江苏省决胜新高考2023-2024学年高三上学期12月大联考数学试题

这是一份江苏省决胜新高考2023-2024学年高三上学期12月大联考数学试题，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求．
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
3．若空间中四点，，，满足，则（ ）
A．B．3C．D．
4．设函数在区间上单调递减，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
5．记数列的前项和为，则“为等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等．它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为到地球的距离（单位：光年）．现在地球某处测得1号星的绝对星等为，目视星等为；2号星绝对星等为，目视星等为．则1号星与2号星到地球的距离之比为（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数，满足，则，可能是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．已知圆与轴正半轴的交点为，从直线上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A．B．C．1D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．
9．某校举办庆元旦歌唱比赛，一共9位评委对同一名选手打分．选手完成比赛后，每位评委当场打分，作为该选手的初始评分．去掉一个最低分与一个最高分，选择剩余7位评委的评分作为该选手的最终得分．则下列说法正确的是（ ）
A．同一个选手的初始评分的中位数等于最终评分的中位数
B．同一个选手的初始评分的下四分位数等于最终评分的下四分位数
C．同一个选手的初始评分的平均数不低于最终评分的平均数
D．同一个选手的初始评分的方差不低于最终评分的方差
10．已知，，下列结论正确的是（ ）
A．若使成立的，则
B．若的图像向左平移个单位长度后得到的图像关于轴对称，则
C．若在上恰有6个极值点，则的取值范围为
D．存在，使得在上单调递减
11．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于1，记点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称B．曲线与轴恰有3个公共点
C．的周长最小值为4D．的面积最大值为1
12．在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．棱上存在点，平面
C．设平面与平面的交线为，则与的距离为2
D．四棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知随机变量，且，则________．
14．已知数列满足,，则________．
15．设椭圆双曲线共焦点，，离心率分别为，，其中．设曲线，在第一、三象限的交点分别为点，，若四边形为矩形，则________．
16．已知三次函数，其导函数为，存在，满足．记的极大值为，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设正项数列的前和为，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）
已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：在上单调递增．
19．（12分）
在中，内角，，所对边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）若，，点在内部，且，，求的面积．
20．（12分）
如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为，为的中点，在线段上，平面．
图1 图2
（1）记五棱锥的体积为，四面体的体积为，求；
（2）求与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
某单位有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用A密码．
（1）求第3周使用A密码的概率；
（2）求第周使用A密码的概率；
（3）记前周中使用B密码的次数为，求．
22．（12分）
已知抛物线的焦点为，过点的直线分别与相切于点，，点在曲线上，且在，之间，曲线在处的切线分别与，相交于，．
（1）求面积的最大值；
（2）证明：的外接圆经过异于点的定点．
2024届高三年级大联考
数学参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求．
1．【答案】B
【解析】，，选B．
2．【答案】C
【解析】，因为，所以，1，2，3，4，所以的真子集个数为，选C．
3．【答案】A
【解析】，则，选A．
4．【答案】C
【解析】令，对称轴为，则，又因为在上有意义，所以，故，选C．
5．【答案】C
【解析】若为等差数列，则．若，则，．两式相减，得，即，所以，，两式相减，得，即，所以数列为等差数列，选C．
6．【答案】B
【解析】设1号星到地球的距离为，2号星到地球的距离为，所以
，，两式相减可得
，则，
所以，故选B．
7．【答案】A
【解析】由，得，类比，选A．
8．【答案】B
【解析】易得，设，则直线恒过定点，过点作直线的垂线，在圆上，该圆的圆心为，半径为，所以的最小值为，选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．
9．【答案】
【解析】设同一选手的初始评分分别为，，，…，，其中，则该选手的最终评分为，，…，，所以这两组数据的中位数均为，A正确．初始评分的下四分位数为，最终评分的下四分位数为，B正确．
，该值的正负不确定，C错误．去掉最高分与最低分，数据的稳定性增强，D正确．选ABD．
10．【答案】BC
【解析】对于A，若，则，
则，故A错误；
对于B，将的图像向左平移个单位长度后得到
，
若所得图象关于轴对称，则，得，，
所以，故B正确；
对于C，由，得，
若在上恰有6个极值点，
则，解得，故C正确；
对于D，由，得，
因为，所以在上不可能单调递减，故D错误．
选BC．
11．【答案】AB
【解析】对于A，因为，所以，用替换，方程仍然成立，故A正确．
对于B，设，得，解得，故B正确．
对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，此时点恰为坐标原点，故的周长最小值大于4，故C错误．
对于D，由题意，得，故D错误．
选AB．
12．【答案】
【解析】因为底面是等腰梯形，，，，所以，因为平面，所以是在平面上的射影，所以，故A正确．
取的中点，的中点，连接，，则，得平面，，得平面，所以平面平面，所以平面，故B正确．
由，得平面，进而得，所以平面，由平面，且，得与的距离为4，故C错误．
由，平面，得平面，因为，所以，又因为是的中点，所以，所以是四棱锥的外接球球心，因为，所以外接球表面积为，故D正确．
选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．【答案】0.3
【解析】因为，且，所以，故，故．
14．【答案】4082
【解析】由,，得,，又，所以，所以，，所以，所以．
15．【答案】
【解析】设，，则，，由，得，
所以，得，又因为，解得．
16．【答案】
【解析】因为，所以，由题意得是的零点也是极小值点，所以不妨设，求导后，可得的极大值，因为，所以．
17．【解析】（1）因为，所以，
所以，2分
当时，，
两式相减，得，，4分
当时，满足，
所以，即，5分
所以，
所以是等差数列．6分
（2）因为，所以，
所以，8分
所以，
所以．10分
18．【解析】（1）因为，
所以，，3分
所以曲线在点处的切线方程为，
即．5分
（2）由（1）知，，
因为，，
所以，
所以．8分
设，则导函数，
所以在上单调递增，10分
所以，
所以，
所以在上单调递增．12分
19．【解析】（1）因为，所以根据正弦定理，得
，2分
因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以，，
所以，，4分
所以．5分
（2）如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则
，，，．
由，得
，
解得或（舍），
所以．8分
因为，，
所以点到直线的距离，10分
所以的面积．12分
20．【解析】（1）设正六边形棱长为，延长交延长线于，连结．
．2分
因为面，面，面面，
所以，
所以，
所以为中点．4分
所以，
所以．6分
（2）不妨设，
因为，
所以，
，8分
因为，，，
所以，，
所以，10分
，
即与平面所成角的正弦值为．12分
21．【解析】（1）因为第1周选择使用种密码，
所以第2周不选择使用A种密码，
所以第3周从上周未选用的三种密码中任选一种，
所以选择使用A密码的概率为．3分
（2）设第周使用A密码的概率为，则
第周使用A密码的概率，5分
整理得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
．
答：第周使用A密码的概率为．8分
（3）设第周使用A种密码的次数为，则服从分布，
所以
．10分
因为B、C、D地位相同，
所以．12分
22．【解析】（1），设，，，
则，，1分
联立，消，得，
所以，，．3分
同理，．
联立，解得，
同理，，
所以，
所以，5分
因为点到直线的距离，
所以
，7分
所以当时，．8分
（2）由（1）得，的中点，
因为，
所以，
所以的外心为．10分
因为，