年北京市顺义区高考数学二模试卷，共21页。

2021年北京市顺义区高考数学二模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}
2．（4分）在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）在的展开式中，x3的系数为（　　）
A． B． C．﹣40 D．40
4．（4分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．2a＜2b B．
C．a3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）
5．（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（　　）

A． B．1 C． D．2
6．（4分）已知函数f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（　　）
A．（0，1）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
7．（4分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（　　）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）
A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.89
8．（4分）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）已知函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（　　）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．（4分）设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝　 　．
12．（5分）若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为　 　．
13．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝　 　，Sn的最大值为　 　．
14．（5分）已知α是任意角，且满足，则常数k的一个取值为　 　．
15．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；
②△F1PF2周长的最小值为；
③点P到y轴距离的最大值为；
④点P到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．

17．（13分）在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）c的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：ab＝2；
条件②：asinB＝6．
18．（14分）某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为μ1和μ2，方差分别为η1和η2，试比较μ1和μ2，η1和η2的大小（结论不要求证明）；
（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
19．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM＝∠BNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．
（Ⅰ）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ex+e，求m的值；
（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范围．
21．（15分）已知数列{an}（an∈N），记Sn＝a1+a2+⋯+an，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整数倍．
（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{an}的前10项；
（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{an}的第n项an由a1唯一确定；
（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{Sn}从某一项起为等差数列．

2021年北京市顺义区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}
【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由并集运算得答案．
【解答】解：由|x|≤1，得﹣1≤x≤1，∴A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
又B＝{x|0≤x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤1}∪{x|0≤x＜2}＝{x|﹣1≤x＜2}．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查并集及其运算，是基础题．
2．（4分）在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的对应的点的坐标得答案．
【解答】解：由z＝i（i+2）＝﹣i2+2i＝﹣1+2i，
可得复数z＝i（i+2）对应的点的坐标为（﹣1，2），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（4分）在的展开式中，x3的系数为（　　）
A． B． C．﹣40 D．40
【分析】由二项展开式的通项公式求解即可．
【解答】解：的展开式中，x3的系数为＝﹣40．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，属于基础题．
4．（4分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．2a＜2b B．
C．a3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）
【分析】由指数函数的性质可判断选项A；利用特值法可判断选项B，D；由幂函数的性质可判断选项C．
【解答】解：对于A，函数y＝2x为增函数，因为a＞b，所以2a＞2b，故A错误；
对于B，取a＝1，b＝﹣1，可得，故B错误；
对于C，幂函数y＝x3为增函数，由a＞b，可得a3＞b3，故C正确；
对于D，取a＝1，b＝﹣1，则a2+1＝b2+1，所以lg（a2+1）＝lg（b2+1），故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查特值法和函数性质的应用，属于基础题．
5．（4分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】由三视图还原原几何体，分别求出各面面积得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥CD，BC＝1，CD＝2，
侧面ABC⊥底面BCD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，
，，
，，
∴该四面体四个面的面积中最大的是．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
6．（4分）已知函数f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（　　）
A．（0，1）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
【分析】令g（t）＝t﹣1﹣log2t，t∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出不等式g（t）＜0的解集，进而得出不等式f（x）＜0的解集．
【解答】解：令g（t）＝t﹣1﹣log2t，t∈（0，+∞），
g′（t）＝1﹣＝，
t∈（0，）时，g′（t）＜0，此时函数g（t）单调递减；t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，此时函数g（t）单调递增．
又g（1）＝g（2）＝0，∈（1，2）．
∴1＜t＜2时，g（t）＜0，
则1＜|x|＜2时，f（x）＜0，
解得﹣2＜x＜﹣1，或1＜x＜2．
∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，﹣1）∪（1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（4分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（　　）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）
A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.89
【分析】由题意可知当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，代入θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，再结合指数的运算性质即可求出k的值．
【解答】解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，
∴38＝10+（46﹣10）e﹣k，
∴e﹣k＝，
∴﹣k＝＝ln7﹣ln9，
∴k＝ln9﹣ln7＝2ln3﹣ln7≈0.25，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数函数的性质，是基础题．
8．（4分）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知可得动圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，
∴a2+b2＝1，则动圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，
如图：

