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2024年高考物理一轮复习（新人教版） 第9章 第1讲 静电场中力的性质
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1.了解静电现象，能用电荷守恒的观点分析静电现象.2.知道点电荷模型，体会科学研究中建立物理模型的方法，掌握并会应用库仑定律.3.掌握电场强度的概念和公式，会用电场线描述电场.4.掌握电场强度叠加的方法.知道静电的防止与利用.
考点一 电荷守恒定律 库仑定律
考点二 电场强度的理解和计算
考点三 电场强度的叠加
考点四 电场线的理解及应用 静电的防止与利用
电荷守恒定律 库仑定律
1.元电荷、点电荷(1)元电荷：e＝ ，所有带电体的电荷量都是元电荷的_____倍.(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的__________________________对它们之间的作用力的影响的理想化模型.2.电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量 .
1.60×10－19 C
(2)三种起电方式： 起电、 起电、接触起电.(3)带电实质：物体 .(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带 电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先 ，余下的电荷再 .3.库仑定律(1)内容： 中两个静止 之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成 ，与它们的距离的二次方成 ，作用力的方向在它们的连线上.
(2)表达式：F＝ ，式中k＝ N·m2/C2，叫作静电力常量.(3)适用条件： 中的静止 .①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式.②当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷.(4)库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互 ，异种电荷相互 .
1.两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球.( )2.相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大.( )3.根据F＝ ，当r→0时，F→∞.( )
库仑定律的理解和应用1.库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用.2.对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离.
3.对于两个带电金属球相距较近时，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示.
4.不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了.
考向1 库仑定律与电荷守恒定律的结合
例2 (2018·全国卷Ⅰ·16)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线.设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则
由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷.a对c的库仑力
例3 (2023·河北保定市检测)如图所示，质量为m的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量为＋q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上.当小球A平衡时，悬线沿水平方向.已知lOA＝lOB＝l，静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球均可视为点电荷，则关于小球A的电性及带电荷量qA的大小，下列选项正确的是
考向3 库仑力作用下的平衡
例4 如图所示，已知两个点电荷Q1、Q2的电荷量分别为＋1 C和＋4 C，能在水平面上自由移动，它们之间的距离d＝3 m.现引入点电荷Q3，试求：当Q3满足什么条件，并把它放在何处时才能使整个系统处于平衡.
若整个系统处于平衡，则点电荷Q1、Q2、Q3所受合外力均为零，由于Q1、Q2电性相同且都为正电荷，则Q3处在Q1、Q2之间某处，且Q3带负电，
即Q3距离电荷量较小的电荷Q1较近，又因r1＋r2＝d，d＝3 m，所以Q3到Q1距离r1＝1 m，
1.涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下：
静电力作用下的平衡问题
2.“三个自由点电荷平衡”模型(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置.(2)模型特点：
1.电场(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质.(2)基本性质：对放入其中的电荷有 .2.电场强度(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的 与它的 之比.(2)定义式：E＝ ；单位：N/C或 .(3)矢量性：规定 在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向.
3.点电荷的电场：真空中与场源电荷Q相距为r处的电场强度大小为E＝ .
1.电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比.( )2.由E＝ 知，当试探电荷q变为一半时，电场强度E变为2倍.( )
例5 真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m.在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷的电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示.忽略A、B间的作用力.下列说法正确的是A.B点的电场强度大小为0.25 N/CB.A点的电场强度的方向沿x轴负方向C.点电荷Q的位置坐标为0.3 mD.点电荷Q是正电荷
1.电场强度的叠加(如图所示)
2.“等效法”“对称法”和“填补法”(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示.
(2)对称法利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化.例如：如图所示，均匀带电的 球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向.
(3)填补法将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍.3.选用技巧(1)点电荷电场与匀强电场电场强度叠加一般应用合成法.(2)均匀带电体与点电荷电场强度叠加一般应用对称法.(3)计算均匀带电体某点产生的电场强度一般应用补偿法或微元法.
