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2023年湖北省武汉中考数学试卷（含解析）
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这是一份2023年湖北省武汉中考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数3的相反数是( )
A. 3 B. 13 C. −13 D. −3
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
4. 计算(2a2)3的结果是( )
A. 2a6 B. 6a5 C. 8a5 D. 8a6
5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A. B. C. D.
6. 关于反比例函数y=3x，下列结论正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D. 图象经过点(a,a+2)，则a=1
7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 112
8. 已知x2−x−1=0，计算(2x+1−1x)÷x2−xx2+2x+1的值是( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
9. 如图，在四边形ABCD中，AB // CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若ABCD=13，则sin C的值是( )
A. 23 B. 53 C. 34 D. 74
10. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L−1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A(0,30)，B(20,10)，O(0,0)，则△ABO内部的格点个数是( )
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个小于4的正无理数是 ．
12. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿．参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是 (备注：1亿=100000000)．
13. 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
14. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
15. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，(n,0)三点，且n≥3.下列四个结论：
①b<0；
②4ac−b2<4a；
③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0
16. 如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG=m，EH=n，用含m，n的式子表示GH的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组2x−4<2, ①3x+2≥x. ②请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是________．
18. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD // BC，∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
(1)求证：∠E=∠ECD；
(2)若∠E=60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
19. (本小题8.0分)
某校为了解学生参加家务劳动的情况， 随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别
时间t/h
频数
A
0
B
0.5
C
1
D
1.5
E
t>2
8
各组劳动时间的扇形统计图
请根据以上信息解答下列问题．
(1)A组数据的众数是 ;
(2)本次调查的样本容量是 ，B组所在扇形的圆心角的大小是 ;
(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
20. (本小题8.0分)
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4，BC= 5.求⊙O的半径．
21. (本小题8.0分)
如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图(1)中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE=45°；
(2)在图(2)中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM=∠MBD．
22. (本小题10.0分)
某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM=125 m，MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23. (本小题10.0分)
问题提出如图(1)，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究
(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展
(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
24. (本小题12.0分)
抛物线C1：y=x2−2x−8交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图(1)，作直线x=t(0
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【解答】
解：实数3的相反数是−3．
故选D．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的定义得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】
解：“国”、“家”，“盛”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形;
“昌”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机事件的定义即可解答．
此题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：A.两枚骰子点数的和为1，是不可能事件;
B.两枚骰子点数的和为6，是随机事件;
C.两枚骰子点数的和大于12，是不可能事件;
D.两枚骰子点数的和小于13，是必然事件．
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
本题考查了积的乘方，利用积的乘方等于乘方的积是解题关键．
【解答】
解：原式=23a2×3=8a6，
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
【解答】
解：从左面看，底层两个小正方形，上层的左边是一个小正方形;
故选A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
利用反比例函数的性质解答．
此题主要考查当k>0时的反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】
解：根据函数的定义可知对于函数y=3x，是一个y关于x的反比例函数，
∵k=3>0，函数图象位于在第一、三象限，故A错误；
∴图象与坐标轴没有公共点，故B错误；
∴根据反比例函数的性质，在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而减小，故C正确；
∵图象经过点(a,a+2)，
∴a(a+2)=3，解得a=−3或a=1，故D错误．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“100米”、“400米”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：用1，2，3，4分别表示“跳高”“跳远”“100米”“400米”．
