新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第六周 （含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第六周 （含解析），共8页。
第六周周一1．(2020·鹰潭模拟)Sn是数列{an}的前n项和，且an－Sn＝n－n2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an－5an，求数列{bn}中最小的项．解　(1)对任意的n∈N*，由an－Sn＝n－n2，得an＋1－Sn＋1＝(n＋1)－(n＋1)2，两式相减得an＝n，因此数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)得bn＝2n－5n，则bn＋1－bn＝[2n＋1－5(n＋1)]－(2n－5n)＝2n－5.当n≤2时，bn＋1－bn<0，即bn＋1<bn，∴b1>b2>b3.当n≥3时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn，∴b3<b4<b5<….∴数列{bn}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.周二2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝ccos B＋b.(1)若a＋b＝7，△ABC的面积等于3，求c；(2)若c＝4，求△ABC周长的最大值．解　(1)∵a＝ccos B＋b，∴sin A＝sin Ccos B＋sin B，∴sin(B＋C)＝sin Ccos B＋sin B，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Ccos B＋sin B，∴sin Bcos C＝sin B，∵sin B≠0，∴cos C＝，C＝，∵△ABC的面积等于3，∴absin C＝3，∴ab＝12.∵a＋b＝7，∴a2＋b2＋2ab＝49，a2＋b2＝25，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝25－12＝13，∴c＝.(2)方法一　∵C＝，∴0<A<，∵c＝4，∴＝，由正弦定理可得a＝sin A，b＝sin(A＋C)＝＝sin A＋4cos A，∴a＋b＝sin A＋sin A＋4cos A＝4sin A＋4cos A＝8sin，∵0<A<，∴<A＋<，∴4<8sin≤8，∴△ABC周长的最大值为8＋4＝12.方法二　∵C＝，c＝4，∴由余弦定理可得16＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.由基本不等式可得16≥，∴a＋b≤8，当且仅当a＝b时等号成立，∴a＋b的最大值是8，∴△ABC周长的最大值为12.周三3.如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明　∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE，∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC，∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.(2)解　由(1)知，PA⊥BE，PA⊥AC，点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC，又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直，以点E为原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，设＝λ＝(－2λ，－2λ，2λ)，λ∈[0,1]，∴＝＋＝(2(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，＝(－2，2,0)，＝(0,4，－2)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令x＝1，则y＝，z＝2，∴n＝(1，，2)．由已知＝⇒＝⇒λ＝或(舍去)，故λ＝.故线段PB上存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为，此时G为线段PB的中点．周四4．(2020·潍坊模拟)近年来，国家高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x(单位：亩)12345管理时间y(单位：月)810132524 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： 愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50  (1)求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任选3人，记选到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及均值．参考公式：r＝，K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表： P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828 参考数据：≈25.2.解　(1)依题意，＝＝3，＝＝16，故(xi－)(yi－)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，(xi－)2＝4＋1＋1＋4＝10，(yi－)2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，则r＝＝＝≈0.933，故管理时间y与土地使用面积x线性相关．(2)依题意，完善表格如下： 愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300 计算得K2的观测值为k＝＝＝18.75>10.828，故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．(3)依题意，X的可能取值为0,1,2,3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C×2×＝，P(X＝2)＝C××2＝，P(X＝3)＝C3＝.故X的分布列为X0123P 则均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.周五5. (2020·重庆模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(1,2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：(1)求y1＋y2的值；(2)若直线AB在y轴上的截距b∈(－1,3]，求△ABP面积的最大值．解　(1)由点P(1,2)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，可得2p＝4，即p＝2，可得抛物线的方程为y2＝4x，由题意可得y＝4x1，y＝4x2，kPA＋kPB＝＋＝＋＝＋＝0，则y1＋y2＝－4.(2)由题意可得y＝4x1，y＝4x2，相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，则kAB＝＝＝－1，可设直线AB的方程为y＝－x＋b(b∈(－1,3])，联立抛物线方程y2＝4x，可得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，Δ＝(2b＋4)2－4b2＝16(1＋b)>0，且x1＋x2＝2b＋4，x1x2＝b2，则|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝4，P(1,2)到直线AB的距离为d＝＝，可得S△ABP＝|AB|·d＝2(3－b)＝·＝2.令f(b)＝b3－5b2＋3b＋9，b∈(－1,3]，∴f′(b)＝3b2－10b＋3＝(3b－1)(b－3)，令f′(b)>0⇒－1<b<，f′(b)<0⇒<b<3.∴f(b)在上单调递增，在上单调递减，∴f(b)max＝f ＝，∴当b＝时，(S△ABP)max＝2＝.周六6．已知函数f(x)＝－x3＋x2＋m(m－3)x＋n(m，n∈R)，且|m|≤1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝ex与函数y＝ex·f(x)在公共点P(x0，y0)处有相同的切线，且f(x)≥1在[x0－1，x0＋1]上恒成立．①求f′(x0)和f(x0)的值；(f′(x)为函数f(x)的导函数)②求实数n的取值范围．解　(1)∵f′(x)＝－x2＋3x＋m(m－3)＝－(x－m)[x－(3－m)]，又∵|m|≤1，∴m<3－m，令f′(x)>0，则(x－m)[x－(3－m)]<0，∴m<x<3－m；令f′(x)<0，则(x－m)[x－(3－m)]>0，∴x<m或x>3－m，∴f(x)的单调递增区间为(m,3－m)，单调递减区间为(－∞，m)和(3－m，＋∞)．(2)①∵y＝ex与y＝ex·f(x)在公共点P(x0，y0)处有相同的切线，∴∴②∵f(x)≥1＝f(x0)在[x0－1，x0＋1]上恒成立，且f′(x0)＝0，∴x0是f(x)的极小值点，由(1)知x0＝m，∴f(x0)＝f(m)＝－m3＋m2＋m(m－3)m＋n＝1，∴n＝－m3＋m2＋1，m∈[－1,1]，令t(x)＝－x3＋x2＋1，x∈[－1,1]，∴t′(x)＝－2x2＋3x＝－x(2x－3)，令t′(x)＝0，则x1＝0，x2＝∉[－1,1]，∵t(－1)＝，t(0)＝1，t(1)＝，∴t(x)的值域为.∴实数n的取值范围是.