新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第一周 （含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第一周 （含解析），共6页。
每日一练第一周周一1．(2020·北京大兴区模拟)在△ABC中，c＝1，A＝，且△ABC的面积为.(1)求a的值；(2)若D为BC上一点，且________，求sin∠ADB的值．从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解　(1)由于c＝1，A＝，S△ABC＝bcsin A＝，所以b＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，解得a＝.(2)选①：当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理＝，即＝，所以sin B＝.因为AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠B.所以sin∠ADB＝sin B，即sin∠ADB＝.选②：当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理知cos B＝＝＝.因为A＝，所以∠DAB＝，所以∠B＋∠ADB＝，所以sin∠ADB＝cos B，即sin∠ADB＝. 周二2．已知正数数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝Sn＋Sn－1(n≥2)，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(1－an)2－a(1－an)，若{bn}是递增数列，求实数a的取值范围．解　(1)a＝Sn＋Sn－1(n≥2)，a＝Sn－1＋Sn－2(n≥3)．相减可得a－a＝an＋an－1，∵an>0，an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥3)．当n＝2时，a＝a1＋a2＋a1，∴a＝2＋a2，a2>0，∴a2＝2.因此n＝2时，an－an－1＝1成立．∴数列{an}是等差数列，公差为1.∴an＝1＋n－1＝n.(2)bn＝(1－an)2－a(1－an)＝(n－1)2＋a(n－1)，∵{bn}是递增数列，∴bn＋1－bn＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1>0，即a>1－2n恒成立，∴a>－1.∴实数a的取值范围是(－1，＋∞)．周三3．(2020·宁德模拟)甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲与乙的命中率之和．若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率为0.18.(1)求甲、乙、丙三人投篮的命中率；(2)现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为X，求X的分布列及均值．解　(1)设甲的命中率为p，则依题意可得p×2p＝0.18，解得p＝0.3，故甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.3,0.6,0.9.(2)X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝(1－0.3)×(1－0.6)×(1－0.9)＝0.028，P(X＝1)＝0.3×(1－0.6)×(1－0.9)＋(1－0.3)×0.6×(1－0.9)＋(1－0.3)×(1－0.6)×0.9＝0.306，P(X＝2)＝0.3×0.6×(1－0.9)＋(1－0.3)×0.6×0.9＋0.3×(1－0.6)×0.9＝0.504，P(X＝3)＝0.3×0.6×0.9＝0.162，则X的分布列为X0123P0.0280.3060.5040.162 故E(X)＝0×0.028＋1×0.306＋2×0.504＋3×0.162＝1.8.周四4.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，E为AB的中点．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)若AD＝1，AB＝PD＝2，求二面角B－EC－P的余弦值．(1)证明　因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，又CD∩PD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD.因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD.(2)解　以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0,0,2)，E(1,1,0)，C(0,2,0)，所以＝(1,1，－2)，＝(－1,1,0)．设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n＝(1,1,1)．易知平面BCE的一个法向量为m＝(0,0,1)，所以cos〈n，m〉＝＝，由图可知二面角B－EC－P为钝角，故二面角B－EC－P的余弦值为－.周五5.如图所示，椭圆＋＝1(0<b<)的离心率为，过点P(2,0)作直线l交椭圆于不同两点A，B.(1)求椭圆的方程；(2)①设直线l的斜率为k，求出与直线l平行且与椭圆相切的直线方程(用k表示)；②若C，D为椭圆上的动点，求四边形ACBD面积的最大值．解　(1)在椭圆＋＝1(0<b<)中，∵a＝，c＝，∴椭圆的离心率为e＝＝＝，解得b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)①设切线方程为y＝kx＋m，代入＋y2＝1，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，由Δ＝0，可得m2＝1＋2k2，故切线方程为y＝kx±.②要使得四边形ACBD的面积最大，需满足C，D两点到直线l的距离之和最大，即两条切线间的距离d＝＝最大．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－2k，联立整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，∴1－2k2>0，－<k<，则x1＋x2＝，x1x2＝，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝·，故四边形ACBD的面积S≤d·|AB|＝··＝＝2·＝2·≤2，当且仅当k＝0，且C(0,1)，D(0，－1)或C(0，－1)，D(0,1)时等号成立．故所求最大值为2.周六6．(2020·黄山模拟)已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线斜率为－.(1)求m的值，并求函数f(x)的极小值；(2)求证：当x∈(0，π)时，exsin x－x＋ex－2＋1>exxcos x.(1)解　由题意，f(x)的定义域为R.∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－，∴m＝－1，∴f(x)＝，∴f′(x)＝，当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x＝2是f(x)的极小值点，f(x)的极小值为f(2)＝－.(2)证明　要证exsin x－x＋ex－2＋1>exxcos x，两边同除以ex，只需证＋>xcos x－sin x即可．即证f(x)＋>xcos x－sin x.由(1)可知，f(x)＋在x＝2处取得最小值0，设g(x)＝xcos x－sin x，x∈(0，π)，则g′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，∵x∈(0，π)，∴g′(x)<0，∴g(x)在区间(0，π)上单调递减，从而g(x)<g(0)＝0，∴f(x)＋>xcos x－sin x，即当x∈(0，π)时，exsin x－x＋ex－2＋1>exxcos x．