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：212=16．
故选C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把x2=x+1代入原式即可求出答案．
本题考查分式的混合运算及求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
【解答】
解：(2x+1−1x)÷x2−xx2+2x+1
=[2xx(x+1)−x+1x(x+1)]÷x(x−1)(x+1)2
=x−1x(x+1)⋅(x+1)2x(x−1)
=x+1x2，
∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1，
∴原式=x+1x2=1，
故选A．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
过点C，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理找到DE和CD的关系，再根据sin C=DEDC求解即可．
本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及锐角三角函数等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
【解答】
解：如图所示，过点C，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE
∵AD⊥AB，AB//CD，
∴∠FAD=∠ADC=∠F=90∘，
∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，
∴AB为⊙D的切线，
由题意得BE为⊙D的切线，
∴DE⊥BC，AB=BE，
∵ABCD=13，
∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
则BF=AF−AB=CD−AB=2a，BC=BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2=CD2−CE2=9a2−x2，
在Rt△BFC中，FC2=BC2−BF2=(a+x)2−(2a)2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2−x2=(a+x)2−(2a)2，
解得：x=2a或x=−3a(不合题意，合去)，
∴CE=2a，
∴DE= CD2−CE2= 9a2−4a2= 5a，
∴sinC=DEDC= 5a3a= 53，
故选B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后求出△ABO的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
【解答】
解：如图所示，
∵A(0,30)，B(20,10)，O(0,0)，
∴S△ABO=12×30×20=300，
∵OA上有31个格点，OB上的格点有(2,1)，(4,2)，(6,3)，(8,4)，(10,5)，(12,6)，(14,7)，(16,8)，(18,9)，(20,10)，共10个格点，AB上的格点有(1,29)，(2,28)，(3,27)，(4,26)，(5,25)，(6,24)，(7,23)，(8,22)，(9,21)，(10,20)，(11,19)，(12,18)，(13,17)，(14,16)，(15,15)，(16,14)，(17,13)，(18,12)，(19,11)，共19个格点，
∴边界上的格点个数L=31+10+19=60，
∵S=N+12L−1，
∴300=N+12×60−1，
∴解得N=271．
∴△ABO内部的格点个数是271．
故选C．
11.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据无理数估算的方法求解即可．
本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
【解答】
解：∵ 2< 16，
∴ 2<4．
故答案为 2(答案不唯一)．
12.【答案】9
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：13.6亿用科学记数法表示为1.36×109，故n=9．
故答案为9．
13.【答案】2.7
【解析】
【分析】
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据tan∠COE=CEOE，即可求出OE的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题的关键．
【解答】
解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90∘，∠DOB=45∘，
∴BD=OD=2cm，
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90∘，∠COE=37∘，
∵tan37°=CEOE≈0.75，
∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
故答案为2.7．
14.【答案】250
【解析】
【分析】
设善行者经过x分钟追上，根据两个人所行的路程差为100步，列出方程解答即可．
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
【解答】
解：设善行者经过x分钟追上，
由题意得，100x−60x=100
解得x=2.5
100×2.5=250(步)
即两图象交点P的纵坐标是250．
故答案为250．
15.【答案】②③④
【解析】
【分析】
①根据图象经过(1,1)，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，判断出抛物线的开口向下，a<0，再把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断 ①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出物线的点在点(1,1)的右侧，得出4ac−b24a>1，根据4a<0，即可得出4ac−b2<4a，即可判断 ②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线近的函数值就大，即可得出 ③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出△=(b−1)2−4ac=0，把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn−ca−1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断 ④正确．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，
根据已知条件判断得出抛物线开口向下a<0．
【解答】
解： ①图象经过(1,1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在(1,0)的左侧，
∵(n,0)中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a<0，
把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即b=1−a−c，
∵a<0，c<0，
∴b>0，故 ①错误;
②∵a<0，b>0，c<0，
∴ca>0，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，
∵n≥3，
∴m>0，
∴m+n2>1.5，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点(1,1)的右侧，
∴4ac−b24a>1，
∵4a<0，
∴4ac−b2<4a，故 ②正确;
③∵m>0，
∴当n=3时，m+n2>1.5，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，
∵a<0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t>1，故 ③正确；
④方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b−1)x+c=0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=(b−1)2−4ac=0，
∵把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，
