2023年浙江省湖州市长兴县中考一模数学试题（含解析）

2023年浙江省湖州市长兴县中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列有理数中，最小的是（    ）

A． B． C．2 D．0

2．经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节假期国内旅游出游3.08亿人．这里3.08亿用科学记数法表示为（    ）．

A． B． C． D．

3．如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（    ）

A． B． C． D．

4．抛物线的顶点坐标是（    ）

A． B． C． D．

5．某市五月份连续五天的日最高气温分别为33、30、31、31、29（单位：ºC），这组数据的众数是（     ）

A．29 B．30 C．31 D．33

6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，是的外接圆，，则的度数等于（    ）

A． B． C． D．

8．如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．

9．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）

A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2

10．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、填空题

11．分解因式：=____．

12．已知一组数据的方差为2，则这组数据的标准差为 _____．

13．一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为______．

14．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米．

15．如图，菱形中，对角线相交于点，反比例函数的图象过点M和点C，则m的值为________．

16．数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在与交点处，则的长是________．

三、解答题

17．计算：．

18．先化简，再求值：，其中．

19．如图，已知，，求证：．

20．某省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的图表（如表①，图②所示）．

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）表中m和n所表示的数分别为：m= ，n= ；

（2）补全条形统计图；

（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？

21．如图，在中，，点是上一点，以为半径，与相交于点，与相切于点，连结．

(1)求证：平分；

(2)已知，，求的半径．

22．为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．

(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？

(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；

(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

23．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结．

(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；

(2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度；

(3)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．

24．（1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值；

（2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度（点E在的内部），如图2，连接，求的值；

（3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，如图3，求的值．

参考答案：

1．A

【分析】根据有理数的大小比较法则：①正数大于零；②负数小于零；③正数大于负数；④两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答．

【详解】解：，

，

故有理数中，最小的是．

故选：A．

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练相关法则是解题的关键．

2．C

【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．

【详解】3.08亿．

故选：C．

【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．

3．A

【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．

【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，

故选：A．

【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．

4．B

【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．

【详解】∵二次函数解析式为 ，

∴顶点坐标为；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．

5．C

【分析】根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数即可得出答案．

【详解】根据众数的概念可知，31出现了2次，次数最多，

∴这组数据的众数为31，

故选：C．

【点睛】本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．

6．B

【分析】根据概率公式直接求解即可．

【详解】解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有1种结果，

所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为，

故选：B．

【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．

7．B

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可．

【详解】解：连接，

∵，

∴，

∴，

由圆周角定理得：，

故选：B．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．

8．A

【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答；

【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形，

，

，

，

，

∴四边形是平行四边形,，，

∴四边形是平行四边形，

，

∴阴影部分的面积，

故选：A

【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点．

9．C

【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．

【详解】解：方案1，设米，则米，

则菜园的面积

当时，此时散架的最大面积为8平方米；

方案2，当∠时，菜园最大面积平方米；

方案3，半圆的半径

此时菜园最大面积平方米>8平方米，

故选：C

【点睛】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．

10．C

【分析】观察图象可知，再结合题目一一判断即可；

【详解】解：如图，由题意对称轴为直线，

观察图象可知，，

若，如图1中，则，选项A不符合题意，

若，如图2中，则，选项B不符合题意，

若，如图3中，则，选项C符合题意，

若，如图4中，则，选项D不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

11．．

【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案

【详解】解：．

故答案为：

【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．

12．

【分析】根据标准差是方差的算术平方根即可求解．

【详解】解：∵数据的方差是，

∴这组数据的标准差是；

故答案为：．

【点睛】此题考查了方差和标准差，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．

13．2π

【分析】根据扇形的弧长公式求出即可．

【详解】∵扇形的半径为4，圆心角为90°，

∴此扇形的弧长=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，能熟记扇形的弧长公式是解此题的关键，注意：扇形的半径为r，圆心角为n°的扇形的弧长是．