例6 直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示.M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零.静电力常量用k表示.若将该正点电荷移到G点，则H点处电场强度的大小和方向分别为
考向1 点电荷电场强度的叠加
处于O点的正点电荷在G点处产生的电场强度大小E1＝ ，方向沿y轴负方向；因为G点处电场强度为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合电场强度大小E2＝E1＝ ，方向沿y轴正方向；
例7 (2022·山东卷·3)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷.点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷.将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零.圆环上剩余电荷分布不变，q为
考向2 非点电荷电场强度的叠加和计算
取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，
由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，
根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，
考向3 填补法、对称法在电场叠加中的应用
电场线的理解及应用 静电的防止与利用
1.电场线的特点(1)电场线从 或 出发，终止于 或 .(2)电场线在电场中不相交.(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线 ，电场强度较小的地方电场线 .(4)电场线上某点的切线方向表示该点的 .(5)沿电场线方向电势逐渐 .(6)电场线和等势面在相交处 .
2.静电平衡(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生__________，导体达到静电平衡状态.(2)处于静电平衡状态的导体的特点①导体内部的电场强度 .②导体是一个等势体，导体表面是等势面.③导体表面处的电场强度方向与导体表面 .④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上.
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.3.尖端放电导体尖端周围电场使空气 ，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和，相当于导体从尖端失去电荷.4.静电屏蔽处于电场中的封闭金属壳，由于内部电场强度处处为 ，从而外电场对壳内仪器不会产生影响.
1.电场线和电场一样都是客观存在的.( )2.电场线不是电荷的运动轨迹，但根据电场线的方向能确定已知电荷的加速度的方向.( )
1.两种等量点电荷电场线的比较
2.电场线的应用(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小.(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反.(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快.
例9 如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k.由图可知A.P、Q两点的电场强度相同B.M点的电场强度小于N点的电场强度C.右边的小球带电荷量为－2qD.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为
电场线的疏密表示电场强度的相对大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；
同理，M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的小球带负电，但是带电荷量小于左边球的带电荷量，故右边的小球带电荷量为－q，故C错误；
例10 (多选)电场线能直观地反映电场的分布情况.如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点.则A.E、F两点电场强度相同B.A、D两点电场强度不同C.B、O、C三点中，O点电场强度最小D.从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A正确；
根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；
由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；
由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误.
1.(多选)M和N是两个不带电的物体.它们互相摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6×10－10 C，下列判断正确的有A.摩擦前M和N的内部没有任何电荷B.摩擦过程中电子从M转移到NC.N在摩擦后一定带负电且所带电荷量为1.6×10－10 CD.M在摩擦过程中失去1.6×1010个电子
摩擦前M和N都不带电，是指这两个物体都呈电中性，没有“净电荷”，也就是没有得失电子，但内部仍有正电荷和负电荷，选项A错误；M和N摩擦后M带正电荷，说明M失去电子，电子从M转移到N，选项B正确；根据电荷守恒定律，M和N这个与外界没有电荷交换的系统原来电荷量的代数和为0，摩擦后电荷量的代数和应仍为0，选项C正确；元电荷的值为1.60×10－19 C，摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6×10－10 C，由于M带电荷量应是元电荷的整数倍，所以M在摩擦过程中失去109个电子，选项D错误.
2.(多选)如图，三个点电荷A、B、C分别位于等边三角形的顶点上，A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示，已知FA与BA延长线的夹角小于60°，则对点电荷C所带电荷的电性和电荷量的判断正确的是A.一定是正电B.一定是负电C.带电荷量大于B的D.带电荷量小于B的
因为B对A是斥力，而A所受的合力沿FA方向，可知C对A是引力，即C一定带负电，B正确，A错误；
假设C的带电荷量等于B的电荷量，则C、B对A的库仑力大小相等，合力方向与BA的延长线夹角为60°，但是因为FA与BA延长线的夹角小于60°，可知C的带电荷量小于B的带电荷量，D正确，C错误.
3.甲、乙两带电小球的质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，两球间用绝缘细线2连接，甲球用绝缘细线1悬挂在天花板上，在两球所在空间有沿水平方向向左的匀强电场，电场强度大小为E，且有qE＝mg，g为重力加速度，平衡时细线都被拉直.则平衡时的可能位置是
先用整体法，将两个小球及细线2视为一个整体，整体受到的外力有竖直向下的重力2mg、水平向左的静电力qE、水平向右的静电力qE和细线1的拉力FT1，由平衡条件知，水平方向受力平衡，细线1的拉力FT1一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；
再隔离分析乙球，如图所示，乙球受到的力有：竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE、细线2的拉力FT2和甲球对乙球的引力F引，要使乙球所受合力为零，重力mg和静电力qE的合力F与F引和FT2的合力等大反向，细线2必须倾斜，设细线2与竖直方向的夹角为θ，则有tan θ＝ ＝1，θ＝45°，故A正确.