∴(a+c)2−4ac=0，
即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴(a−c)2=0，
∴a−c=0，即a=c，
∵(m,0)，(n,0)在抛物线上，
∴m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴mn=ca=1，
∴n=1m，
∵n≥3，
∴1m≥3，
∴0
故答案为 ② ③ ④．
16.【答案】 m2+n2
【解析】
【分析】
先根据折叠的性质可得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60∘，从而可得S△FHG=S△ADG+SΔCHE，再根据相似三角形的判定可证△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，根据相似三角形的性质可得S△ADGS △FHG=(DGGH)2=m2GH2，S△CHES△FHG=(EHGH)2=n2GH2，然后将两个等式相加即可得．
本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60∘=∠A=∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴S梯形ACDE=S△BDE=S△FDE，
∴S△FHG=S△ADG+SΔCHE，
又∵∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴S△ADGS △FHG=(DGGH)2=m2GH2，S△CHES△FHG=(EHGH)2=n2GH2，
∴S△ADGS△FHG+S△CHES△FHG=m2+n2GH2=S△ADG+S△CHES△FHG=1，
∴GH2=m2+n2，
解得GH= m2+n2，GH=− m2+n2(不符合题意，舍去)，
故答案为 m2+n2．
17.【答案】(1)x<3；
(2)x≥−1；
(3)
(4)−1≤x<3；
【解析】解：(1)2x−4<2，
2x<6
x<3．
故答案为：x<3．
(2)3x+2≥x，
2x≥−2
x≥−1．
故答案为：x≥−1．
(3)把不等式 ①和 ②的解集在数轴上表示出来：
(4)由图可知原不等式组的解集是−1≤x<3．
故答案为：−1≤x<3．
(1)直接解不等式 ①即可解答;
(2)直接解不等式 ①即可解答;
(3)在数轴上表示出 ①、 ②的解集即可;
(4)数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是
解答本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AD // BC，
∴∠EAD=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠EAD=∠D．
∴BE // CD，
∴∠E=∠ECD．
(2)等边三角形．
【解析】(1)因为AD // BC，所以∠EAD=∠B，因为∠B=∠D，所以利用等量代换得到∠EAD=∠D，所以BE // CD，即可得证；
(2)因为CE平分∠BCD，所以∠BCE=∠ECD，又因为∠E=∠ECD，推出∠E=∠BCE，∠E=60°，所以说明△BCE是等边三角形．
本题考查了平行线的判定和性质，以及角平分线的定义和等边三角形的判定．
19.【答案】(1)0.4;
(2)60，72°;
(3)1200×20+15+860=860(人)．
答：该校学生劳动时间超过1h的大约有860人．
【解析】(1)∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是0.4;
故答案为：0.4
(2)由题意可得，本次调查的样本容量是15÷25%=60，
由题意得a=60−5−20−15−8=12，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是360∘×1260=72∘，
故答案为60，72∘．
(3)见答案．
(1)根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可;
(2)利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用360∘乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小;
(3)用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过1h的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等
知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：由圆周角定理得， ∠ACB=12∠AOB ， ∠BAC=12∠BOC ．
∵∠ACB=2∠BAC，
∴∠AOB=2∠BOC．
(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，则 ∠DOB=12∠AOB ，AE=BE．
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠DOB=∠BOC．
∴BD=BC．
∵AB=4， BC= 5，
∴BE=2， DB= 5．
在Rt△BDE中，
∴∠DEB=90°，
∴ DE= BD2−BE2=1 ．
在Rt△BOE中，
∴∠OEB=90°，
∴OB2=(OB−1)2+22，
∴ OB=52 ，即⊙O的半径是 52 ．
【解析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，再根据∠ACB=2∠BAC，即可得出结论;
(2)过点O作半径OD⊥AB于点E，根据垂径定理得出∠DOB=12∠AOB，AE=BE，证明∠DOB=∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根据勾股定理得出DE= BD2−BE2=1，在Rt△BOE中，根据勾股定理得出OB2=(OB−1)2+22，求出OB即可．
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
21.【答案】(1)如图所示，线段BF和点G即为所作;
(2)如图所示，点N与点H即为所作．
【解析】(1)取格点F，连接BF，EF，再取格点P，连接CP交EF于Q，连接BQ，延长交CD于G即可．
(2)取格点F，连接BF、EF，交格线于N，再取格点P，Q，连接PQ交EF于O，连接MO并延长交BD于H即可．
本题考查利用网格作图，轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质.取恰当的格点是解题的关键．
22.【答案】探究发现 ：x=5t， y=−12t2+12t ．
问题解决：
(1)依题意得，−12t2+12t=0．
解得，t1=0(舍)，t2=24，
当t=24时，x=120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+12t+n．
∵125
∴25
当t=25，y′=0时，0=−12×252+12×25+n，解得：n=12.5;
当t=26，y′=0时，0=−12×262+12×26+n，解得：n=26．
∴12.5
【解析】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x=kt，y=ax2+bx，
由题意得：10=2k，4a+2b=2216a+4b=40
解得：k=5，a=−12，b=12，
∴x=5t，y=−12t2+12t．
问题解决：
(1)见解析；(2)见解析．
探究发现：根据待定系数法求解即可;
问题解决：
(1)令二次函数y=0代入函数解析式即可求解;
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+12t+n．
结合25
23.【答案】(1)∠GCF=45∘；
(2)在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180∘，
∠ABC=∠AEF，
∴∠BAE=∠FEC．
∵AE=EF，AN=EC
∴△ANE≌△ECF．
∴∠ANE=∠ECF．
∵AB=BC，
∴BN=BE
∵∠EBN=α，
∴∠BNE=90∘−12α．
∴∠GCF=∠ECF−∠BCD=∠ANE−∠BCD=(90∘+12α)−(180∘−α)=32α−90∘．
(3)过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，
设菱形的边长为3m，
∵DGCG=12，
∴DG=m，CG=2m．
在Rt△ADP中，
∵∠ADC=∠ABC=120∘，
∴∠ADP=60∘，
∴PD=32m，AP=32 3m.
