新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 压轴题突破练2（含解析）

压轴题突破练2

1．(2020·北京朝阳区模拟)某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动，设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中，按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分，比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘成频率分布直方图如图．

(1)分别求出所抽取的20人得分落在[0,20)和[20,40)内的人数；

(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40)的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和均值；

(3)如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．

解　(1)由题意知，所抽取的20人中得分落在[0,20)的有0.005 0×20×20＝2(人)，得分落在[20,40)的有0.007 5×20×20＝3(人)．所以所抽取的20人中得分落在[0,20)的人数为2，得分落在[20,40)的人数为3.

(2)X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.2.

(3)答案不唯一．

答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是20，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．

答案示例2：不能认为该选手不可能得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是20，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．

2．已知函数f(x)＝x2＋(m－2)x－mln x.

(1)讨论f(x)的极值点的个数；

(2)设函数g(x)＝x2＋mln x，P，Q为曲线y＝f(x)－g(x)上任意两个不同的点，设直线PQ的斜率为k，若k≥m恒成立，求m的取值范围．

解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x＋m－2－＝

＝.

令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.

①当－>1，即m<－2时，在(0,1)和上，f′(x)>0，在上，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得极大值，当x＝－时，f(x)取得极小值，

故f(x)有两个极值点；

②当0<－<1，即－2<m<0时，在和(1，＋∞)上，f′(x)>0，在上，f′(x)<0，同上可知f(x)有两个极值点；

③当－＝1，即m＝－2时，f′(x)＝＝≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；

④当－≤0，即m≥0时，在(0,1)上，f′(x)<0，在(1，＋∞)上，f′(x)>0，当x＝1时，f(x)取得极小值，无极大值，故f(x)只有一个极值点．

综上，当m＝－2时，f(x)的极值点的个数为0；

当m≥0时，f(x)的极值点的个数为1；

当m<－2或－2<m<0时，f(x)的极值点的个数为2.

(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，

则h(x)＝x2＋(m－2)x－2mln x，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1，x2∈(0，＋∞)，

则k＝.

不妨设x1>x2，则由k＝≥m恒成立，

可得h(x1)－mx1≥h(x2)－mx2恒成立．

令c(x)＝h(x)－mx，则c(x)在(0，＋∞)上单调递增，或c(x)为常函数，

所以c′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，

即h′(x)－m≥0恒成立．

则x＋m－2－－m≥0恒成立，

即≥0恒成立．

又x∈(0，＋∞)，所以x2－2x－2m≥0恒成立，

则2m≤(x2－2x)min，

因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，

所以2m≤－1，解得m≤－，

即m的取值范围为.