2020-2021学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1．（5分）若，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知等差数列中，，则　　

A．7 B．8 C．14 D．16

3．（5分）已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　

A． B．，， C． D．

4．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为　　

A． B．3 C． D．

5．（5分）已知等比数列的前项和，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于，若，则双曲线的渐近线为　　

A． B． C． D．

7．（5分）数列，1，2，3，5，8，13，21，34，，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列的前项和为，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，，为其共同的左、右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9．（5分）下列有关说法正确的是　　

A．当时， 

B．当时， 

C．当时，的最小值为 

D．当，时，恒成立

10．（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且、、三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，则　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为　　

A．数列是等差数列 

B．数列是等比数列 

C．数列的通项公式为 

D．

12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一．给出下列四个结论，其中正确的选项是　　

A．曲线关于坐标原点对称 

B．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 

C．曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1 

D．曲线所围成的区域的面积小于4

三、填空题（每小题5分，共16分）

13．（5分）不等式的解集为　　．

14．（5分）在等比数列中，，，则的值是　　．

15．（5分）已知为抛物线上异于原点的点．轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点．则　　．

16．（5分）已知关于的不等式的解集中的整数解恰好有三个，则实数的取值范围是　　．

四、解答题（共70分）

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．

设等差数列的前项和为，是等比数列，____，，，，是否存在，使得且？

18．（12分）已知，．（其中实数．

（1）分别求出，中关于的不等式的解集和；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

19．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．

（1）求双曲线和抛物线的标准方程；

（2）过焦点做一条直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，求线段的长度．

20．（12分）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平，某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工费用24万元，从第二年期，包括人工、维修等费用每年所需费用比前一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．

（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？

（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？

21．（12分）已知数列的首项为，设其前项和为，且对有，．

（1）设，求证：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．

22．（12分）已知椭圆的的焦距为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与交于，两点，且直线与直线的斜率之和为0，求的值．

2020-2021学年江苏省徐州一中高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1．（5分）若，，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据条件取，，，可排除，，，然后由不等式的基本性质直接判断正确．

【解答】解：，，取，，，可排除，，．

由不等式的基本性质知，，故正确．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

2．（5分）已知等差数列中，，则　　

A．7 B．8 C．14 D．16

【分析】由等差数列通项公式得，由此能求出的值．

【解答】解：等差数列中，，

，

解得．

故选：．

【点评】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．（5分）已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　

A． B．，， C． D．

【分析】利用椭圆的焦点坐标所在的直线，列出不等式组求解即可．

【解答】解：方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，

可得：，

解得．

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．

4．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为　　

A． B．3 C． D．

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：因为正实数，满足，

所以，

则，

当且仅当且即，时取等号，

故选：．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

5．（5分）已知等比数列的前项和，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用递推关系与等比数列的定义可得，，再利用等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：，，，，

解得，，，

数列是等比数列，，解得．

公比，，．

则．

故选：．

【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（5分）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于，若，则双曲线的渐近线为　　

A． B． C． D．

【分析】由，知为的中点，令右焦点为，则为的中点，则，运用双曲线的定义可得，在中，，可得，的关系，再由，，的关系，可得，的关系，进而得到渐近线方程．

【解答】解：由，

可得为的中点，令右焦点为，

为的中点，

则，

由为切点，

可得，

即有，

由双曲线的定义可得，

即，

在中，，

即，即，

，

则双曲线的渐近线方程为，即，

故选：．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的中位线定理，勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

7．（5分）数列，1，2，3，5，8，13，21，34，，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列的前项和为，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用迭代法可得，可得，代值计算可得结果．

【解答】解：数列为：1，1，2，3，5，，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．

则：

，

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．

8．（5分）设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，，为其共同的左、右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】依题意有，即，写出，再根据，求出的范围，即可求出．

【解答】解：依题意有，即，

，

，

解得，

，

，

，

，

故选：．

【点评】本题主要考查圆锥曲线几何性质、运算能力与逻辑思维能力，考查数学运算的核心素养，属于中档题．

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9．（5分）下列有关说法正确的是　　

A．当时， 

B．当时， 

C．当时，的最小值为 

D．当，时，恒成立

【分析】结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等分别检验各选项，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：当时，显然不成立，

当时，由基本不等式可得，，成立，

由可得，而，没有最小值，不成立，

当，时，，

当且仅当且即时取等号，成立．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的简单应用，要注意一正二定三相等条件的检验．

10．（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且、、三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意可知：，，从而求出，的值，进而求出的值，推出结果．

【解答】解：设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则由题意可知：，，可得，所以正确；，所以正确；

可得，．

则．

则．所以正确；

故选：．

【点评】本题的关键是正确理解题意，从而寻找几何量之间的关系，是基础题．

11．（5分）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为　　

A．数列是等差数列 

B．数列是等比数列 

C．数列的通项公式为 

D．

【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．

【解答】解：由即为，

可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，

则，即，

又，可得，

故错误，，，正确．

故选：．

【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

12．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一．给出下列四个结论，其中正确的选项是　　

A．曲线关于坐标原点对称 

B．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 

C．曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1 

D．曲线所围成的区域的面积小于4

【分析】将换成，换成，方程不变，所以图形关于对称；再结合基本不等式就可求解．

【解答】解：将换成，换成，方程不变，所以图形关于对称；故正确；

，要使得，均为整数，则，只能为0，1，，则可得整点有8个：，，，故错误；

因为，曲线上任意一点到原点的距离的最小值为1，故正确；

令，可得，

记函数，可得△，所以函数有两个零点，

又因为，（1），故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上横坐标时；

同理时，；

即第一象限部分图象应在，与坐标轴围成的正方形外部，根据图象的对称性可得面积应大于4，故错误．

故选：．

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，也考查了新定义的应用问题，是中档题．

三、填空题（每小题5分，共16分）

13．（5分）不等式的解集为　　．

【分析】利用移项，通分，转化不等式求解即可．

【解答】解：由可得，，

即，

解可得，，即不等式的解集为，．

故答案为：，．

【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查

14．（5分）在等比数列中，，，则的值是　5　．

【分析】由是等比数列，，利用等比数列的通项公式知，再由完全平方和公式知，再由，能求出的值．

【解答】解：是等比数列，且，，

，即．

再由，，为公比，可得，

故答案为：5．

【点评】本题考查等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用，属于中档题．

15．（5分）已知为抛物线上异于原点的点．轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点．则　　．