∵α=120∘，由(2)知，∠GCF=32α−90∘=90∘．
∵∠AGP=∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴APCF=PGCG，
∴32 3mCF=52m2m，
∴CF=6 35m，
在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，作BO⊥NE于点O．
由(2)知，△ANE≌△ECF，
∴NE=CF，
∵AB=BC，
∴BN=BE，OE=12EN=3 35m⋅
∵∠ABC=120∘，
∴∠BNE=∠BEN=30∘，
∵cos30∘=OEBE，
∴BE=65m，
∴CE=BC−BE=95m，
∴BECE=23．
【解析】解：(1)延长BC过点F作FH⊥BC，
∵∠BAE+∠AEB=90∘，
∠FEH+∠AEB=90∘，
∴∠BAE=∠FEH，
在△EBA和△FHE中
∠ABE=∠EHF∠BAE=∠FEHAE=EF
∴△EBA≌△FHE(AAS)，
∴AB=EH，BE=FH，
∴BC=EH，
∴BE=CH=FH，
∴∠FCH=∠CFH=45∘．
∴∠GCF=45∘．
(2)见解析；
(3)见解析．
(1)延长BC过点F作FH⊥BC，证明△EBA≌△FHE即可得出结论．
(2)在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，证明△ANE≌△ECF，通过边和角的关系即可证明．
(3)过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m，由(2)知，∠GCF=32α−90∘=90∘，
通过相似求出CF=6 35m，即可解出．
此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉这些知识点，并会灵活运用．
24.【答案】(1)A(−2,0)，B(4,0)，C(0,−8)．
(2)∵F是直线x=t与抛物线C1的交点，
∴F(t,t2−2t−8)，
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时，
∵∠BCF1=∠CBO，
∴CF1//OB
∵C(0,−8)，
∴t2−2t−8=−8，
解得，t=0(舍去)或t=2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过F2作F2T⊥Y轴于点T．
∵∠BCF2=∠BD2E2=∠BOC=90∘，
∴∠OCB+∠OBC=∠OCB+∠TCF2=90∘，
∴∠TCF2=∠OBC，
∵∠CTF2=∠BOC=90∘，
∴△BCO∽△CF2T，
∴F2TCO=CTBO
∵B(4,0)，C(0,−8)，
∴OB=4，OC=8，
∵F2T=t，CT=−8−(t2−2t−8)=2t−t2，
∴t8=2t−t24，
解得，t=0(舍去)或t=32．
综上，符合题意的t的值为2或32．
(3)∵将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点，
∴C2：y=x2，
∵直线OG的解析式为y=2x，
∴联立直线OG与C2的解析式得：y=x2y=2x，
解得：x1=0y1=0(舍去)，x2=2y2=4，
∴G(2,4)，
∵H是OG的中点，
∴H(1,2)，
设M(m,m2)，N(n,n2)，直线MN的解析式为y=k1x+b1，
则n2=nk1+b1，m2=mk1+b1，
解得，k1=m+n，b1=−mn，
∴直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn，
∵直线MN经过点H(1,2)，
∴mn=m+n−2
同理，直线GN的解析式为y=(n+2)x−2n;直线MO的解析式为y=mx．
联立，得y=(n+2)x−2ny=mx.
解得：x=2nn−m+2，y=2mnn−m+2．
∵直线OM与NG相交于点P，
∴P(2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2).
设点P在直线y=kx+b上，则2m+2n−4n−m+2=k⋅2nn−m+2+b， ①
整理得，2m+2n−4=2kn+bn−bm+2b=−bm+(2k+b)n+2b，
比较系数得：2k+b=2−b=2，
解得：k=2b=−2，
∴当k=2，b=−2时，无论m，n为何值时，等式 ①恒成立．
∴点P在定直线y=2x−2上．
【解析】(1)令y=0，解一元二次方程求出x值可得A、B两点的坐标，令x=0求出y值可得C点坐标，
即可得答案;
(2)分△BE1D1∽△CE1F1和△BE2D2∽△F2E2C两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出t值即可得答案;
(3)根据平移的性质可得C2解析式，联立直线OG与C2解析式可得点G坐标，即可得出OG中点H的坐标，设M(m,m2)，N(n,n2)，利用待定系数法可得直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn，同理得出直线MO的解析式为y=mx，联立两直线解析式可得P(2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2)，设点P在直线y=kx+b上，把点P(2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2)代入，整理比较系数即可得出k、b的值，从而求出直线的解析式．
本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
2023年湖北省武汉中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数3的相反数是( )
A. 3 B. 13 C. −13 D. −3
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6 C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
4. 计算(2a2)3的结果是( )
A. 2a6 B. 6a5 C. 8a5 D. 8a6
5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是( )