原点O到直线y＝x+2的距离d＝，
则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为．
故选：B．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
9．（4分）已知函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（　　）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义及正弦函数性质进行判断即可．
【解答】解：无妨设x1＜x2，
①若存在x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）﹣f（x2）＝2，又∵sinx∈[﹣1，1]，
∴f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，
∴x1＝+2kπ，x2＝+2mπ，k，m∈Z，
则x2﹣x1＝π+2kπ，k∈Z，又∵x1＜x2，
∴x2﹣x1≥π，∵x1，x2∈[a，b]，∴b﹣a≥π，
②若b﹣a≥π，比如b＝，a＝，b﹣a＝π，但f（x1）﹣f（x2）＝2不成立，
∴存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2是b﹣a≥π的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题重点考查了充分条件与必要条件概念及其判断，熟练掌握正弦函数的图象与性质是关键，属于中档题．
10．（4分）设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】通过函数的导数求解函数的极值点，作出f（x）的图象，讨论a的范围，根据图象判断即可得出结论．
【解答】解：函数y＝﹣x3+3x，x∈R，则y'＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），
所以当﹣1＜x＜1时，y'＞0，故函数单调递增，
当x＜﹣1或x＞1时，y'＜0，故函数单调递减，
当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，
作出函数y＝﹣x3+3x，x∈R的图象与y＝2x，x∈R的图象，如图所示，
在图象中作直线x＝a，通过x＝a左右平移，得到函数f（x）＝的图象，
因为f（x）恰有两个零点，
则f（x）的图象与x轴恰有两个交点，
所以实数a的取值范围是．
故选：C．

【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数的导数的应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝　2　．
【分析】根据题意，求出﹣的坐标，由向量垂直的判断方法可得（﹣）•＝m﹣1﹣1＝0，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），
则﹣＝（m﹣1，1），
若（﹣）⊥，则（﹣）•＝m﹣1﹣1＝0，解可得m＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的坐标表示方法，属于基础题．
12．（5分）若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为　y＝±x　．
【分析】根据双曲线的几何性质，可得b＝a，再由渐近线方程为y＝±x，得解．
【解答】解：由题意知，2c＝•2a，
∴c＝a，
∴b＝＝＝a，
∴C的渐近线方程为y＝±x＝±x．
故答案为：y＝±x．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝　﹣2　，Sn的最大值为　12　．
【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求d，然后结合求和公式及二次函数的性质可求．
【解答】解：因为{an}为等差数列，a1＝6，S3＝2a1，
所以3×6+3d＝12，
则d＝﹣2，
Sn＝6n+＝7n﹣n2，
结合二次函数的性质可知，当n＝3或n＝4时，Sn取最大值12．
故答案为：﹣2，12．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，二次函数性质的应用，属于基础题．
14．（5分）已知α是任意角，且满足，则常数k的一个取值为　﹣3（答案不唯一）　．
【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为，
令k＝﹣，则k＝﹣3．
故答案为：﹣3（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．
15．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；
②△F1PF2周长的最小值为；
③点P到y轴距离的最大值为；
④点P到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【分析】由题意得到方程，结合对称性的判定方法，可判断①正确；设a＝，b＝，得到ab＝，结合基本不等式，可判断②正确；过点P作PE⊥F1F2，求得△F1PF2的最大面积为，结合面积相等可判断③不正确；化简，结合不等式判断④正确．
【解答】解：由题意，曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，
设P（x，y），可得，即，
以﹣x替换x，﹣y替换y方程不变，∴曲线C关于坐标轴对称，故①正确；
设a＝，b＝，得到ab＝，
则a+b，当且仅当a＝b时等号成立，
∴△F1PF2周长的最小值为，故②正确；
过点P作PE⊥F1F2，则cos∠F1PF2＝，
当且仅当a＝b时等号成立，
当时，sin∠F1PF2取得最大值，
∴△F1PF2的最大面积为S＝，又由，
解得|PE|＝，即点P到y轴的距离为，故③不正确；
由（a+b）2＝a2+b2+2ab＝[x2+（y+1）2]+[x2+（y﹣1）2]+2ab
＝+2+2ab＝，
又由a+b＝2•＝，当且仅当a＝b时等号成立，
∴2，可得，故④正确．
故答案为：①②④．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合基本不等式求解是关键，属难题．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）取PC中点Q，连结QM，QN，则QM∥BC，QN∥CD，从而平面ABCD∥平面QMN，由此能证明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CN与平面PBD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为PB，PD的中点．

