2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知是虚数单位，复数的虚部为　　
A． B． C． D．
2．（5分）展开式中的系数为　　
A． B． C．10 D．15
3．（5分）环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择、、、、、中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为　　

A． B． C． D．
4．（5分）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为　　
A．600种 B．504种 C．480种 D．384种
5．（5分）我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（5分）函数的图象不可能是下列图中的　　
A． B．
C． D．
8．（5分）定义在上的函数，有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）下列命题正确的有　　
A．若，互为共轭复数，则为实数
B．若为复数，
C．若复数满足，则
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10．（5分）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
11．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是　　
A．若有唯一解，则
B．函数有3个零点
C．的解集为，，
D．，，都有
12．（5分）对于函数，下列说法正确的是　　
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．（2）（3）
D．若在上恒成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知随机变量，且，则　　．
14．（5分）若，则　　．
15．（5分）已知函数，，若直线函数，的图象均相切，则的值为　　．
16．（5分）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数．已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数，为虚数单位），满足____．
（1）若，求复数以及；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
18．（12分）现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求，两个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？
（注：请列出解题过程，结果保留数字）
19．（12分）已知，且．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
20．（12分）某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．
（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；
（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分的概率分布，并求数学期望．
21．（12分）已知函数，其中为正实数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，若存在，，使得不等式成立，求的取值范围．
22．（12分）已知函数，且函数与有相同的极值点．
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．

2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知是虚数单位，复数的虚部为　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：，
复数的虚部为．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）展开式中的系数为　　
A． B． C．10 D．15
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．
【解答】解：展开式的通项公式为，
分别令，，可得，3，
故展开式中的系数为，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
3．（5分）环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择、、、、、中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为　　

A． B． C． D．
【分析】根据条件判断只能从，两点开始驶入，其它的点驶入会有重复路线，利用概率公式求出概率．
【解答】解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择，两点开始驶入，
若从点驶入，则有或或或，
同理点也是如图，若选择除，外的其它点开始驶入，则会有重复路线，
所以6个点中有2个点，
故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．
故选：．
【点评】本题考查了古典概型的求解，解题的关键是读懂题意，考查了古典概型的概率公式的应用，属于中档题．
4．（5分）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为　　
A．600种 B．504种 C．480种 D．384种
【分析】根据题意，按课程“射”是否排在第五周分2种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有种安排方法，
①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，
此时有种安排方法，
则有种安排方法；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
5．（5分）我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数，至多含有一颗上珠包含的基本事件有，由此能求出至多含有一颗上珠的概率．
【解答】解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，
梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，
从一档的7颗算珠中任取3颗，
基本事件总数，
至多含有一颗上珠包含的基本事件有，
至多含有一颗上珠的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等即可得出．
【解答】解：设，，
则，，
，
，
解得，，
，1，．
因此满足条件的复数共有4个．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，属于基础题．
7．（5分）函数的图象不可能是下列图中的　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，分、和三种情况讨论函数的图象，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，对于，
当时，，为二次函数，开口向上，其对称轴为，与轴交于，选项符合；
当时，，有一正一负的两根，先减再增最后为减函数，与轴交于，选项符合，
当时，，则有△，
当，即时，无解，即恒成立，在上为增函数，与轴交于，选项符合，
当，即时，有两个负根，在上，先增再减最后增，选项不符合；
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题．
8．（5分）定义在上的函数，有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据条件可知，令，结合条件可得，同理令，结合条件可得，进一步得到正确选项．
【解答】解：，即，
定义在上，，
令，则，
则函数在上单调递增，
由（2）（1）得，，即，
同理令，，
则函数在上单调递减，
由（2）（1），得，即，
．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）下列命题正确的有　　
A．若，互为共轭复数，则为实数
B．若为复数，
C．若复数满足，则
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
【分析】利用复数的运算性质，轨迹方程，复数的运算法则，判断选项的正误即可．
【解答】解：若，互为共轭复数，设，，则，故是实数，即为实数，所以正确；
若为复数，，可能是复数，所以两者不一定相等，所以不正确；
复数满足，则，所以正确；
复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为到与距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以正确．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，复数的运算法则的应用，复数的模的求法，是中档题．
10．（5分）已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是　　
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：的二项展开式中二项式系数之和为，．
令，可得二项展开式中各项系数之和为，故正确；
根据展开的通项公式为，可得第四项的二项式系数最大，
该项为，故正确；
对于通项公式，令的幂指数等于零，即令，求得，
可得展开式第四项为常数项，故错误；
由于第项的系数为，检验可得，当时，该项的系数取得最大值，
该项为，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
11．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是　　
A．若有唯一解，则
B．函数有3个零点
C．的解集为，，
D．，，都有
【分析】函数是定义在上的奇函数，当时，，设时，，可得，时，．当时，，，可得时，函数取得极小值，进而判断出结论．
【解答】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
设时，，，，
时，．因此函数有三个零点：0，．
当时，，，可得时，函数取得极小值，
可得其图象：
时的解集为：，，．
，，都有．
因此都正确．
故选：．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）对于函数，下列说法正确的是　　
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．（2）（3）
D．若在上恒成立，则
【分析】根据函数极值与函数导数的关系，逐项进行排除，即可得出正确结论．
【解答】解：函数，定义域为，
因为，
令，则有，
；；
即得函数在上单调递增，在上单调递减；
所以函数在处取得极大值为，（e），故正确；
又因为当时，；当时，；
据此作出函数图像如下：