【分析】如图，设，，则，，中点，．，可得直线的方程为：

令，可得，即可求解．

【解答】解：如图，设，，则，，中点，．，

直线的方程为：

令，可得

则，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．属于中档题．

16．（5分）已知关于的不等式的解集中的整数解恰好有三个，则实数的取值范围是　　．

【分析】由题意，原不等式转化为，，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到的不等式，解不等式可得的范围．

【解答】解：由题知， 则

，

，

，

，

当时，不等式为，解集为，不是恰好有三个整数解．

当时，不等式为含的一元二次不等式，此时

若时，即时，不等式的解为不是恰好有三个整数解．

若时，即 且时，不等式的解集为

又，如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3．

解得：．

若时，即时，不等式的解集为或不会恰好有三个整数解．

综上所述，的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．属于中档题．

四、解答题（共70分）

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．

设等差数列的前项和为，是等比数列，____，，，，是否存在，使得且？

【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前项和公式，先求出，等比数列的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列的通项公式，并判断是否存在符合条件的．

【解答】解：因为在等比数列中，，，所以其公比，

从而，从而．

若存在，使得，即，从而；

同理，若使，即，从而．

若选①：由，得，所以，

当时满足，且成立；

若选②：由，且，所以数列为递减数列，

故不存在，且；

若选③：由，解得，从而，

所以当时，能使，成立．

【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和前项和公式，以及等差数列的性质，是中档题．

18．（12分）已知，．（其中实数．

（1）分别求出，中关于的不等式的解集和；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）分别求解一元二次不等式即可得到集合与；

（2）由是的必要不充分条件，得，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．

【解答】解：（1）由，得，；

由，

，，得，；

（2）是的必要不充分条件，，

，且等号不同时取，

解得，

又，．

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．

19．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上；抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．

（1）求双曲线和抛物线的标准方程；

（2）过焦点做一条直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，求线段的长度．

【分析】（1）由双曲线的渐近线方程可得，的关系，将点代入双曲线的方程，解得，，可得所求双曲线的方程；求得的坐标，解得，可得抛物线的方程；

（2）求得直线的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

【解答】解：（1）双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，

可得，，解得，，

则双曲线的方程为；

抛物线的交点与双曲线的右焦点，重合，

可得，即，

抛物线的方程为；

（2）由，，且的斜率为，则，

代入抛物线方程，可得，

设，的横坐标分别为，，

则，

可得．

【点评】本题考查双曲线和抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

20．（12分）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平，某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工费用24万元，从第二年期，包括人工、维修等费用每年所需费用比前一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元．

（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？

（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？

【分析】（1）由题意结合等差数列的前项和公式，得到从今年起使用年后该设备的总盈利额为关于的关系式，利用二次函数求最值；

（2）写出年平均利润，再由基本不等式求最值．

【解答】解：（1）设从今年起使用年后该设备的总盈利额为万元．

依题意，得，

由二次函数的性质可得，当时，有最大值为204万元，

引进该生产线10年后总盈利最大，最大是204万元；

（2）年平均盈利为

万元，

当且仅当，即时，年平均利润最大．

故引进该生产线7年后平均盈利最多，最多是24万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查了等差数列的前项和公式，训练了利用基本不等式及二次函数求最值，考查运算求解能力，属于中档题．

21．（12分）已知数列的首项为，设其前项和为，且对有，．

（1）设，求证：数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列为等差数列．

（2）利用（1）的结论，进一步利用叠乘法的应用求出数列的通项公式．

（3）利用（2）的结论，进一步利用裂项相消法的应用和等差中项的应用求出结果．

【解答】解：（1）证明：因为①，，

所以时，，得．

当时，②，

①②得，

因为，所以．

当时，有．

所以数列为等差数列．

（2）因为，公差，整理得．

所以，得．

所以，

得，即．

（3）．

假设存在正整数，，使，，成等差数列，

所以，即，

化简得．

因为，，所以时，，（舍去）；

时，，；

时，，．

综上，存在，或，．

【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的求法及应用，叠乘法的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

22．（12分）已知椭圆的的焦距为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若不经过点的直线与交于，两点，且直线与直线的斜率之和为0，求的值．

【分析】（1）利用焦距即可求出的值，再把已知点代入椭圆方程，结合，，的关系即可求解；

（2）设出，的坐标，联立直线与椭圆方程，写出根与系数的关系，利用直线与的斜率和为0建立方程，代入根与系数的关系，整理方程即可求解．

【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，

所以，且，又，

所以解得，，

所以椭圆的方程为；

（2）设点，，，，

则联立方程，消去可得①

则，，

因为，即，即，

即②

代入根与系数的关系可得：，

整理可得，所以或，

若，可得方程①的一个根为2，不合题意，

所以直线的斜率．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置的关系的应用，涉及到直线的斜率问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．

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日期：2021/2/24 20:23:38；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394