四川省高考数学模拟试卷(理科)

这是一份四川省高考数学模拟试卷(理科)，共18页。试卷主要包含了已知i为虚数单位，a∈R，若，设命题p，已知抛物线x2=﹣2py等内容，欢迎下载使用。
四川省高考数学模拟试卷（理科）　
一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1
2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（　　）
A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1
3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（　　）
A．p∧q为真 B．p∨q为假 C．￢p为真 D．￢q为真
4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（　　）种．
A．14 B．18 C．12 D．16
6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．0 D．2016
7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）
A．1024 B．256 C．8 D．4
8．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（　　）
A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1
9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．
12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．
13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_______．
14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．
15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=
（I）求角A；
（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．
17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．
18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（Ⅰ）求证：AB∥GH；
（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；
（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣4，数列{bn}满足bn+1﹣bn=1，其n项和为Tn，且T2+T6=32．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若不等式nlog2（Sn+4）≥λbn+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．
21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；
（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．
　
四川省高考数学模拟试卷（理科）试题解析　
一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1
【考点】复数的基本概念．
【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．
【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，
∴，解得：a=1．
故选：A．
　
2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（　　）
A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．
【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，
∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．
当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．
∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．
综上可得：a的取值范围为a≤1．
故选：B．
　
3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（　　）
A．p∧q为真 B．p∨q为假 C．￢p为真 D．￢q为真
【考点】命题的否定．
【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．
【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，
当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，
故￢q为真，其余都为假命题，
故选：D
　
4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．
【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），
∴4=4p，
∴p=1，
∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），
故选：C．
　
5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（　　）种．
A．14 B．18 C．12 D．16
【考点】计数原理的应用．
【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．
【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，
第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，
第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故选：A．
　
6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．0 D．2016
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2017＞2016时，满足条件，终止循环，输出P的值．
【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，
i=2，不满足条件i＞2016？，有P=﹣1+cos2π=0，
i=3，不满足条件i＞2016，有P=0+cos3π=﹣1，
，…，
i=2016，不满足条件i＞2016，有P=﹣1+cos2016π=0，
i=2017，满足条件i＞2016，输出P的值为0．
故选：C．
　
7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）
A．1024 B．256 C．8 D．4
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，
作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=2x﹣u
由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，
由，解得，即A（5，2）．
代入目标函数u=2x﹣y，
得u=2×5﹣2=8，
∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．
故选：B．

　
8．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（　　）
A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．
【解答】解：如图所示，
延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．
则+2=+=，
∵+2+3=，∴﹣=3．
又=2，可得=2．
于是=，
∴S△ABC=2S△AOB．
同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．
∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．
故选：C．

　
9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．
【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，
且它们有四个交点，
∴圆的半径，
由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，
在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，
∴；
由，得b+2c＜2a，
再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，
∴3c2+4bc＜3a2，
∴4bc＜3b2，
∴4c＜3b，
∴16c2＜9b2，
∴16c2＜9a2﹣9c2，
∴9a2＞25c2，
∴，
∴．
综上所述，．
故选A．
　
10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】分段函数的应用．
【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f（x2），确定x1的取值范围然后再根据x1f（x2）﹣f（x2），转化为求在x1的取值范围即可．
【解答】解：作出函数的图象：
∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）
∴0≤x1＜，
∵x+在[0，）上的最小值为；
2x﹣1在[，2）的最小值为，
∴x1+≥，x1≥，
∴≤x1＜．
∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）
∴x1f（x2）﹣f（x2）=x1f（x1）﹣f（x1）2
=﹣（x1+）=x12﹣x1﹣，
设y=x12﹣x1﹣=（x1﹣）2﹣，（≤x1＜），
则对应抛物线的对称轴为x=，
∴当x=时，y=﹣，
当x=时，y=，
即x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为[﹣，）．
故选：B．

　
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为　15　．
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的平均数是10，
∴=（x1+x2+…+x10）=8；
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数是：
= [（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x10﹣1）]
=2×（x1+x2+…+x10）﹣1=2×8﹣1=15．
故答案为：15．
　
12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为　35　．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．
【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，
它的通项公式为Tr+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，
故展开式中x5的系数为=35，
故答案为：35．
　
13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为　a　．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；
【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，
则AC⊥BD，
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AC，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∴AC⊥EN，
∴△AEN≌△CEN，
∴EA=EC，
连接EC，
∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．
在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，
∴EC==a．
故答案为： a．

