陕西师范大学附属中学2023届高三十模文科数学试题（含解析）

陕西师范大学附属中学2023届高三十模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）

A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少

B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465

C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

D．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15

4．已知，，则

A． B． C．24 D．28

5．“”是“直线与直线互相垂直”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（   ）

A． B． C． D．

7．设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（　　）

A． B． C． D．

8．已知数列为等差数列，且，则（   ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

10．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（    ）

A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为

C．的图像关于点对称 D．在上单调递增

11．抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则面积的最大值为

A． B． C． D．

12．表面积为的球内有一内接四面体，其中平面平面，是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若函数,则______．

14．已知实数满足约束条件，则的最大值是__________.

15．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为______．

16．如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和，，弧AB均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆…的面积依次为，…，那么__________．

三、解答题

17．在中，角的对边分别为，已知，

(1)求角的大小；

(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，

18．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

19．为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，此项决定自年月日起施行至今已三年时间．某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：

(1)根据列联表，能否有的把握认为满意程度与年龄有关？

(2)为了帮助年龄在岁以下的未购房的名员工解决实际困难，该企业按员工贡献积分（单位：分）给予相应的住房补贴（单位：元），现有两种补贴方案．方案甲：；方案乙：．已知这名员工的贡献积分为分、分、分、分，将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“类员工”．为了解员工对补贴方案的认可度，现从这名员工中随机抽取名进行面谈，求至少抽到名“类员工”的概率．

附：.

20．已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.

(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；

(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

21．已知函数，，.

(1)求在区间上的最值.

(2)当时，恒有，求实数的取值范围.

22．在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.

（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线l的斜率.

23．已知函数.

（1）若不等式有解，求实数的最大值；

（2）在（1）的条件下，若正实数，满足，证明：.

参考答案：

1．C

【分析】对集合和集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.

【详解】集合，

集合，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查解一元二次不等式和集合的交集运算，属于简单题.

2．B

【分析】根据题意化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由复数满足，

可得，

所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限.

故选：B.

3．B

【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数的求法判断正误．

【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、，

对于A：内的天数最少，故A错误；

对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确；

对于C：由、、频率和为，设中位数为x，

则，可得，故C错误；

对于D：平均天数为天，故D错误；

故选：B．

4．A

【详解】∵，，∴，∴，

故选A.

【点睛】本题考查向量坐标运算及模长公式，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题

5．C

【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求的值.

【详解】若直线与直线互相垂直，

则，解得.

所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.

【点睛】如果直线，，

（1）若，则；

（2）若，则且或；

（2）若重合，则，，.

6．C

【分析】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．

【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，

设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即，

∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.

故选：C．

7．C

【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而分析的单调性以及的值，据此分析可得，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，其定义域为，

若为奇函数，则有，解可得，

则，

又由为增函数，则在上为减函数，且，

，

即不等式的解集为；

故选C．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，关键是求出的值，属于基础题．

8．B

【分析】由题意求出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而求出，即可求出答案.

【详解】因为数列为等差数列，且，

设数列的公差为，首项为，

所以，则，

所以，所以，

所以.

故选：B.

9．D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

10．C

【分析】利用辅助角公式化简，再平移图像得到的解析式，然后利用对称轴，周期，对称中心和单调性即可逐个选项判断.

【详解】由

，

则图像向右平移个单位长度可得，

，

因为，

所以不是图像的一条对称轴，A错；

由，得的最小正周期为，B错；

由，

所以点是图像的一个对称中心，C正确；

由，则，

所以在上有增有减，D错.

故选：C

11．D

【分析】易得直线l的方程为，联立直线和抛物线的方程并结合抛物线的性质得出；设与直线l平行的直线为：，当直线与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，进而求得m的值，再求出直线l与直线的距离，最后计算面积即可.

【详解】由题意可知直线l的方程为：，设，，

代入抛物线的方程可得，，

由抛物线的性质可得，

设与直线l平行的直线方程为：，代入抛物线的方程可得，

当直线与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，

所以，解得，

直线l与直线的距离，

所以面积的最大值为，

故选：D.

【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

12．D

【分析】四面体PABC体积最大需要到底面的距离为最大，分析出最大时满足，进而利用几何关系求出其最大值.

【详解】

如图所示，是四面体外接球的球心，设球的半径为，

是外接圆的圆心，设圆的半径为，设到底面的距离为，

取中点，连接，过作，

由题意可得,则，

因为是边长为3的正三角形，

所以由正弦定理可得，则，

四面体PABC体积为，

四面体PABC体积的最大需要最大，

由题意可知在过并且与底面垂直的圆面上运动，

当运动到圆面的最高点时，最大，

由圆的对称性可知此时,则,

又平面平面，则平面

在中，，

，

则，

则，，

在中，，

则,

.

故选：D.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

13．/

【分析】根据解析式分别求出和，再相加可得结果.

【详解】,

,

所以.

