2023年河南省新乡市中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省新乡市中考三模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省新乡市中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值是（    ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体是阶梯教室内的移动台阶，则其俯视图是（    ）
  
A．   B．   C．   D．  
3．央行发布数据，2023年第一季度我国人民币贷款增加万亿元，同比多增万亿元．数据万亿用科学记数法可表示为（    ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．将一副三角尺按如图所示方式摆放，若它们的斜边平行，则的大小为（    ）
  
A．5° B．10° C．12° D．15°
6．对于实数a，b定义运算“※”为，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ）
A．          B．       C．     D．  
8．“南阳，一个值得三顾的地方．”五一期间相关部门对游客到南阳观光的出行方式进行了随机抽样调查，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据以上信息，下列结论错误的是（    ）
  
A．扇形统计图中的a为 B．本次抽样调查的样本容量是5000
C．样本中选择“公共交通”出行的有1000人 D．样本中选择“自驾”出行的有2000人
9．如图，已知点，点在轴负半轴上，若将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
10．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示．
  
则下列说法不正确的是（    ）
A．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为
B．药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效
C．从消毒开始，至少需要学生才能回到教室
D．本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为

二、填空题
11．若二次根式有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可）
12．每年6月6日是全国爱眼日，为增强学生爱眼、护眼意识，修正平时用眼习惯，某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，各班采用抽卡片的方式确定开展的活动类型，将四类活动制成编号分别为A，B，C，D的4张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．若七（1）班从4张卡片中随机抽取1张，记下卡片上的活动类型后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，则这两个班抽到不同活动的概率是__________．

13．如图，菱形中，，点是的中点，点在上．若，则线段的长为_________．
  
14．如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．线段AD与交于点E，则图中的长为_________．（结果保留）
  
15．如图，在中，，点在上，，将线段绕点旋转得线段，连接．当点在直线上方，且到直线的距离为1时，的长为_________．
    

三、解答题
16．（1）计算：．
（2）化简：．
17．教育部在落实“双减”的同时，推动“双增”，即增加学生参加户外活动、体育锻炼、艺术活动、劳动活动的时间和机会，增加学生接受体育和美育教育的时间和机会，确保学生的身心健康．为了解甲、乙两所学校学生（人数基本相同）的身体素质及体育水平，以制订合理的体育锻炼方案，两校组织了一次体育水平测试，从两校中各随机抽取了名学生的测试成绩进行调查分析，统计如下：
甲校：，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
乙校：，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
(1)两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如下表所示，请补全表格．

平均数
中位数
众数
方差
甲校




乙校




(2)请结合表格中的数据，分析哪所学校学生的体育水平更好一些，并说明理由．
(3)为进一步提高两所学校学生的身体素质及体育水平，请你提出一条合理化建议．
18．如图，已知矩形的两边，分别在轴、y轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点，，，直线经过，两点．
  
(1)分别求出直线和反比例函数的表达式．
(2)在第一象限内，请直接写出关于的不等式的解集．
(3)连接，求证：．
19．始建于北宋皇祐元年（公元1049年）的开封铁塔，至今已有近千年的历史，素有“天下第一塔”之称．某校九年级数学实践活动小组计划采用无人机辅助的方法测量铁塔的高度，甲、乙两个小组的方案如下表：
小组
图示
测量方案
测量数据
甲
    
无人机在距地面的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为α，到点D处测得塔尖A的俯角为B，测得飞行距离为m
，
，
，

乙
  
无人机从铁塔正前方C处沿竖直方向飞行至D点，在D处测得塔尖A的仰角为α，测得塔底E处的俯角为β，测得无人机的飞行高度
，
，

(1)任务一：你选择的是_________（填“甲”或“乙”）小组的方案；选择的原因是______________________
(2)任务二：请根据你选择的方案，求出铁塔的高度．（结果精确到参考数据：，）
20．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”“吃粽子”等习俗．某商铺准备在端午节来临之际购进A，B两种粽子进行销售，若购进A种粽子100个，B种粽子200个，需要1800元；若购进A种粽子200个，B种粽子100个，需要2400元．
(1)求购进A，B两种粽子的单价．
(2)端午节前夕，粽子畅销，商铺决定购进这两种粽子共300个，其中A种粽子的数量不超过B种粽子数量的2倍，且每种粽子的进货单价不变，若A种粽子的销售单价在进价基础上提高40%，B种粽子的销售单价在进价基础上提高2元，试问购进A，B两种粽子各多少个时，全部售完后，获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．
  