4.(2023·黑龙江省实验中学高三检测)如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为m、带电荷量为q的圆环a套在竖直杆上，质量为M、带电荷量为＋Q的滑块b静置于水平地面上，滑块b与地面间的动摩擦因数为μ，a、b均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为θ，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是A.圆环a带负电B.滑块b受到的库仑力大小为C.滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)gD.滑块b受到地面的摩擦力大小为μ(M＋m)g
根据题意，圆环a能保持静止，故受到库仑斥力，圆环a也带正电，A错误；根据牛顿第三定律，滑块b受到的库仑力大小等于圆环a受到的库仑力大小，对圆环a进行受力分析后，得库仑力的大小为 ，B错误；
对a、b组成的系统整体进行受力分析，竖直方向上受力平衡，故滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g，C正确；
5.带有等量异种电荷的一对平行金属板，如果两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是A.这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的， 很有规律性，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看成匀强电场B.电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度C.电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度D.若将一正电荷从电场中的A点由静止释放， 它将沿着电场线方向运动到负极板
由于这种平行金属板形成的电场的电场线不是等间距的平行直线，所以不是匀强电场，选项A错误.
从电场线分布看，A处的电场线比B处密，所以A点的电场强度大于B点的电场强度，选项B、C错误.A、B两点所在的电场线为一条直线，电荷受力方向沿着这条直线，所以若将一正电荷从电场中的A 点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板，选项D正确.
6.如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是A.点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大， 速度也一定越来越大B.点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小， 速度一定越来越大C.若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零D.若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零
若点电荷带正电，则点电荷会向背离O点方向运动，选项A错误；
若点电荷带负电，则点电荷会向O运动，加速度可能先增大后减小，也可能一直减小，但是速度一定越来越大，选项B错误；若点电荷能越过O点，则根据能量关系以及对称性可知，点电荷一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零，选项C正确；若点电荷能运动到O点，此时加速度为零，速度达到最大值，选项D错误.
7.(2022·江苏卷·9)如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O是正方形的中心，将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移动，则A.在移动过程中，O点电场强度变小B.在移动过程中，C点的电荷所受静电力变大C.在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功D.当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点
O是等量同种电荷连线的中点，电场强度为0，将A处的正点电荷沿OA方向移至无穷远处，O点电场强度变大，故A错误；移动过程中，C点电场强度变小，正电荷所受静电力变小，故B错误；
A点电场方向沿OA方向，移动过程中，移动的电荷所受静电力做正功，故C错误；A点电场方向沿OA方向，沿电场线方向电势降低，A点的电荷移动到无穷远处时，O点的电势高于A点电势，故D正确.
8.如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0).一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放.静电力常量为k.下列说法正确的是
C.粒子在O1O2中点处动能最大D.粒子在O2处动能最大
把圆环上每一个点都看成一个点电荷，
带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C错误；
根据电场叠加原理，在O2左侧电场强度方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D错误.
由于三个点电荷在P处的合电场强度为0，则E2的方向应与E1的方向相反，且大小相等，即有E1＝E2，解得Q＝2 q，由几何关系可知Q的坐标为(0,2a)，故选B.
在z轴正半轴上取一点M，设BM与BD夹角为θ，两正点电荷单独在M点产生的电场强度为E，两正点电荷在M点产生的合电场强度为EM，
即最大值点位于A点和O点之间，故从O点沿z轴到A点，电场强度先增大后减小，A错误；
C点速度最大，小球不会在A、C两点之间做往复运动，D错误.
