2023年辽宁省锦州市黑山县中考二模数学试题（含解析）

2023年辽宁省锦州市黑山县中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数是无理数的是（　　）A．0.5 B．10 C． D．2．下列是几个著名汽车品牌标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ）A．   B．   C．     D．   3．下列调查中，调查方式选择不合理的是（　　）A．为了了解某河流的水质情况，选择普查B．为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择普查C．为了了解新型炮弹的杀伤半径，选择抽样调查D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查4．实数介于（　　）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7 D．7和8之间5．下列方程中，有两个相等实数根的是（  ）A． B．C． D．6．已知a≠0，函数y=ax与y=-ax²+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ）A． B． C． D．7．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ）A． B． C． D．8．如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）A． B．C． D．二、填空题9．分解因式：4ax2﹣a=________．10．函数中自变量的取值范围是______________．11．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．12．若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为_____________．13．如图，矩形中，，连接，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线交于点H，则的长度为_______．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，ΔAEF的面积为1，则k的值为________．15．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．则根据题意，可列方程____________________________．16．如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝3，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△An﹣1AnCn﹣1的高为______.(用含正整数n的代数式表示)三、解答题17．先化简，再求值：，其中18．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）b：七年级抽取成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，，，，，．c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：请结合以上信息完成下列问题：(1)七年级抽取成绩在的是___________人，并补全频数分布直方图；(2)表中m的值为___________；(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是，则谁的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前？说明理由．(4)七年级的学生共有人，请你估计七年级竞赛成绩分及以上的学生有多少人？19．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．(1)小雨抽到A组题目的概率是_________；(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．20．某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元．（1）足球、篮球的单价分别是多少元?（2）根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共46个，要求购买足球和篮球的总费用不超过1480元，这所中学最多可以购买多少个篮球?21．某校的足球场设有一照明灯，九年级数学小组的同学测量足球场照明灯杆的高度．如图，在B处用测角仪测得照明灯杆顶端F的仰角为，沿方向前进50米到达D处，又测得照明灯杆顶端F的仰角为．已知测角仪高度米，测量点B，D与照明灯杆的底部C在同一水平线上，求照明灯杆的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，）22．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E．(1)求证：是的切线；(2)若弦垂直于，垂足为G，，求的直径．23．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？24．如图①，在正方形中，，点在上，且．过点作，交于点，连接，．  问题发现(1)的值为______．问题探究(2)如图②，将绕点顺时针旋转，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并证明；若不成立，请说明理由．  问题解决(3)在（2）的条件下，当，，三点共线时，试求出的长．25．如图，抛物线与轴交于、，交轴于．(1)求抛物线的表达式；(2)是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值及点的坐标；(3)设点是轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点坐标．投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104123152251投中频率（m/n）0.560.600.520.520.490.510.50年级平均数中位数七年级八年级79参考答案：1．D【分析】根据无理数的概念，即可得到答案．【详解】A. 0.5是有理数，不符合题意，B. 10是有理数，不符合题意，C. 是有理数，不符合题意，D. 是无理数，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查无理数的定义，关键是熟练掌握无理数的三种类型：①含π的数，②开方开不尽的数，③有规律的无限不循环小数．2．C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．A【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】A. 为了了解某河流的水质情况，应选择抽样调查，故A符合题意；B. 为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，应选择普查，故B不符合题意；C. 为了了解新型炮弹的杀伤半径，选择抽样调查，故C不符合题意；D. 为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，应选择抽样调查，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．B【分析】首先变形＝，再估算，由此即可得到答案．【详解】解：∵＝，且，∴．故选：B．【点睛】本题考查估算实数大小，方法就是用有理数来逼近，求该数的近似值，一般情况下要牢记1到20整数的平方，可以快速地进行估算．5．A【分析】根据根的判别式逐一判断即可．【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确；B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误；C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.故选：A.【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键．6．A【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．【详解】当时，正比例函数y=ax经过一、三象限，y=-ax²+a开口向下，与轴交于正半轴，当时，正比例函数y=ax经过二、四象限，y=-ax²+a开口向上，与轴交于负半轴综合符合条件的只有A选项．故选A．【点睛】本题考查了正比例函数与二次函数图象结合，掌握正比例函数与二次函数图象的性质是解题的关键．7．A【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【详解】∵为中点，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形内接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故选：A．【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．8．A【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等边三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B选项不正确；当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．9．a(2x+1)(2x-1）【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：4ax2﹣a=a(4x2﹣1)= a(2x+1)(2x-1）．故答案为：a(2x+1)(2x-1）．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．10．x＜4【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数，以及分母不等于0即可求解．【详解】解：根据题意得4-x＞0，解得x＜4．故答案为：x＜4．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．11．0.5【分析】利用频率的计算公式进行计算即可.【详解】解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．故答案为0.5．【点睛】本题考查利用频率估计概率，难度不大．12．【分析】直接利用弧长公式计算即可．【详解】解：该扇形的弧长．