　
14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为　2π　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆半径r=，a=﹣1时，rmin==1，a=1时，rmax==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．
【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切，
∴圆半径r===，
∴a=﹣1时，rmin==1，最小圆面积Smin=π×12=π，
a=1时，rmax==，最大圆面积Smax==3π，
∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．
故答案为：2π．
　
15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为　[e+1，]　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=﹣1+a≥e可得a≥e+1，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．
【解答】解：f′（x）=﹣2x+a=，
∵x＞0，又a＞0，
∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；
x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（1）=﹣1+a≥e，
∴a≥e+1，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴最大值为f（e）=a2﹣e2+ae≤3e+2，
解得：a≤，
又a≥e+1，而e+1＜，
∴a的取值集合是[e+1，]，
故答案为：[e+1，]．
　
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=
（I）求角A；
（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；
（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．
【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．
（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+sinB）．
∴=（cosB，﹣cosB+sinB），
∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．
∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．
∴≤|+|＜．
　
17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，
根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，
∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，
从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，
至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，
∴至少有1人成绩是“优良”的概率：
p=1﹣=．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ有的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




Eξ==．
　
18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（Ⅰ）求证：AB∥GH；
（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；
（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；
（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；
（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．
【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，
∴CD∥AB，EF∥AB，
∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，
∴CD∥平面EFQ，
又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，
∴GH∥CD，又CD∥AB，
∴GH∥AB．
（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．
∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．
以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．
∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．
∴=﹣，||=，||=1，
∴cos＜＞=﹣．
∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．
（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．
=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．
设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则， =0，
∴，令z=1，得=（0，2，1）．
∴=2，||=，||=，
∴cos＜＞==，
∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．

　
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣4，数列{bn}满足bn+1﹣bn=1，其n项和为Tn，且T2+T6=32．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若不等式nlog2（Sn+4）≥λbn+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出．
（Ⅱ）Sn=2×4n﹣4．不等式nlog2（Sn+4）≥λbn+3n﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．
【解答】解：（I）∵Sn=2an﹣4，
∴n=1时，a1=2a1﹣4，解得a1=4；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣4﹣（2an﹣1﹣4），化为：an=2an﹣1．
∴数列{an}是等比数列，首项为4，公比为2，∴an=4×2n﹣1=2n+1．
∵数列{bn}满足bn+1﹣bn=1，
∴数列{bn}是等差数列，公差为1．
∵T2+T6=32，∴2b1+1+6b1+×1=32，解得b1=2．
∴bn=2+（n﹣1）=n+1．
（Ⅱ）Sn=2×2n+1﹣4．
∴不等式nlog2（Sn+4）≥λbn+3n﹣7，化为：λ≤，
∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，
当n=2时，取得最小值3，
∴实数λ的取值范围是λ≤3．
　
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由条件可得到A1（﹣2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）可设P（x1，y1），从而有，可写出直线A1P的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得A1（﹣2，0），B（0，b）；
∴直线BA1的方程为；
∴圆心（﹣1，0）到直线BA1的距离为；
解得b2=3；
∴椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），则，；
∴直线A1P的方程为；
∴；
同理得，；
∴；
∴|DE|•|DF|为定值．
　
21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；
（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）由题意可得lnx﹣x2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；
（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（x）=lnx+﹣（t+1），利用导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．
【解答】解：（1）对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，
即为lnx﹣x2α≤0恒成立，
当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；
当α＞0时，h′（x）=﹣2α•x2α﹣1，
当x＞时，h′（x）＜0，h（x）递减；
当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增．
即有x=时，h（x）取得最大值，且为ln﹣，
由ln﹣≤0，可得α≥，
综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）；
（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12﹣x1+t），（x2，lnx2），
由f′（x）=2x﹣1，得l的方程为y﹣（x12﹣x1+t）=（2x1﹣1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣1）x﹣x12+t．
由g′（x）=，得l的方程为y﹣lnx2=（x﹣x2），即y=•x+lnx2﹣1．
所以（*）
消去x1得lnx2+﹣（t+1）=0 （**）．
令F（x）=lnx+﹣（t+1），
则F′（x）=﹣==，x＞0．
由F'（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，
所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
从而F（x）min=F（1）=﹣t．
当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，
即存在唯一一条满足题意的直线；
当t＞0时，F（1）＜0，由于F（et+1）＞ln（et+1）﹣（t+1）=0，
故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；
令k（x）=lnx+﹣1（x≤1），由于k' （x）=﹣=≤0，
故k （x）在（0，1]上单调递减，
故当0＜x＜1时，k （x）＞k （1）=0，即lnx＞1﹣，
从而lnx+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．
所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，
又0＜＜1，
故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．
所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．
综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；
当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．