江苏省决胜新高考2023届高三下学期4月大联考数学试题

决胜新高考——2023届高三年级大联考

数  学

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，满足，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

3．已知复数满足，则（    ）

A． B．2 C． D．5

4．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆，其长轴长度约为，短轴长度约为．若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（    ）

A． B． C． D．

5．已知多项式，则（    ）

A．0 B．32 C．16 D．

6．对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，，，可以是（    ）

A．，，是空间中三个不同的平面

B．，，是空间中三条不同的直线

C．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面

D．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面

7．在中，内角，，所对应的边分别为，，，且，，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．有两组样本数据1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，则这两组样本数据的（    ）

A．样本平均数相同 B．样本中位数相同 C．样本方差相同 D．样本极差相同

10．若函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

11．已知点在圆：上，点，，则（    ）

A．点到直线的距离的最小值是 B．的取值范围是

C．的取值范围是 D．当为直角三角形时，其面积为3

12．佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（    ）

A．  B．数列是等比数列

C． D．白银比为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若数列是等比数列，且是与的等差中项，则________．

14．某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率________．

15．已知函数若有六零点，则实数的取值范围是________．

16．在棱长位6的正四面体中，已知点为该四面体的外接球的球心，则以为球心，为半径的球面与该四面体的表面形成的交线长为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和．

18．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．

在中，内角，，所对应的边分别为，，，且满足________．

（1）求；

（2）若，，为边上的一点，且，求．

19．（12分）如图1，在边长为4的等边中，，分别是，的中点．将沿折至（如图2），使得．

图1                                   图2

（1）证明：平面平面；

（2）若点在棱上，当与平面所成角最大时，求的长．

20．（12分）甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．

（1）求比赛二球后甲得分的期望；

（2）求比赛六球后甲得分比乙得分多2分的概率．

21．（12分）已知函数．

（1）求的最小值；

（2）证明：．

22．（12分）在平面直角坐标系中，已知，两点在椭圆：上，且直线与椭圆：有且仅有一个交点，射线与椭圆交于点．

（1）证明：四边形是平行四边形；

（2）求四边形的面积．

决胜新高考——2023届高三年级大联考

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】B

【解析】因为，所以．

2．【答案】A

【解析】结合向量加法的平行四边形法则可得．

3．【答案】D

【解析】．

4．【答案】C

【解析】由和得．

5．【答案】B

【解析】设，则．

令，则．

的展开式中一次项为，常数项为1，

的展开式中一次项为，常数项为16，

所以．

6．【答案】D

【解析】逐个代入检验即可．

7．【答案】D

【解析】过点作的垂线，垂足为，则．

设，则，，

所以．

当时等号成立．

8．【答案】A

【解析】设，则，，．

因为，

所以．

当时，因为，

所以在上单调递增．

因为，所以．

因为，所以，所以．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】ABD

【解析】结合定义可得．

10．【答案】AC

【解析】因为单调递增，所以．

因为单调递增，所以C正确．

因为，所以B错误．

因为，所以D错误．

11．【答案】ACD

【解析】因为圆心到直线：的距离是，

所以点到直线的距离的最小值是．

记线段的中点为，

则．

因为，

所以的取值范围是．

当到圆相切时，，

所以的取值范围是．

因为的取值范围是，

所以当为直角三角形时，，

由，得，

所以．

所以其面积为．

12．【答案】ACD

【解析】因为，，，，，，，，所以A正确．

因为，，，所以B错误．

设数列是公比为是等比数列，则，

所以，所以，，

所以或

当时，，

当时，，

解得，所以C正确．

因为，

所以当时，，．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】2

【解析】因为，所以．

14．【答案】

【解析】．

15．【答案】或

【解析】因为，所以或或．

因为有六个零点，所以函数的图象与三条直线共有六个交点．因为函数的图象与三条直线共有三个交点，

所以的图象与三条直线共有三个交点，

所以或，所以或．

16．【答案】

【解析】取的中点，的中心，

则，，．

因为，

所以，．

设球面与平面形成的交线上一点，

则，所以．

所以球面与平面形成的交线是三段圆心角为的圆弧，

所以结合对称性可知交线长度为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1），，．

因为，所以，

所以数列是等差数列，所以．

（2）因为当为奇数时，，

所以的前20项和为

．

18．解：（1）选择①．

在中，由正弦定理，得．

因为，所以，所以．

因为，所以．

因为，所以，

所以，因为，所以．

因为，所以，所以，所以．

选择②．

因为，

所以，

所以，

所以，即，

解得或（舍去），

因为，所以．

（2）在中，由余弦定理，

得，解得．

在中，．

在中，由正弦定理，

得．

因为，

所以，

所．

19．【解】（1）取的中点，因为是等边三角形，所以．

因为的边长为4，

所以．

在中，，，，

由余弦定理，

得．

因为，所以．

又因为，，平面，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

图1                                      图2

（2）（方法1）取的中点，则．

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，．

设，因为，所以，

所以．

因为平面，平面，所以．

又因为，所以平面，

所以平面的一个法向量为．

记与平面所成角为，

则．

因为当时，取得最大值，此时最大，

所以，所以．

（方法2）在平面内，过点向作垂线，垂足为．

因为平面，平面，所以．

又因为，所以平面，

所以即为与平面所成角．

因为在中，，

所以．

在平面内，当时，最小，

此时，

所以此时取得最大值，也最大．

因为，所以．

图1                                  图2

20．解：（1）记甲得分为，则的所有可能取值是0，1，2．

方法一：因为

，

，

所以．

方法二：因为服从二项分布，

所以．

（2）因为，所以，即比赛六球后甲赢四球，乙赢两球．

比赛六球时发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，

记“比赛六球后甲得分比乙得分多2分”为事件，

“乙赢两球均在乙发球时”为事件，“乙赢两球均在甲发球时”为事件，

“乙赢两球一球在甲发球时，一球在乙发球时”为事件．

因为，

，

．

所以．

21．【解】（1）因为，所以是偶函数．

因为的导函数为，

当时，，所以单调递增，

所以，所以单调递增，所以．

因为是偶函数，所以的最小值1．

（2）设．

因为，所以，

所以单调递增，所以，

所以单调递增，所以，所以，

设，则．

因为，所以单调递增，

所以，所以单调递增，所以，

所以．

所以．

22．解：（1）当轴或轴时，易得点是的中点，也是的中点，

所以四边形是平行四边形．

当与轴既不垂直也不平行时，设：，：．

由得，由得

所以，所以是的中点．

由，得，

因为直线与椭圆：有且仅有一个交点，

所以，

化简得，所以．

由，得，

所以，

所以点是的中点，

所以四边形是平行四边形．

（2）当轴时，易得，，四边形是菱形，

所以四边形的面积为．

点到的距离．

因为，，

所以

，

所以的面积是，

因为四边形是平行四边形，所以四边形的面积为．

综上可知：四边形的面积为．