14．10

【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．

【详解】解：连接，，，

可得：，，

∵，拱高米，

∴，

设，则，

根据题意可得：，

即，

解得：，

即圆弧形桥拱所在圆的半径是米．

故答案为：10

【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．

15．

【分析】由反比例函数的图象过点M求得反比例函数为，根据菱形的性质M为的中点，可知，即可求得C的横坐标为2，从而求得，得到菱形边长为6，利用勾股定理得到关于m的方程，解方程即可；

【详解】解：作轴于D，轴于N，则，

∵点，反比例函数的图象过点M和点C，

∴，

∴反比例函数为，

∵四边形是菱形，

∴M是的中点，

∴，

∴C点的纵坐标为，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

解得（负数舍去），

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得菱形的边长是解此题的关键，解答时还需注意函数图像上的点满足函数解析式．

16．

【分析】根据等腰三角形的性质求出，

，根据勾股定理求解即可；

【详解】由图1及等腰三角形的性质可知，

，

如图2，，

，

，

，

，

设，则，

在中，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，勾股定理：直角三角形有两边的平方和等于第三边的平方，熟记勾股定理是解题的关键．

17．3

【分析】根据算术平方根和绝对值的定义，零指数幂，逐个计算，再进行加减法即可．

【详解】解：，

，

．

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的绝对值，零指数幂，熟练计算是解题的关键．

18．，2

【分析】首先根据整式的运算法则化简，再把a的值代入计算．

【详解】解：原式=a2+4a-（a2-1）

=a2+4a-a2+1

=4a+1，

∴当a= 时，原式=．

【点睛】本题考查整式的化简与计算，掌握先化简再代值计算的步骤是解题关键．　　

19．见解析

【分析】易证，根据全等三角形对应角相等的性质即可解题．

【详解】证明：在和中，

∴

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．

20．（1）0.26，10．（2）见解析

（3）该校骑自行车上学的学生约有300人

【详解】解：（1）被调查的学生共有：20÷0.4=50（人），

∴m==0.26，n=0.2×50=10，

故答案是：0.26，10；

（2）由（1）知，“骑自行车”的学生有10人，补全条形图如图：

（3）1500×20%=300（人）．

答：该校骑自行车上学的学生约有300人．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，则，可得，根据，得出，等量代换得出，即可得证；

（2）根据，，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）证明：连接，

切于点，

，

，

，

，

，

，

，即平分；

（2）解：在 中，，

∴，

∵，，

，

，

，

∴，即 ，

解得：．

【点睛】本题考查了切线的性质，余弦的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

22．(1)篮球每个100元，足球每个80元；

(2)；

(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．

【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要检验；

（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；

（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；

【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 元，

由题意得：，

解得：，

经检验：是原方程的解且符合题意，

则足球的单价为： （元），

答：篮球每个100元，足球每个80元；

（2）由题意得：，

即w与m的函数关系式为；

（3）由题意可得：，

解得：，

，

由（2）得：，

，

随m的增大而减小，

∴当时，w取得最小值，

此时元，，，

故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．

【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

23．(1)点；

(2)或

(3)

【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式即可；

（2）根据是等腰直角三角形，直线和直线的夹角为 ，推出或，进行分类讨论即可解答；

（3）根据函数的性质和函数图象以及函数的最大值与最小值的差是一个定值得出结论；

【详解】（1）∵对称轴为直线 ，

∴，

，

∵抛物线 与y轴交于C点，代入得：

，

∴抛物线的解析式为，

由抛物线的表达式知，点；

（2），

是等腰直角三角形，

则，

∵直线和直线的夹角为 ，

或，

在中，，

，

当 时，如图1所示：

∵，

则，

则；

当时，如图2所示：

，

，

∴的长度为 或 ；

（3）当和在对称轴两侧时，

此时，抛物线在时，取得最小值，

当和关于对称时，最大值相等且为定值，即时，y的值为最大值，

此时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，

此时，

即，函数的最大值与最小值的差是一个定值．

【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，注意分类讨论；解题的关键是数形结合思想的应用．

24．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到；

（2）先证明，再由，可证明，则；

（3）由相似三角形的性质得到，即可证明，则．

【详解】解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴；

（3）由（2）得：，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．