故答案为：．【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．13．【分析】证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案．【详解】解：∵矩形中，，∴，，，如图，过H点作于M，由作法得平分，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，而，∴．故答案为．【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键．14．3【分析】设A（a，0) ，表示出D（a，），再根据D、E、F都在函数图像上，以此表示出坐标，再由的面积为1，可知，列出等式即可求出结果．【详解】解：设A（a，0) ，∵四边形ABCD是矩形， ∴D（a，），∵矩形ABCD中，E为AC的中点， 则E也为BD的中点， ∵点B在x轴上，∴ E的纵坐标为 ，∴E （2a，），∵E为AC的中点， ∴点C （3a，），∴点F（3a，），∵的面积为1，AE=EC，∴ ，∴，解得：k＝3故答案为：3．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．15．【分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．【详解】解：设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元，根据销售数量与去年一整年的相同得到： ，故答案为：【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．16．()n﹣1【分析】证明△A1A2C1是等边三角形，△A2A3C2、…、△An﹣1AnCn﹣1都是等边三角形，求出A1C1＝A1B1＝B1C1＝，由等边三角形的性质得出等边△A1A2C1的高为：A1C1＝，同理求出等边△A2A3C2的高为：A2C2＝()2，…，得出规律即可；【详解】解：∵∠MON＝30°，B1A1⊥OM，△A1B1C1是等边三角形，∴A1B1＝OB1＝，∠OA1B1＝60°，∠B1A1C1＝60°，∴∠C1A1A2＝60°，∵A2B2⊥OM，∴A2B2∥A1B1，∴∠A1A2C1＝∠OA1B1＝60°，∴△A1A2C1是等边三角形，同理：△A2A3C2、…、△An﹣1AnCn﹣1都是等边三角形，∴A1C1＝A1B1＝B1C1＝，∴等边△A1A2C1的高为：A1C1＝，∵∠C1B1B2＝90°﹣60°＝30°，∴B2C1＝B1C1＝，∴A2C2＝A2B2＝A1C1+B2C1＝，∴等边△A2A3C2的高为：A2C2＝×＝()2，…，∴△An﹣1AnCn﹣1的高为()n﹣1；故答案为：()n﹣1.【点睛】本题主要考查了规律型：图形的变化类，数字的变化类，等边三角形的判定方法，找到规律是解题的关键.17．，【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后得到化简的结果，再化简x，最后代入求值即可．【详解】解： ；∵∴原式．【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟记基础的运算法则是解本题的关键．18．(1)，见解析(2)(3)甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前．(4)【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：这组的数据有人，∴七年级抽取成绩在的人数是：人，补全频数分布直方图如图所示；故填：38；（2）解：∵，，∴七年级中位数在这组数据中，∴第、的数据分别为，，∴m=，故答案为：；（3）解：∵七年级学生的中位数为，八年级学生的中位数为，∴七年级学生甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，（4）解：（人）答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为72人．【点睛】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．19．(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）通过列表法，可得共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）（小雨抽到A组题目），故答案为：；（2）列表如下：由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）．【点睛】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．20．（1）足球的单价为30元，篮球的单价为40元；（2）这所中学最多可以购买10个篮球.【分析】（1）根据“购买3个足球和2个篮球共需170元，购买2个足球和5个篮球共需260元”列二元一次方程组解答即可；（2）根据（1）求得的单价，买篮球m个，则购买足球（46-m）个，再根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元列不等式求解即可.【详解】解：（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据题意得解得答：足球的单价为30元，篮球的单价为40元；（2）设购买篮球m个，则购买足球（46-m）个，根据题意得40m+30（46-m）≤1480，解得m≤10，∵m为整数，∴m最大取10．答：这所中学最多可以购买10个篮球．【点睛】本题主要考查了运用二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题，审清题意，确定建立方程的等量关系和不等式的不等关系量成为解答本题的关键.21．23米【分析】连接交于点G，则，结合题意，设，根据等腰直角三角形的性质可得，根据正切的定义可得，根据，求得，即可求得．【详解】解：连接交于点G，则，，，，．设，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴故照明灯杆的高度约为23米．【点睛】本题考查了解直角三角形——仰俯角问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握正切的定义是解题的关键．22．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明，可得，结合，从而可得结论；（2）连接， 求解，证明，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，是的半径是的切线（2）连接，∴，是直径，，∴， ，，，在中    即 ∴，  即⊙O的直径为  ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键．23．（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360 解得：x1＝2，x2＝18∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去∴T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得： M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝ ∴当x＝10时，M最大值＝4000元∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．24．(1)(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析(3)或【分析】（1）如图所示，过点E作于G，由正方形的性质得到，则是等腰直角三角形，即可求求出，进而得到，利用勾股定理求出，，则，证明是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出，则；（2）由正方形的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，由此证明，即可得到；（3）分图3-1，图3-2两种情况，求出的长，根据求出的长即可．【详解】（1）解：如图所示，过点E作于G，∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴；在中，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案为：；  （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：∵四边形是正方形，∴，由（1）得是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图3-1所示，∵三点共线，∴，由（1）得，在中，由勾股定理得，∴，由（2）得，，∴，∴；如图3-2所示，同理可得，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上所述，得长为或．  【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．25．(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）由三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）过点作轴于点，交于点，连接、，可先求得直线的解析式，则可用分别表示出的坐标，从而可表示出的长，再可用表示出的面积，利用二次函数的性质可求答案；（3）分和为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得点的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）如图1，过点作轴于点，交于点，连接、，∵，，∴，设直线表达式为，则 ，解得 ，∴直线表达式为，∵点的横坐标为，且在抛物线，∴，又∵轴于点，交于点，∴，，∴，∴，∴四边形的面积，∴当时，取最大值，最大值为，此时，∴；（3）存在．若为菱形对角线，如下图，则与互相垂直平分，∴，∴；若为菱形对角线，如下图则，∴或；若为菱形对角线，则，设，由，得，解得，∴，∴．综上可知存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，符合条件的点有4个：或或或．【点睛】本题为二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法、勾股定理、二次函数的性质、菱形的性质等知识，运用方程思想和分类讨论思想分析问题是解题关键．小雨 莉莉ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD