新高考数学二轮复习 第1部分 专题1 第3讲 不等式（含解析）

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第3讲　不等式
[考情分析]　1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　不等式的性质与解法
核心提炼
1．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0 (3)a>b>0,0.
2．不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x) (2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．
例1　(1)若p>1,0 A.p>1 B.<
C．m－plognp
答案　D
解析　方法一　设m＝，n＝，p＝2，逐个代入可知D正确．
方法二　对于选项A，因为01，所以00，所以>，故B不正确；对于选项C，由于函数y＝x－p在(0，＋∞)上为减函数，且0n－p，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p>1,0lognp，故D正确．
(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　)
A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3)
答案　A
解析　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0，
则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化为x2＋x－6>0，
即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2，
所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．
易错提醒　求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点
(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况．
(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．
(3)不考虑a的符号．
跟踪演练1　(1)已知函数f(x)＝则不等式x2f(x)＋x－2≤0的解集是________________．
答案　{x|－1≤x≤1}
解析　由x2f(x)＋x－2≤0，得
或
即或
∴－1≤x<或≤x≤1，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．
(2)若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪{2}
答案　B
解析　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，
当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．
当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，
则有解得－2 综上，实数a的取值范围是.
考点二　基本不等式
核心提炼
基本不等式求最值的三种解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
例2　(1)下列不等式的证明过程正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2＝2
B．若a<0，则a＋≥－2＝－4
C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2
D．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2
答案　D
解析　由于，的符号不确定，故选项A错误；∵a<0，∴a＋＝－≤
－2
＝－4(当且仅当a＝－2时，等号成立)，故B错误；由于lg a，lg b的符号不确定，故选项C错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a＋2－a≥2＝2(当且仅当a＝0时，等号成立)，故选项D正确．
(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
答案　4
解析　＝＝＝2＋ .由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.
易错提醒　运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．
跟踪演练2　(1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a－b＝1，则2a＋的最小值为________．
答案　2＋2
解析　∵a>0，b>0，由a－b＝1，得a＝1＋b，∴2a＋＝2＋2b＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当b＝时，等号成立，∴2a＋的最小值为2＋2.
(2)(2020·江苏)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
答案　
解析　方法一　由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，
可得x2＝，
所以x2＋y2＝＋y2＝
＝≥×2＝，
当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号．
所以x2＋y2的最小值为.
方法二　设x2＋y2＝t>0，则x2＝t－y2.
因为5x2y2＋y4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，
所以4y4－5ty2＋1＝0.
由Δ＝25t2－16≥0，解得t≥.
故x2＋y2的最小值为.
专题强化练
一、单项选择题
1．不等式(－x＋3)(x－1)<0的解集是(　　)
A．{x|－1 C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x<1或x>3}
答案　D
解析　不等式即(x－3)(x－1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x|x<1或x>3}．
2．下列命题中正确的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d
D．若ab>0，a>b，则<
答案　D
解析　对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误．
当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，<，故B选项错误．
当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误．
由不等式的性质知D正确．
3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为(　　)
A．{x|x<－2或x>lg 3} B．{x|－2 C．{x|x>lg 3} D．{x|x 答案　D
解析　一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，
则f(x)>0的解集为{x|－2 则f(10x)>0可化为－2<10x<3，解得x 所以所求不等式的解集为{x|x 4．若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋< B. C．a＋ D．log2(a＋b) 答案　B
解析　由题意得a>1,0 ∴<1，log2(a＋b)>log22＝1，
>a＋>a＋b⇒a＋>log2(a＋b)．
5．(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b C．a＋b<0 答案　B
解析　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，
b＝log20.3 ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab 6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4 C. D.
答案　B
解析　由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.故选B.
7．已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，a＋b＝(a＋1)＋(b＋2)－3≥2
－3＝2×4－3＝5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值是5.
8．已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．3 B. C．1 D．0
答案　C
解析　由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，
得－＋＝1≥，
当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值，
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此时c＝12b2，
所以＋－＝≤＝1，
当且仅当b＝1时等号成立．故最大值为1.
二、多项选择题
9．设f(x)＝ln x,0 A．q＝r B．pq
答案　BC
解析　r＝(ln a＋ln b)＝p＝ln ，p＝ln 10．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　ABC
解析　方法一　设y＝x2－6x＋a，则其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．

若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
则解得5 又a∈Z，故a可以为6,7,8.
方法二　分离常数，得a≤－x2＋6x，函数y＝－x2＋6x的图象及直线y＝a，如图所示，由图易知5
11．(2020·威海模拟)若a，b为正实数，则a>b的充要条件为(　　)
A.> B．ln a>ln b
C．aln a 答案　BD
解析　对于A，因为a>b>0，所以<，故A错误；对于B，因为y＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，所以a>b>0⇔ln a>ln b，故B正确；对于C，设f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以a>b>0不能推出aln a0)，则g′(x)＝1－ex.因为x>0，所以ex>1，所以g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当a>b>0时，g(a)0，b>0，且a－bb，必要性成立，故D正确．
12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
答案　ABD
解析　因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，
得＋≤，故D正确．
三、填空题
13．对于0loga；③a1＋a<；④a1＋a>a1＋.其中正确的是________．(填序号)
答案　②④
解析　由于0 14．当x∈(0，＋∞)时，关于x的不等式mx2－(m＋1)x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　∵x∈(0，＋∞)，mx2－(m＋1)x＋m>0恒成立，
∴m(x2－x＋1)>x恒成立，
又x2－x＋1＝2＋>0，
∴m>恒成立，
当x∈(0，＋∞)时，＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”．
∴m>1.
15．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　由f(x)＝x3－2x＋ex－，
得f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－
＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，
又x∈R，所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．
因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2
＝3x2≥0，当且仅当x＝0时“＝”成立，
所以f(x)在R上单调递增，
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．
所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤.
16．已知实数x，y满足x>1，y>0且x＋4y＋＋＝11，则＋的最大值为________．
答案　9
解析　∵x＋4y＋＋＝11，
∴(x－1)＋4y＝10－，
又[(x－1)＋4y]＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即2y＝x－1>0时等号成立，
∴≥9，
令t＝＋，则t(10－t)≥9，
即t2－10t＋9≤0，∴1≤t≤9，
∴＋的最大值为9.