2020-2021学年江苏省昆山市、太仓市、苏州园三高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省昆山市、太仓市、苏州园三高二（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省昆山市、太仓市、苏州园三高二（下）期中数学试卷
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）2021年江苏省实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有　　
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
2．（5分）在的展开式中，若常数项为21，则　　
A． B．2 C．3 D．4
3．（5分）已知函数，则曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知函数在处取得极大值，则的值为　　
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
5．（5分）一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从点处进，点处出，沿图中线路游．．三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点外）的不同游览线路有　　

A．6种 B．8种 C．12种 D．48种
6．（5分）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是　　

A．（a）（a）
B．（a）（a）
C．（a）（a）
D．（a）（a）
7．（5分）展开式中项的系数为　　
A．120 B．240 C．360 D．480
8．（5分）已知函数在，上有两个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）直线能作为下列函数图象的切线的有　　
A． B． C． D．
10．（5分）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
11．（5分）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是　　
A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数服从二项分布
B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布
C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为
D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
12．（5分）已知函数，是其导函数，恒有，则　　
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．不要写出解答过程，请将答案填写在题卡相应的位置上.
13．（5分）已知曲线的切线为，则一组满足条件的，的取值为　　．
14．（5分）用，，三个不同的元件连接成如图系统，每个元件是否正常工作相互独立，已知，，正常工作的概率均为，则系统正常工作的概率为　　．

15．（5分）若，则　　．
16．（5分）正方体六个面上分别标有，，，，，六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有 　　种．（用数字作答）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为，求随机变量的分布列．
18．（12分）将四个编号为1，2，3，4的相同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．（用数字作答）
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法；
（2）若每个盒子放一球，求怡有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数．
19．（12分）已知．
（1）若，求；
（2）若，求除以5的余数．
20．（12分）已知函数．
（1）当，，求的最大值与最小值；
（2）对于，，若，证明：．
21．（12分）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测．
（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为，求的概率分布列；
（2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为，求的概率分布列．
22．（12分）函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在，恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省昆山市、太仓市、苏州园三高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）2021年江苏省实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有　　
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【分析】根据题意，分2步进行分析：先分析在物理、历史两科中选择1科的选法数目，再分析从政治、地理、化学、生物四科中选择2科的选法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
先在物理、历史两科中选择1科，有2种选法，
再从政治、地理、化学、生物四科中选择2科，有种选法，
则有种选法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
2．（5分）在的展开式中，若常数项为21，则　　
A． B．2 C．3 D．4
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，可得展开式中的常数项，可得的值．
【解答】解：的通项公式为，
令，，
常数项为：，
，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
3．（5分）已知函数，则曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得所求切线的方程．
【解答】解：函数，
即的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为（2），
则切线的方程为，
即为．
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求得导数是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）已知函数在处取得极大值，则的值为　　
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
【分析】函数，，根据函数在处取得极大值，可得（1），解得并且验证即可得出．
【解答】解：函数，
，
函数在处取得极大值，
（1），解得或3，
时，，可得是函数的极小值点，舍去；
时，，可得是函数的极大值点．
则．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从点处进，点处出，沿图中线路游．．三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点外）的不同游览线路有　　

A．6种 B．8种 C．12种 D．48种
【分析】根据题意，依次分析参观每个景点时有几个路口可选，即可得其选法的数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从点处进入后，参观第一个景点时，有6个路口可以选择，从中任选一个，有种选法，
参观完第一个景点，要参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有种选法，
同理：参观完第二个景点，要参观第三个景点时，有2个路口可以选择，从中任选一个，有种选法，
则共有种结果，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
6．（5分）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是　　

A．（a）（a）
B．（a）（a）
C．（a）（a）
D．（a）（a）
【分析】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断．
【解答】解：因为（a），分别是函数在，处的切线的斜率，
由图可知（a），
又（a），．
所以（a）（a）．
故选：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，变化率的概念，属于基础题．
7．（5分）展开式中项的系数为　　
A．120 B．240 C．360 D．480
【分析】据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得的系数．
【解答】解：表示5个因式的乘积，故它的展开式中，
含的项是由其中一个因式取，其中三个因式取，剩下的一个因式取得到的，
故的系数为：．
故选：．
【点评】本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数在，上有两个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【分析】令可得，设，依题意，函数与函数的图象在，上有两个交点，作出函数图象，由图象观察即可得解．
【解答】解：显然，令，可得，设，
作出函数与函数的图象如下，