故答案为：

14．18

【分析】首先画出可行域，再根据目标函数表示的几何意义，求的最大值.

【详解】可行域如下图，令，画出初始目标表示的直线，平移至点，目标函数取得最大值，联立，得，，即，目标函数.

故答案为：

15．

【分析】根据双曲线的几何性质以及求出可得结果.

【详解】依题意可知，双曲线的一条渐近线方程为：，，，

所以，所以，又，所以，

所以，所以，，

所以双曲线的方程为.

故答案为：.

16．

【分析】如图，设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得是以为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解.

【详解】如图，设圆与弧AB相切于点D，

圆，圆与OA分别切于点C，E，则，.

设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.

因为，所以.在中，，

则，即，解得.

在中，，

则，即，解得.

同理可得，，

所以是以为首项，以为公比的等比数列.

又圆的面积为，

所以面积，，，…，构成一个以为首项，以为公比的等比数列，

则.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到，由此得解；

（2）利用三角面积公式推得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

由于，则，所以，即，

又，所以.

（2）因为的角平分线交于点，且，，

根据三角形面积公式可得，

等式两边同除以可得，则，

则，

当且仅当，即时，等式成立，

故的最小值为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得四边形为平行四边形，根据线面平行的判定可证得结论；

（2）结合平行关系和体积桥可知所求为，由线面垂直的判定可证得为三棱锥的高，结合棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）连接，

分别为中点，为的中位线，且，

又为中点，，，，，

，，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，平面.

（2）由（1）得：平面，，

连接，

在矩形中，；

四边形为菱形，，为的中点，，

，，平面，

平面，则为三棱锥的高，

，，

三棱锥的体积为.

19．(1)有的把握认为满意程度与年龄有关

(2)

【分析】（1）计算，结合临界值可得答案；

（2）根据题意求出“类工人”的人数，再根据对立事件和古典概型的概率公式可求出结果.

【详解】（1）零假设：有的把握认为满意程度与年龄无关，

．

∵．故假设不成立，

∴有的把握认为满意程度与年龄有关．

（2）根据题意，该名员工的贡献积分分别按甲、乙两种方案所获补贴情况为：

可知“类工人”有名．

记“至少抽到名类员工”为事件，

则．

20．(1)面积的最大值为，此时直线的方程为或；

(2)存在，

【分析】（1）根据条件求出椭圆方程，当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出面积，利用基本不等式求出最值，并得出此时直线的方程.

（2）由角相等得到，转化为，在第二问的基础上，代入化简即可得到答案.

【详解】（1）将代入椭圆方程，

得到，故，

故椭圆方程为.

当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

与椭圆方程联立，得，

设，则，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最大值为，

此时直线的方程为或.

（2）在x轴上存在点使得恒成立，

理由如下：

因为，所以，即，

整理得，

即，

所以，

则，解得，

故在x轴上存在点，使得恒成立.

【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系问题，从以下几个角度分析：

（1）椭圆性质得出椭圆标准方程；

（2）直线与椭圆联立，韦达定理的应用；

（3）求最值时，基本不等式的应用；

（4）运算过程，计算能力的考查.

21．(1)最小值为，最大值为

(2)

【分析】（1）求得，得出的单调性，求得，再结合，进而求得函数的最值；

（2）令，根据题意转化为，求得，且，令，求得，分和，两种情讨论，分别求得，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，函数，可得，

令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

又因为，且，可得，

所以，

故在区间上的最小值为，最大值为.

（2）解：令，

因为，要使得，只需即可，

又由，且，

令，则，

当时，，有，即，符合题意；

当时，，

若，即时，，此时，即，符合题意；

若，即时，在上单调递减，在上单调递增，可得，此时，不合题意，

综上可得，实数的取值范围为.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

22．（1）l的参数方程为(t为参数)，C的直角坐标方程为：；（2）斜率为.

【解析】（1）根据直线过点P，及倾斜角，代入公式，即可求得l的参数方程，将曲线C左右同乘，利用即可求得曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，根据t的几何意义及题干条件，可得，即可求得答案.

【详解】（1）因为直线l过点，倾斜角为，

所以直线l的参数方程为(t为参数)，

因为，所以，

所以曲线C的直角坐标方程为：；

（2）将直线l的参数方程为(t为参数)代入可得：，

设A,B所对应的参数为，所以，

因为成等比数列，

所以，即，

解得，，故直线l的斜率为.

【点睛】解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题.

23．（1）（2）证明见解析；

【分析】（1）不等式有解等价于，，然后利用绝对值的三角不等式求出其最大值即可，

（2），然后利用柯西不等式求解即可.

【详解】（1）若不等式有解，只需即可.

因为，

所以，解得，

所以实数的最大值.

（2）根据（1）知正实数，满足，

由柯西不等式可知，

所以，，因为，均为正实数，

所以(当且仅当时取“=”).

【点睛】本题主要考查的是绝对值的三角不等式和柯西不等式，属于基础题.