11.如图所示，不带电的金属球N的半径为R，球心为O，球N左侧固定着两个电荷量大小均为q的异种点电荷，电荷之间的距离为2R.M点在点电荷＋q的右侧R处，M点和O点以及＋q、－q所在位置在同一直线上，且两点电荷连线的中点到O点的距离为5R.当金属球达到静电平衡时，下列说法正确的是A.M点的电势低于O点的电势
D.将一电子由M点移到金属球上不同点，克服静电力所做的功不相等
金属球靠近M点的位置感应出负电荷，虚线上在M点右侧部分电场线向右，沿着电场线的方向电势逐渐降落，处于静电平衡的金属球是一等势体，M点的电势高于O点的电势，A错误；
M点与金属球上不同点间的电势差相等，将一电子由M点移到金属球上不同点，克服静电力所做的功相等，D错误.
把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，
在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，
13.如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度大小等于E0，两个通过同一条直径的平面夹角为α，从半球中分出夹角为α的这部分球面，则所分出的这部分球面上(在“小瓣”上)的电荷在O处的电场强度大小为
1.了解静电现象，能用电荷守恒的观点分析静电现象.2.知道点电荷模型，体会科学研究中建立物理模型的方法，掌握并会应用库仑定律.3.掌握电场强度的概念和公式，会用电场线描述电场.4.掌握电场强度叠加的方法.知道静电的防止与利用.
考点一 电荷守恒定律 库仑定律
考点二 电场强度的理解和计算
考点三 电场强度的叠加
考点四 电场线的理解及应用 静电的防止与利用
电荷守恒定律 库仑定律
1.元电荷、点电荷(1)元电荷：e＝ ，所有带电体的电荷量都是元电荷的_____倍.(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的__________________________对它们之间的作用力的影响的理想化模型.2.电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量 .
1.60×10－19 C
(2)三种起电方式： 起电、 起电、接触起电.(3)带电实质：物体 .(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带 电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先 ，余下的电荷再 .3.库仑定律(1)内容： 中两个静止 之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成 ，与它们的距离的二次方成 ，作用力的方向在它们的连线上.
(2)表达式：F＝ ，式中k＝ N·m2/C2，叫作静电力常量.(3)适用条件： 中的静止 .①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式.②当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷.(4)库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互 ，异种电荷相互 .
1.两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球.( )2.相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大.( )3.根据F＝ ，当r→0时，F→∞.( )
库仑定律的理解和应用1.库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用.2.对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离.
3.对于两个带电金属球相距较近时，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示.
4.不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了.
考向1 库仑定律与电荷守恒定律的结合
例2 (2018·全国卷Ⅰ·16)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线.设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则
由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷.a对c的库仑力
例3 (2023·河北保定市检测)如图所示，质量为m的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量为＋q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上.当小球A平衡时，悬线沿水平方向.已知lOA＝lOB＝l，静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球均可视为点电荷，则关于小球A的电性及带电荷量qA的大小，下列选项正确的是
考向3 库仑力作用下的平衡
例4 如图所示，已知两个点电荷Q1、Q2的电荷量分别为＋1 C和＋4 C，能在水平面上自由移动，它们之间的距离d＝3 m.现引入点电荷Q3，试求：当Q3满足什么条件，并把它放在何处时才能使整个系统处于平衡.
若整个系统处于平衡，则点电荷Q1、Q2、Q3所受合外力均为零，由于Q1、Q2电性相同且都为正电荷，则Q3处在Q1、Q2之间某处，且Q3带负电，
即Q3距离电荷量较小的电荷Q1较近，又因r1＋r2＝d，d＝3 m，所以Q3到Q1距离r1＝1 m，
1.涉及静电场中的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下：
静电力作用下的平衡问题
2.“三个自由点电荷平衡”模型(1)平衡的条件：每个点电荷受到另外两个点电荷的合力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的合电场强度为零的位置.(2)模型特点：
1.电场(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质.(2)基本性质：对放入其中的电荷有 .2.电场强度(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的 与它的 之比.(2)定义式：E＝ ；单位：N/C或 .(3)矢量性：规定 在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向.
3.点电荷的电场：真空中与场源电荷Q相距为r处的电场强度大小为E＝ .
1.电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比.( )2.由E＝ 知，当试探电荷q变为一半时，电场强度E变为2倍.( )
例5 真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2 m和0.7 m.在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷的电荷量q的关系分别如图中直线a、b所示.忽略A、B间的作用力.下列说法正确的是A.B点的电场强度大小为0.25 N/CB.A点的电场强度的方向沿x轴负方向C.点电荷Q的位置坐标为0.3 mD.点电荷Q是正电荷
1.电场强度的叠加(如图所示)
2.“等效法”“对称法”和“填补法”(1)等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景.例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示.