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？
22．考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
  
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全，连接，过点A作的切线交的延长线于点E，过点C作，交于点D，连接．
①求证：；
②连接，若为的直径，，求的半径．
23．综合与实践
【实践探究】
数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转．
  
(1)【问题发现】
①线段之间的数量关系是______，线段之间的数量关系是_________﹔
②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是________
(2)【类比迁移】
如图2，是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，矩形可绕点O旋转．判断线段之间的数量关系并证明．
(3)【拓展应用】如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请直接写出线段的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握绝对值的性质，求一个负数的相反数是解题的关键．
2．C
【分析】俯视图是指从上面看，所得到的图形．
【详解】解：从上面看是一排三个相邻的长方形，
其形状为：  ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题的关键．
3．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万亿，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．C
【分析】根据合并同类项，二次根式的减法运算，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项正确，符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的减法运算，积的乘方与幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图:可知：

由一副三角板的性质可知：，
∵
∴
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键．
6．A
【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答．
【详解】解：由题意可得：可化为：
∵关于x的方程没有实数根，
∴，解得：，
观察发现仅有D选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式运算、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握当一元二次根的判别式小于零，该方程无实数根是解答本题的关键．
7．B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集．
【详解】解：
解不等式①得：.
解不等式②得：
在数轴上的表示不等式的解集如图，
，  
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据各部分百分比之和等于1可得的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用总人数乘以对应的百分比可得选择“自驾”出行和“公共交通”出行的人数．
【详解】解：A、扇形统计图中的为：，故本选项不符合题意；
B、本次抽样调查的样本容量是：，故本选项不符合题意；
C、样本中选择“公共交通”出行的有（人），故本选项符合题意；
D、样本中选择“自驾”出行的人数为：（人），故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
9．B
【分析】根据勾股定理求得，设，，根据折叠的性质得出，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点，
∴，
∴，
∵将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在轴正半轴上的点处，
∴
∴，
设，，
∴
在中，，
∴
解得：，
∴的坐标为

故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．D
【分析】A．用待定系数法求出函数解析式即可判断A正确，不符合题意；
B．把代入求出x的值即可判断B正确，不符合题意；
C．求出反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式，求出x的值，即判断C正确，不符合题意；
D．把代入反比例函数解析式，求出x的值，即判断D错误，符合题意．
【详解】解：A．设药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，把代入得：
，
解得：，
∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为，故A正确，不符合题意；
B．把代入得：，
解得：，
∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效，故B正确，不符合题意；
C．设消毒药物燃烧结束后，室内空气中的含药量y与时间x的函数解析式为，把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴从消毒开始，至少需要学生才能回到教室，故C正确，不符合题意；
D．把代入得：，
解得：，
，
∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用，求一次函数和反比例函数的解析式，从函数图象中获取信息，解题的关键是数形结合，求出一次函数和反比例函数解析式．
11．（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∴x的值可以是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．
【分析】先画树状图得出所有等可能的结果数以及这两个班抽到不同卡片的结果数，再利用概率公式计算即可解答．
【详解】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中这两个班抽到不同卡片的结果有12种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．/
【分析】连接交于点，连接，证明是等边三角形，进而得出，根据点是的中点，点是的中点，得出，，根据得出，则，即可求解．
【详解】解：连接交于点，连接，
  
四边形是菱形，，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，

点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，

故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．
【分析】由是边长为4的等腰直角三角形，可得，则圆周角；又知圆直径为5，则由弧长公式即可求得的长．
【详解】解：如图，是边长为4的等腰直角三角形，
则，
∴；
∵圆直径为，
∴半径，
∴的长为；
故答案为：．
  
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，勾股定理等知识，充分利用风格的特点是解题的关键．
15．
【分析】根据旋转的性质求出，再利用勾股定理求出长度，最后根据勾股定理求出长度．
【详解】解：过点作于点，则，如图所示，
  
根据旋转的性质可知，．
在中，．
，
．
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
16．（1）；（2）
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，立方根进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解： （1）