取PC中点Q，连结QM，QN，则QM∥BC，QN∥CD，
∵QM∩QN＝Q，BC∩CD＝C，
∴平面ABCD∥平面QMN，
∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形．PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（2，2，0），N（0，1，1），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），
＝（﹣2，﹣1，1），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设平面PBD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，1），
设CN与平面PBD所成角为θ，
则CN与平面PBD所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
17．（13分）在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）c的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：ab＝2；
条件②：asinB＝6．
【分析】结合正弦定理和sinB＝sinC，知b＝c，
选择条件①：（Ⅰ）用c表示a，再由余弦定理，可得关于c的方程，解之即可；
（Ⅱ）由S＝bc•sinA，得解．
选择条件②：（Ⅰ）由正弦定理知，bsinA＝asinB＝6，再由b＝c，得解；
（Ⅱ）由S＝bc•sinA，得解．
【解答】解：由正弦定理知，＝，
∵sinB＝sinC，∴b＝c，
选择条件①：
（Ⅰ）∵ab＝2，∴a＝＝＝，
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，
∴（）2＝（c）2+c2﹣2•c•c•cos30°，
化简得，c4＝4，
∵c＞0，∴c＝．
（Ⅱ）b＝c＝，
∴△ABC的面积S＝bc•sinA＝××sin30°＝．
选择条件②：
（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，
∴bsinA＝asinB＝6，
∴b＝＝12，
∵b＝c，∴c＝＝4．
（Ⅱ）△ABC的面积S＝bc•sinA＝×12×4sin30°＝12．
【点评】本题考查解三角形，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18．（14分）某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：
教师：60 63 65 67 69 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96
学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96
根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．
（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为μ1和μ2，方差分别为η1和η2，试比较μ1和μ2，η1和η2的大小（结论不要求证明）；
（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．
【分析】（Ⅰ）根据所给数据直接判断μ1＞μ2，η1＜η2；
（Ⅱ）经分析X服从二项分布，利用公式求出概率，写出分布列，计算可得数学期望；
（Ⅲ）利用相互独立事件的概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）μ1＞μ2，η1＜η2．
（Ⅱ）教师对菜品满意的概率P＝＝，则随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），
X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X＝k）＝pk（1﹣p）3﹣k，
所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅲ）记事件C：教师的满意度等级高于学生的满意度等级，
用A1，A2，A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
用B1，B2，B3分别表示学生该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，
且A1，A2，A3，B1，B2，B3相互独立，
则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（B1）＝，P（B2）＝，P（B3）＝，
所以P（C）＝P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2）＝×+×+×＝，
即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，相互独立事件概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM＝∠BNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由离心率为，且过点，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t≠1），写出直线AN的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，由∠ANM＝∠BNM，推出k1+k2＝0，进而可得2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，联立直线l：y＝kx+1与椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，即可解得t，进而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，
