2023届四川省遂宁市高三下学期第三次诊断考试数学（文）试题

遂宁市高中2023届三诊考试

数学（文科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．       B．      C．    D．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则=

A．0             B．         C．         D. 1

3．下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数＝0.88，则下列结论正确的是

A．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月

B．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关

C．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加

D．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小

4．下列说法不正确的是

A．若，则

B．命题，，则：，

C．回归直线方程为，则样本点的中心可以为

D．在中，角的对边分别为则“”是“”的充要条件

5．已知实数，满足则的最小值为

A．           B．            C．-1          D．1

6．已知数列为等比数列，是方程的两个根，设等差数列的前项和为，若，则

A．或       B．           C．          D．2

7．函数的图像大致为

A.

B.

C.

D.

8．已知函数，，，且，则的值为

A．          B．          C．         D．

9． 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法不正确的是

A. 异面直线与所成角为

B. 当运动时，平面EFA平面

C. 当运动时，存在点使得

D. 当运动时，三棱锥体积B-AEF不变

10. 已知数列的前项和为，且，，则

A．210         B．110        C．50  D．55

11．已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为,若为坐标原点),则双曲线的离心率为

A．        B．      C．        D．

12．已知定义在上的函数

，若，则的最大值为

A．        B．          C．        D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，且，则___________.

14．已知，从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为      

15．如图，在中，，，是的中点，以为折痕把折叠，使点到达点的位置，则当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为___________.

16．已知点为抛物线：的焦点，点,若第一象限内的点在抛物线上，则的最大值为        ．

三、解答题：共70分。第17题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（12分）习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．”为庆祝建党100周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动．该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔100名学生参加，其中高一年级50人，高二年级50人．并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．

（1）能否有99%的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？

（2）获得“党史学习之星”的这60名学生中，按高一和高二年级采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这2人中至少有一人是高二年级的概率．

参考公式：，其中．

18.（12分）在中，角所对的边分别为，且

（1）求角A的值；

（2）已知在边上，且,求的面积的最大值

19．（12分）如图，已知四棱锥中，，是面积   为的等边三角形，且，

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离.

20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为4，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上，且(O为坐标原点），求的取值范围.

21．（12分）已知函数.

（1）求的单调区间和极大值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围

选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，已知曲线（为参数, ）,在极坐标系中，曲线是以为圆心且过极点O的圆．

（1）分别写出曲线普通方程和曲线的极坐标方程；

（2）直线与曲线、分别交于M、N两点（异于极点O），求．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

遂宁市高中2023届三诊考试

数学（文科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题（4×5=20分

13．-7     14．     15．     16．

三、解答题

17．（12分）

（1））根据列联表代入计算可得：

，……………………5分

所以有99%的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关．……………………6分

（2）由题意可知，所抽取的6名学生高一年级有4人，记为，，，，

高二年级有2人，设为甲、乙．……………………7分

从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，……………………9分

其中至少有一人是高二年级基本事件有，，，，，，，，，共9个．……………………11分

故至少有一人是高二年级的概率．……………………12分

18．（12分）

解：（1）在中因为bcosA+acosB =2ccosA.

由正弦定理得，

所以………………………………………2分

因为，所以.故有…4分

又是的内角，所以.从而.

而A为的内角，所以………………………………………6分

（2）因为所以所以…8分

从而………10分

由基本不等式可得：,当且仅当时等号成立

故的面积的最大值为…………………………12分

19.（12分）

（1）取得中点，连接，如图所示：

因为，所以，因为的面积为，所以.在中，，因为，所以，………………2分

因为是等边三角形，为线段的中点，所以，又因为，平面，所以平面，………………4分

,

………………6分

（2）由（1）知平面，所以SE为四棱锥S-ABCD的高，

又，

故三棱锥的体积.……9分

又因为SB =2,SD =BD =

……12分

20．（12分）

解：（1）由已知得，………………1分

又，，∴．…………………………3分

所以椭圆的标准方程为.………………………………………………5分

（2）由（1）知的坐标为，

①当直线的斜率不存在时，，，则…………6分

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，

联立，得，

设，，则，，………………7分

，………………8分

设点，则，即，代入椭圆方程得，

解得，，所以，………………9分

所以，………………10分

又，所以的取值范围是.………………11分

综上所述，的取值范围是.………………12分

21．（12分）

解：，………………1分

由可得：或；由可得，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

所以的单调增区间为和，单调减区间为……………3分

所以，在时取极大值………………5分

（2）恒成立等价于恒成立.…………6分

因为，所以.………………7分

令，则.

令，则，

所以在上单调递增，………………8分

又，，

所以使得，即.

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.………………10分

由可得，

而在上单调递增，所以，即，

所以，所以.………………12分

22．（10分）

（1）由曲线（为参数, ），

消去参数，得……………2分

所以曲线的直角坐标方程为……………3分

因为曲线是以为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为，半径为1，

故的直角坐标方程为：，

即，将代入可得：圆的极坐标方程为………5分

（2）因为曲线的直角坐标方程为.即，

将代入化简可得的极坐标方程为：（），

所以的极坐标方程为；的极坐标方程为；

因为M、N是直线与曲线、的两个交点，

不妨设， 由（1）得：，：，

所以，从而，……………10分

23．（10分）

（1）解：当时，，

当时，即，；

当时，即，；

当时，即，，

综上可得不等式的解集为……………………………………………………5分

（2）解：，当且仅当时取等号，，……………………………………6分

又，且，

当且仅当，即，时等号成立， 

所以 ………………………………………………………8分

根据题意可得，解得或，

的取值范围是.……………………………………10分