；
（2）


．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则，以及负整数指数幂，零指数幂，立方根进行求解．
17．(1)，
(2)甲校的成绩较好
(3)见解析

【分析】（1）将甲校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；
（2）根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【详解】（1）甲校：，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
重新排列后的数据为：，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，
中位数为：，众数为，

平均数
中位数
众数
方差
甲校




乙校




（2）根据表格数据可得甲校的成绩较好，理由如下，
甲校的平均数，中位数，众数均比乙校高，方差比乙校小，
（3）为进一步提高两所学校学生的身体素质及体育水平，建议增加学生参加户外活动、体育锻炼、艺术活动、劳动活动的时间和机会，增加学生接受体育和美育教育的时间和机会．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是仔细地审题，从已知条件中找到进一步解题的信息．
18．(1)
(2)
(3)见解析

【分析】（1）根据矩形的性质，可得，，的横坐标为,设，则，则，根据已知条件得出，则求得的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据的横坐标，结合图象即可求解；
（3）求得直线的解析式，根据一次函数比例系数值相等，即可得证．
【详解】（1）解：∵已知矩形的两边，分别在轴、轴上，点的坐标为，
∴，，的横坐标为,
设，则，则
∵，
∴，
解得：
∴
∵在上，
∴，
∴
直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
（2）根据函数图象可知在第一象限内，关于的不等式的解集为；
（3）∵
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合，矩形的性质，待定系数法求一次函数性质，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)甲；乙方案缺少的长度
(2)55.8米

【分析】（1）根据题中的信息进行分析即可；
（2）延长交于点E，根据等腰直角三角形的性质可得，则，在中，利用锐角三角函数可得，解得，即，即可求得结果．
【详解】（1）解：选择甲方案，因为乙方案缺少的长度，
故答案为：甲；因为乙方案缺少的长度．
（2）解：延长交于点E，由题意可得：，
设，在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
答：铁塔的高度为55.8米．
  
【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．(1)购进A，B两种粽子的单价分别为10元，4元
(2)A，B两种粽子分别购买200个，100个时，利润最大，最大利润为1000元

【分析】（1）设购进A，B两种粽子的单价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设购进A种粽子a个，则B种粽子个，根据不等关系可确定出a的取值范围；设两种粽子全部售完后的利润为W元，列出W关于a的函数关系式，即可求得最大利润．
【详解】（1）解：设购进A，B两种粽子的单价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得：，
答：购进A，B两种粽子的单价分别为10元，4元；
（2）解：设购进A种粽子a个，则B种粽子个，
根据不等关系得：，
解得：；
设两种粽子全部售完后的利润为W元，
由题意得：，
化简得：，其中，
当时，W取得最大值，且最大值为，
此时，
答：当A，B两种粽子分别购买200个，100个时，利润最大，最大利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找到相应的数量关系是解题的关键．
21．(1)
(2)应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽

【分析】（1）根据题意得出，，设，待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据题意，令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为
∴，，
设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
（2）将代入解析式，，
解得：或（舍去），
答：应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①见解析；②7

【分析】（1）分别作出和的垂直平分线交于点O，即为所求作的圆心O；
（2）①连接并延长交于点F，根据切线的性质和平行线的性质得到，然后利用垂径定理得到，最后利用垂直平分线的性质求解即可；
②连接，首先根据题意得到是的中位线，得到，然后得到，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，分别作和的垂直平分线交于点O，
  
∴点O即为所求作的圆心O；
（2）如图所示，连接并延长交于点F，
  
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴所在直线是的垂直平分线，
∴；
②如图所示，连接，
  
∵为的直径，
∴点O是的中点，，
∵点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∵，
∴，
即，
∴解得（舍去），，
∴的半径为7．
【点睛】此题考查了尺规作圆的圆心，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．(1)①；；②
(2)，证明见解析
(3)的长为或

【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；
②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得
；
（3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形，

∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；
②在中，，
而，，
∴
故答案为：；
（2）解：三线段间的数量关系为：；
证明如下：
∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O，
∴，， ，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：①当点E在边上时；
由（2）的结论知：；
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
以上数据代入中得：，
解得：，
即；
②当点E在延长线上时，如图；
把补成矩形，延长交延长线于点P，连接，
与（2）证法相同，同样有，
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
以上数据代入中得：，
解得：，
即；
综上，的长为或．
  
【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键．