(2)对称法利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化.例如：如图所示，均匀带电的 球壳在O点产生的电场，等效为弧BC产生的电场，弧BC产生的电场强度方向，又等效为弧的中点M在O点产生的电场强度方向.
(3)填补法将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍.3.选用技巧(1)点电荷电场与匀强电场电场强度叠加一般应用合成法.(2)均匀带电体与点电荷电场强度叠加一般应用对称法.(3)计算均匀带电体某点产生的电场强度一般应用补偿法或微元法.
例6 直角坐标系xOy中，M、N两点位于x轴上，G、H两点坐标如图所示.M、N两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q的正点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零.静电力常量用k表示.若将该正点电荷移到G点，则H点处电场强度的大小和方向分别为
考向1 点电荷电场强度的叠加
处于O点的正点电荷在G点处产生的电场强度大小E1＝ ，方向沿y轴负方向；因为G点处电场强度为零，所以M、N处两负点电荷在G点产生的合电场强度大小E2＝E1＝ ，方向沿y轴正方向；
例7 (2022·山东卷·3)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷.点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷.将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零.圆环上剩余电荷分布不变，q为
考向2 非点电荷电场强度的叠加和计算
取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，
由题意可知，两电场强度方向的夹角为120°，
根据O点的合电场强度为0，则放在D点的点电荷带负电，
考向3 填补法、对称法在电场叠加中的应用
电场线的理解及应用 静电的防止与利用
1.电场线的特点(1)电场线从 或 出发，终止于 或 .(2)电场线在电场中不相交.(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线 ，电场强度较小的地方电场线 .(4)电场线上某点的切线方向表示该点的 .(5)沿电场线方向电势逐渐 .(6)电场线和等势面在相交处 .
2.静电平衡(1)定义：导体放入电场中时，附加电场与原电场的电场强度在导体内部大小相等且方向相反，使得叠加电场强度为零时，自由电荷不再发生__________，导体达到静电平衡状态.(2)处于静电平衡状态的导体的特点①导体内部的电场强度 .②导体是一个等势体，导体表面是等势面.③导体表面处的电场强度方向与导体表面 .④导体内部没有净电荷，净电荷只分布在导体的外表面上.
⑤在导体外表面越尖锐的位置，净电荷的密度(单位面积上的电荷量)越大，凹陷的位置几乎没有净电荷.3.尖端放电导体尖端周围电场使空气 ，电离出的与导体尖端电荷符号相反的电荷与尖端的电荷中和，相当于导体从尖端失去电荷.4.静电屏蔽处于电场中的封闭金属壳，由于内部电场强度处处为 ，从而外电场对壳内仪器不会产生影响.
1.电场线和电场一样都是客观存在的.( )2.电场线不是电荷的运动轨迹，但根据电场线的方向能确定已知电荷的加速度的方向.( )
1.两种等量点电荷电场线的比较
2.电场线的应用(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小.(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反.(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快.
例9 如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k.由图可知A.P、Q两点的电场强度相同B.M点的电场强度小于N点的电场强度C.右边的小球带电荷量为－2qD.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为
电场线的疏密表示电场强度的相对大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；
同理，M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的小球带负电，但是带电荷量小于左边球的带电荷量，故右边的小球带电荷量为－q，故C错误；
例10 (多选)电场线能直观地反映电场的分布情况.如图甲是等量异号点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两电荷连线上关于O对称的两点.则A.E、F两点电场强度相同B.A、D两点电场强度不同C.B、O、C三点中，O点电场强度最小D.从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
等量异号点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A正确；
根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；
由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；
由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误.
1.(多选)M和N是两个不带电的物体.它们互相摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6×10－10 C，下列判断正确的有A.摩擦前M和N的内部没有任何电荷B.摩擦过程中电子从M转移到NC.N在摩擦后一定带负电且所带电荷量为1.6×10－10 CD.M在摩擦过程中失去1.6×1010个电子
摩擦前M和N都不带电，是指这两个物体都呈电中性，没有“净电荷”，也就是没有得失电子，但内部仍有正电荷和负电荷，选项A错误；M和N摩擦后M带正电荷，说明M失去电子，电子从M转移到N，选项B正确；根据电荷守恒定律，M和N这个与外界没有电荷交换的系统原来电荷量的代数和为0，摩擦后电荷量的代数和应仍为0，选项C正确；元电荷的值为1.60×10－19 C，摩擦后M带正电且所带电荷量为1.6×10－10 C，由于M带电荷量应是元电荷的整数倍，所以M在摩擦过程中失去109个电子，选项D错误.