故可得函数只有一个零点，故错误；
由上可得，因为，所以（3），
又因为（2），（3），即得（2）（3），
又因为，（2），即得（2）
综上可得，（2）（3），故正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则有，
令，
；，
所以函数在上单调递增，在，上单调递减，
即得，故得，即正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数极值的定义，以及函数导数的综合使用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知随机变量，且，则　0.3　．
【分析】根据正态分布曲线的对称性，可得，再结合总面积为1，列方程组，可求出的值，问题可解．
【解答】解：由正态分布的性质可知：，曲线关于对称，
故，结合正态分布的性质可知：
，即为，结合解得：．
故．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布的性质和方程思想的应用．属于基础题．
14．（5分）若，则　7　．
【分析】利用排列数公式以及组合数公式化简求解即可．
【解答】解：，
可得，
解得．
故答案为：7．
【点评】本题考查排列数公式以及组合数公式的应用，是基础题．
15．（5分）已知函数，，若直线函数，的图象均相切，则的值为　　．
【分析】设直线与函数的图象相切的切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求得切点和切线的方程，联立，运用判别式为0，解方程可得．
【解答】解：设直线与函数的图象相切的切点为，
由，可得，即，切点为，
则，切线的方程为，
联立，可得，
由题意可得△，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
16．（5分）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数．已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为　，　．
【分析】依题意，可得恒成立，分离可得恒成立，利用基本不等式可求得的最小值为8，从而可得答案．
【解答】解：，
，
在区间上为“凸函数”，
恒成立，
恒成立，
令，
可化为，
由基本不等式得，（当且仅当时取“” ，
的最小值为8，
，
故答案为：，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法与基本不等式法的应用，体现了转化思想的运用，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数，为虚数单位），满足____．
（1）若，求复数以及；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值．
【分析】（1）选条件①，根据求出的值；
选条件②，求出在复平面上表示点的坐标，代入直线方程求出的值；
选条件③，计算，根据求出的值；
再计算和的值；
（2）根据是实系数一元二次方程的根，也是方程的根，利用根与系数的关系求出的值．
【解答】解：（1）选条件①，
因为，，所以，解得；
又，所以；
选条件②，
复平面上表示的点在直线上，因为，，，
所以，
在复平面上表示的点为，，
依题意可知，解得；
选条件③，，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
；
（2）是实系数一元二次方程的根，
则也是该方程的根，
所以实数．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
18．（12分）现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求，两个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？
（注：请列出解题过程，结果保留数字）
【分析】（1）相邻问题，用捆绑内部调整法．
（2）不相邻问题，用插空法．
（3）用所有的方法减去没有白球的方法，即为所求．
（5）先分组，再排列．
【解答】解：（1）编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球，
将这些小球排成一排，且要求，两个球相邻，则把、个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，
方法有种．
（2）将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，各不相邻，
则先把安在中间位置，从的2侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种．
（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为种．
（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．
若按311分配，方法有种，若按221分配，方法有种．
综上可得，方法共有种．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．
19．（12分）已知，且．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【分析】（1）由题意利用通项公式，求得和的值．
（2）分别令，，得到2个等式，再把这2个等式相加除以2，可得要求式子的值．
（3）对于所给的等式，两边对求导数，再令，可得结论．
【解答】解：（1），且，，．
（2）令，可得，
令，可得，
再令，可得，
两式相加除以2，可得．，
，
（3）对于，两边对求导数，
可得，再令，可得．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
20．（12分）某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．
（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；
（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分的概率分布，并求数学期望．
【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率计算即可得解；
（2）列出决赛中积分的所有可能的取值，分别计算概率，列出分布列计算期望即可．
【解答】解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件，
学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，
则（A）．
（2）甲的积分的可能的取值为80分，50分，20分，分，分，
则，
，
，
，
，
所以的概率分布列为：

80
50
20








所以数学期望．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数，其中为正实数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，若存在，，使得不等式成立，求的取值范围．
【分析】（1）通过求导，并通过讨论的取值从而判定函数的单调性；（2）根据存在性成立条件，使用讨论法进行求解，即可．
【解答】解：（1）根据题意，，
，
，或，
所以①当时，，则有，或；，
此时可得，在，上单调递增，在上单调递减．
②当时，，则有，或；，
此时可得，在，，上单调递增，在上单调递减．
③当时，恒有，此时函数在上单调递增．
综上可得，①当时，在，上单调递增，在上单调递减．
②当时，在，，上单调递增，在上单调递减．
③当时，函数在上单调递增．
（2）根据题意，由（1）可得，，
若存在，，使得不等式成立，则需使，
，
由（1）可知，①当时，，则有，或；，
此时可得，在，上单调递增，在上单调递减，
即得在，上单调递增，故有；
②当时，，则有，或；，
此时可得，在，，上单调递增，在上单调递减．
当时，即时，在，上单调递减，则有，不合题意；
当时，即时，在，上单调递减，在，则有，
此时令，则，
即得此时在上单调递增，所以（1）恒成立，即恒成立，不合题意；
综上可得，．
【点评】本题主要考查函数导数的综合使用，以及存在性成立条件的使用，同时考查学生计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数，且函数与有相同的极值点．
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．
【分析】（1）求出的极值点为，由此可得（1），进而得解；
（2）先求出函数在时的值域，然后分时需满足及时需满足两种情形，讨论得解；
（3）先证，再证，综合即可得证．
【解答】解：（1）令，解得，
易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，
令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，
故实数的值为1；
（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
又，且，
当时，（1），（3），
①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，
又，
此时的取值范围为；
②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，
又，
此时的取值范围为，
综上，实数的取值范围为，，；
（3）证明：所证不等式即为，
下证：，即证，
设，则，，
易知函数在上单调递减，且，
故存在唯一的，使得，即，，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
，
在单调递减，
又时，，故，即；
再证：，即证在上恒成立，
设，，
在单调递增，则，故，
综上，，即得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，考查运算求解能力以及逻辑推理能力，解决第三问的关键是找出中间函数，属于较难题目．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 15:57:47；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394