解得a＝2，b＝2，
所以椭圆G的方程为+＝1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t≠1），
所以直线AN的斜率为k1＝，
直线BN的斜率为k2＝，
所以∠ANM＝∠BNM，当且仅当k1+k2＝0，
所以+＝
＝
＝＝0，
即2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，
根据题意，直线l的方程为y＝kx+1，
联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣6＝0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
所以2k•﹣+（1﹣t）＝＝0，
由因为k≠0，
所以t＝4，
所以+＝1．
所以在y轴上存在点N使得∠ANM＝∠BNM，点N的坐标为（0，4）．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．
（Ⅰ）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ex+e，求m的值；
（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导函数，由导数的几何意义即可求得m的值；
（Ⅱ）当x0＝0时，不等式成立，此时m∈R，当x0∈（0，1]时，≥m有解，令g（x）＝，利用导数求出g（x）的最大值，即可求解m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由切线方程为y＝﹣ex+e＝﹣e（x﹣1），可得斜率k＝﹣e，
因为f（x）＝ex﹣mx2，f′（x）＝ex﹣2mx，
所以k＝f′（1）＝e﹣2m＝﹣e，解得m＝e．
（Ⅱ）存在x0∈[0，1]，使得f（x0）＝﹣mx02≥2，
当x0＝0时，1≥2不成立，所以x0≠0，
当x0∈（0，1]时，即≥m有解，
令g（x）＝，则g′（x）＝＝，
设h（x）＝xex﹣2ex+4，h′（x）＝ex+xex﹣2ex＝（x﹣1）ex，
因为x∈（0，1]，所以h′（x）≤0，h（x）单调递减，
所以h（x）min＝h（1）＝4﹣e＞0，
所以g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1]上单调递增，
所以g（x）max＝g（1）＝e﹣2，
所以m≤e﹣2．
综上可得，若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，则 m的取值范围是（﹣∞，e﹣2]．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，不等式成立求参数问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
21．（15分）已知数列{an}（an∈N），记Sn＝a1+a2+⋯+an，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整数倍．
（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{an}的前10项；
（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{an}的第n项an由a1唯一确定；
（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{Sn}从某一项起为等差数列．
【分析】（Ⅰ）利用Sk是k的正整数倍，先求出{Sn}的前10项，进而由前n项和与第n项之间的关系求出数列{an}的前10项即可；
（Ⅱ）首先证明a2由a1唯一确定，然后利用反证法，假设第k+1项是第1个可以有两个不同取值的项，结合已知条件进行推导，得到矛盾，从而证明结论；
（Ⅲ）利用Sk+1＝Sk+ak+1≤Sk+k，得到≤，存在m0，当n≥m0时，为常数，求出Sn，即可证明．
【解答】（Ⅰ）解：因为Sk是k的正整数倍，当a1＝21时，则{Sn}的前10项为21，22，24，24，25，30，35，40，45，
所以数列{an}的前10项为21，1，2，0，1，5，5，5，5，5；
（Ⅱ）证明：当k＝2时，根据题意a1+a2＝2b为偶数，并且0≤a2≤1，
所以，从而a2由a1唯一确定，
接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同的取值，
假设第k+1项是第1个可以有两个不同取值的项，
即前面k项由a1唯一确定，
记第k+1项的两种取值为ak+1和ck+1（ak+1≠ck+1），
根据题意存在b，c∈N，使得a1+a2+⋯+ak+ak+1＝（k+1）b①，
且a1+a2+⋯+ak+ck+1＝（k+1）c②，
并且满足0≤ak+1，ck+1≤k，
由①②两式作差可知，|ak+1﹣ck+1|是k+1的倍数，
又因为|ak+1﹣ck+1|≤k，
可知ak+1＝ck+1，与假设矛盾，
故假设不成立，
所以对任意n≥2，数列{an}的第n项an由a1唯一确定；
（Ⅲ）证明：因为Sk+1＝Sk+ak+1≤Sk+k，
所以，
因为，都是正整数，由整数的离散性可知≤，
因此存在m0，当n≥m0时，为常数，
不妨记为＝c，从而当n≥m0时，Sn＝cn，
所以数列{Sn}从某一项起为等差数列．
【点评】本题考查了数列的综合应用，主要考查了新定义数列的理解，涉及了数列的前n项和与第n项之间关系的运用，反证法的运用等，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
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