2.(多选)如图，三个点电荷A、B、C分别位于等边三角形的顶点上，A、B都带正电荷，A所受B、C两个电荷的静电力的合力如图中FA所示，已知FA与BA延长线的夹角小于60°，则对点电荷C所带电荷的电性和电荷量的判断正确的是A.一定是正电B.一定是负电C.带电荷量大于B的D.带电荷量小于B的
因为B对A是斥力，而A所受的合力沿FA方向，可知C对A是引力，即C一定带负电，B正确，A错误；
假设C的带电荷量等于B的电荷量，则C、B对A的库仑力大小相等，合力方向与BA的延长线夹角为60°，但是因为FA与BA延长线的夹角小于60°，可知C的带电荷量小于B的带电荷量，D正确，C错误.
3.甲、乙两带电小球的质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，两球间用绝缘细线2连接，甲球用绝缘细线1悬挂在天花板上，在两球所在空间有沿水平方向向左的匀强电场，电场强度大小为E，且有qE＝mg，g为重力加速度，平衡时细线都被拉直.则平衡时的可能位置是
先用整体法，将两个小球及细线2视为一个整体，整体受到的外力有竖直向下的重力2mg、水平向左的静电力qE、水平向右的静电力qE和细线1的拉力FT1，由平衡条件知，水平方向受力平衡，细线1的拉力FT1一定与重力2mg等大反向，即细线1一定竖直；
再隔离分析乙球，如图所示，乙球受到的力有：竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE、细线2的拉力FT2和甲球对乙球的引力F引，要使乙球所受合力为零，重力mg和静电力qE的合力F与F引和FT2的合力等大反向，细线2必须倾斜，设细线2与竖直方向的夹角为θ，则有tan θ＝ ＝1，θ＝45°，故A正确.
4.(2023·黑龙江省实验中学高三检测)如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为m、带电荷量为q的圆环a套在竖直杆上，质量为M、带电荷量为＋Q的滑块b静置于水平地面上，滑块b与地面间的动摩擦因数为μ，a、b均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为θ，静电力常量为k，重力加速度为g，下列说法正确的是A.圆环a带负电B.滑块b受到的库仑力大小为C.滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)gD.滑块b受到地面的摩擦力大小为μ(M＋m)g
根据题意，圆环a能保持静止，故受到库仑斥力，圆环a也带正电，A错误；根据牛顿第三定律，滑块b受到的库仑力大小等于圆环a受到的库仑力大小，对圆环a进行受力分析后，得库仑力的大小为 ，B错误；
对a、b组成的系统整体进行受力分析，竖直方向上受力平衡，故滑块b受到地面的支持力大小为(M＋m)g，C正确；
5.带有等量异种电荷的一对平行金属板，如果两极板间距不是足够近或者两极板面积不是足够大，即使在两极板之间，它的电场线也不是彼此平行的直线，而是如图所示的曲线，关于这种电场，以下说法正确的是A.这种电场的电场线虽然是曲线，但是电场线的分布却是左右对称的， 很有规律性，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看成匀强电场B.电场内部A点的电场强度小于B点的电场强度C.电场内部A点的电场强度等于B点的电场强度D.若将一正电荷从电场中的A点由静止释放， 它将沿着电场线方向运动到负极板
由于这种平行金属板形成的电场的电场线不是等间距的平行直线，所以不是匀强电场，选项A错误.
从电场线分布看，A处的电场线比B处密，所以A点的电场强度大于B点的电场强度，选项B、C错误.A、B两点所在的电场线为一条直线，电荷受力方向沿着这条直线，所以若将一正电荷从电场中的A 点由静止释放，它将沿着电场线方向运动到负极板，选项D正确.