要使函数在，上有两个零点，只需函数与函数的图象在，上有两个交点，
由图象可知，函数的图象应介于红色直线与黑色直线之间（包括黑色直线），而黑色直线的斜率为，
红色直线为函数在处的切线，由得，红色直线的斜率为，
，即，
故选：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（5分）直线能作为下列函数图象的切线的有　　
A． B． C． D．
【分析】分别求得的导数，求得切线的斜率，解方程，可判断正确结论．
【解答】解：因为的导数为，可得切线的斜率小于0，故直线不能作为该函数图象的切线；
由的导数为，有解，可得直线能作为该函数图象的切线；
由的导数为，无解，可得直线不能作为该函数图象的切线；
由的导数为，有解，可得直线能作为该函数图象的切线．
故选：．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．（5分）对于，，，关于下列排列组合数，结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利用排列、组合数公式及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：由题意利用组合数的性质，可得正确．
，，故不对；
，
，故正确，
故选：．
【点评】本题考查排列、组合数公式的性质，涉及组合数公式的应用，属于中档题．
11．（5分）一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是　　
A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数服从二项分布
B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布
C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为
D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用判断、、、的结论．
【解答】解：一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，
对于：取出的白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故正确；
对于：一次性地摸取4个球，则取出的球中白球的个数的分布列，符合超几何分布，故正确；
对于：一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故错误；
对于：取出的白球数为3和4，故，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数，是其导函数，恒有，则　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，令，，对其求导分析可得，即函数为增函数，结合选项分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令，，则其导数，
又，恒有，即，
则有，即函数为增函数，
又由，则有，即，即，故正确；
又由，则有，即，即，故错误；
又由，则有（1），即（1），即（1），故错误；
又由，则有（1），即（1），即（1），故正确．
故选：．
【点评】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数，并借助导数分析其单调性，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．不要写出解答过程，请将答案填写在题卡相应的位置上.
13．（5分）已知曲线的切线为，则一组满足条件的，的取值为　，　．
【分析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，由已知切线方程，可得，的关系式，即可得到满足条件的一组值．
【解答】解：的导数为，
设切点为，，可得切线的斜率为，
则，，
化为，
即有，
可取，．
故答案为：，．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
14．（5分）用，，三个不同的元件连接成如图系统，每个元件是否正常工作相互独立，已知，，正常工作的概率均为，则系统正常工作的概率为　　．

【分析】系统正常工作的情况是正常工作，同时，中至少一个能正常工作，由此利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式能求出系统正常工作的概率．
【解答】解：系统正常工作的情况是正常工作，同时，中至少一个能正常工作，
，，正常工作的概率均为，
系统正常工作的概率为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，涉及相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
15．（5分）若，则　　．
【分析】将已知等式转化为，利用二项展开式的通项公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式定理，考查了转化思想与运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）正方体六个面上分别标有，，，，，六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有 　780　种．（用数字作答）
【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用5种颜色涂色，分别求解涂色种数，最后相加得到结果．
【解答】解：首先涂法可分三类：用3种颜色 和 用4种颜色，用5种颜色涂色，正方体有3组相对面，
用5色涂色时，有种；
用4色时，有种；
用3色涂色时，有种；
总情况数．
故答案为：780．
【点评】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，本题解题的关键是利用计数原理，不重不漏的表示出所有符合条件的事件数，本题是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为，求随机变量的分布列．
【分析】的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．
【解答】解：的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
随机变量的分布列为：

2
3
4
5





【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的运算，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
18．（12分）将四个编号为1，2，3，4的相同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中．（用数字作答）
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法；
（2）若每个盒子放一球，求怡有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数．
【分析】（1）把四个编号为1，2，3，4的相同小球全排列即可，
（2）先确定一个1个盒子的号码与小球的号码相同，有4种，再确定，剩下的3个小球只有2种放法，根据分步计数原理可得．
（3）恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列．
【解答】解：（1）若每个盒子放一个小球，把四个编号为1，2，3，4的相同小球全排列，故有种；
（2）假设1号小球放在1号盒子内，先放2号小球，若2号小球放在3号盒子里，则3号小球只能放在4号盒子里，4号小球只能放在2号盒子里，有1种方法，
若2号小球放在4号盒子里，则3号小球只能放在2号盒子里，4号小球只能放在3号盒子里，有1种方法，
故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种种；
（3）恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，
且小球数只能是1、1、2．
先从4个小球中任选2个放在一起，有种方法，
然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有种放法．
由分步计数原理知共有种不同的放法．
【点评】本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题．
19．（12分）已知．
（1）若，求；
（2）若，求除以5的余数．
【分析】（1）利用倒序相加以及二项式定理的性质即可求解．
（2）将构造为，对其展开即可求出结果．
【解答】解：（1）因为，
又，
所以，
所以，
可得，
所以．
（2）因为，
所以，
除以5余数为1，所以除以5的余数为1．
【点评】本题考查了二项式定理的综合应用，主要涉及到构造法，属于难题．
20．（12分）已知函数．
（1）当，，求的最大值与最小值；
（2）对于，，若，证明：．
【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值即可；
（2）设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（1），，，
，，的变化如下：

0







0



0
递减

递增

故的极小值是，，，
故的最大值是，最小值是．
（2）证明：设，，
由（1）知，在递减，又，
在上恒成立，
故在上恒成立，故在递减，
，，即，
成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．
21．（12分）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测．
（1）方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为，求的概率分布列；
（2）方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为，求的概率分布列．
【分析】（1）方案一：4例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，由此能求出的概率分布列．
（2）方案一：4例平均分成两组化验，每一组两个样本检测，若呈阴性，则检验次数为1，概率为，若呈阳性，则检验次数为3，概率为，则方案二的检测次数的可能取值为2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
【解答】解：（1）方案一：4例逐个化验，检测结果呈阳性的人数，
，
，
，
，
，
的概率分布列为：

0
1
2
3
4






（2）方案一：4例平均分成两组化验，每一组两个样本检测，
若呈阴性，则检验次数为1，概率为，
若呈阳性，则检验次数为3，概率为，
则方案二的检测次数的可能取值为2，4，6，
，
，
，
的分布列为：

2
4
6




【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的运算，涉及到二项分布、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
22．（12分）函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为在，恒成立，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：（1），
当时，，在递增，
当时，令，解得：，令，解得：，
故在单调递增，在，单调递减；
（2）在，恒成立，
在，恒成立，
设，则，
设，则，
故在，上单调递增，又，（1），
故存在唯一，，使得，
故当时，，当，时，，
故当时，，当，时，，
故函数在递增，在，递减，在，递增，
故，（2），
由得，且，
故，
，，，，
（2），
当，时，（2），
故，解得：，
故的取值范围是，．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 15:57:59；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394