6.如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上的P点自由释放一点电荷q，不计重力，下列说法中正确的是A.点电荷一定会向O运动，加速度一定越来越大， 速度也一定越来越大B.点电荷可能会向O运动，加速度一定越来越小， 速度一定越来越大C.若点电荷能越过O点，则一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零D.若点电荷能运动到O点，此时加速度达到最大值，速度为零
若点电荷带正电，则点电荷会向背离O点方向运动，选项A错误；
若点电荷带负电，则点电荷会向O运动，加速度可能先增大后减小，也可能一直减小，但是速度一定越来越大，选项B错误；若点电荷能越过O点，则根据能量关系以及对称性可知，点电荷一定能运动到P关于O的对称点且速度再次为零，选项C正确；若点电荷能运动到O点，此时加速度为零，速度达到最大值，选项D错误.
7.(2022·江苏卷·9)如图所示，正方形ABCD四个顶点各固定一个带正电的点电荷，电荷量相等，O是正方形的中心，将A点的电荷沿OA的延长线向无穷远处移动，则A.在移动过程中，O点电场强度变小B.在移动过程中，C点的电荷所受静电力变大C.在移动过程中，移动的电荷所受静电力做负功D.当其移动到无穷远处时，O点的电势高于A点
O是等量同种电荷连线的中点，电场强度为0，将A处的正点电荷沿OA方向移至无穷远处，O点电场强度变大，故A错误；移动过程中，C点电场强度变小，正电荷所受静电力变小，故B错误；
A点电场方向沿OA方向，移动过程中，移动的电荷所受静电力做正功，故C错误；A点电场方向沿OA方向，沿电场线方向电势降低，A点的电荷移动到无穷远处时，O点的电势高于A点电势，故D正确.
8.如图所示，两个固定的半径均为r的细圆环同轴放置，O1、O2分别为两细圆环的圆心，且O1O2＝2r，两圆环分别带有均匀分布的等量异种电荷＋Q、－Q(Q>0).一带正电的粒子(重力不计)从O1由静止释放.静电力常量为k.下列说法正确的是
C.粒子在O1O2中点处动能最大D.粒子在O2处动能最大
把圆环上每一个点都看成一个点电荷，
带电粒子从O1点开始由静止释放，在粒子从O1向O2的运动过程中，两圆环对粒子的作用力皆向左，可见电场对带电粒子做正功，故粒子在O1O2中点处动能不是最大，故C错误；
根据电场叠加原理，在O2左侧电场强度方向先向左后向右，因此粒子到达O2左侧某一点时，速度最大，动能最大，在这以后向左运动的速度开始减小，动能也减小，故D错误.
由于三个点电荷在P处的合电场强度为0，则E2的方向应与E1的方向相反，且大小相等，即有E1＝E2，解得Q＝2 q，由几何关系可知Q的坐标为(0,2a)，故选B.
在z轴正半轴上取一点M，设BM与BD夹角为θ，两正点电荷单独在M点产生的电场强度为E，两正点电荷在M点产生的合电场强度为EM，
即最大值点位于A点和O点之间，故从O点沿z轴到A点，电场强度先增大后减小，A错误；
C点速度最大，小球不会在A、C两点之间做往复运动，D错误.
11.如图所示，不带电的金属球N的半径为R，球心为O，球N左侧固定着两个电荷量大小均为q的异种点电荷，电荷之间的距离为2R.M点在点电荷＋q的右侧R处，M点和O点以及＋q、－q所在位置在同一直线上，且两点电荷连线的中点到O点的距离为5R.当金属球达到静电平衡时，下列说法正确的是A.M点的电势低于O点的电势
D.将一电子由M点移到金属球上不同点，克服静电力所做的功不相等
金属球靠近M点的位置感应出负电荷，虚线上在M点右侧部分电场线向右，沿着电场线的方向电势逐渐降落，处于静电平衡的金属球是一等势体，M点的电势高于O点的电势，A错误；
M点与金属球上不同点间的电势差相等，将一电子由M点移到金属球上不同点，克服静电力所做的功相等，D错误.
把圆环分为n等份(n足够大)，每一份的电荷量为Δq，
在P点，E0在垂直x轴方向的分量大小为Ey，
13.如图所示，电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度大小等于E0，两个通过同一条直径的平面夹角为α，从半球中分出夹角为α的这部分球面，则所分出的这部分球面上(在“小瓣”上)的电荷在O处的电场强度大小为
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