A. B. C. D.
6. 关于反比例函数y=3x，下列结论正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D. 图象经过点(a,a+2)，则a=1
7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是( )
A. 12 B. 14 C. 16 D. 112
8. 已知x2−x−1=0，计算(2x+1−1x)÷x2−xx2+2x+1的值是( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
9. 如图，在四边形ABCD中，AB // CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若ABCD=13，则sin C的值是( )
A. 23 B. 53 C. 34 D. 74
10. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L−1，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A(0,30)，B(20,10)，O(0,0)，则△ABO内部的格点个数是( )
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个小于4的正无理数是 ．
12. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿．参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式，则n的值是 (备注：1亿=100000000)．
13. 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
14. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位：步)关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
15. 抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c<0)经过(1,1)，(m,0)，(n,0)三点，且n≥3.下列四个结论：
①b<0；
②4ac−b2<4a；
③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0
16. 如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG=m，EH=n，用含m，n的式子表示GH的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组2x−4<2, ①3x+2≥x. ②请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是________．
18. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD // BC，∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
(1)求证：∠E=∠ECD；
(2)若∠E=60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
19. (本小题8.0分)
某校为了解学生参加家务劳动的情况， 随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组别
时间t/h
频数
A
0
B
0.5
C
1
D
1.5
E
t>2
8
各组劳动时间的扇形统计图
请根据以上信息解答下列问题．
(1)A组数据的众数是 ;
(2)本次调查的样本容量是 ，B组所在扇形的圆心角的大小是 ;
(3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
20. (本小题8.0分)
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4，BC= 5.求⊙O的半径．
21. (本小题8.0分)
如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图(1)中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE=45°；
(2)在图(2)中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM=∠MBD．
22. (本小题10.0分)
某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离x/m
0
10
20
30
40
…
飞行高度y/m
0
22
40
54
64
…
探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM=125 m，MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23. (本小题10.0分)
问题提出如图(1)，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究
(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF的大小；
(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展
(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DGCG=12，求BECE的值．
24. (本小题12.0分)
抛物线C1：y=x2−2x−8交x轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图(1)，作直线x=t(0
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【解答】
解：实数3的相反数是−3．
故选D．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用轴对称图形的定义得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】
解：“国”、“家”，“盛”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形;
“昌”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机事件的定义即可解答．
此题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：A.两枚骰子点数的和为1，是不可能事件;
B.两枚骰子点数的和为6，是随机事件;
C.两枚骰子点数的和大于12，是不可能事件;
D.两枚骰子点数的和小于13，是必然事件．
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
本题考查了积的乘方，利用积的乘方等于乘方的积是解题关键．
【解答】
解：原式=23a2×3=8a6，
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
【解答】
解：从左面看，底层两个小正方形，上层的左边是一个小正方形;
故选A．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
利用反比例函数的性质解答．
此题主要考查当k>0时的反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【解答】
解：根据函数的定义可知对于函数y=3x，是一个y关于x的反比例函数，
∵k=3>0，函数图象位于在第一、三象限，故A错误；
∴图象与坐标轴没有公共点，故B错误；
∴根据反比例函数的性质，在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而减小，故C正确；
∵图象经过点(a,a+2)，
∴a(a+2)=3，解得a=−3或a=1，故D错误．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到“100米”、“400米”两项的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：用1，2，3，4分别表示“跳高”“跳远”“100米”“400米”．
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况，
∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：212=16．
故选C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把x2=x+1代入原式即可求出答案．
本题考查分式的混合运算及求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
【解答】
解：(2x+1−1x)÷x2−xx2+2x+1
=[2xx(x+1)−x+1x(x+1)]÷x(x−1)(x+1)2
=x−1x(x+1)⋅(x+1)2x(x−1)
=x+1x2，
∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1，
∴原式=x+1x2=1，
故选A．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
过点C，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理找到DE和CD的关系，再根据sin C=DEDC求解即可．
本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及锐角三角函数等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
【解答】
解：如图所示，过点C，作CF⊥AB交AB的延长线于点F，连接DE
∵AD⊥AB，AB//CD，
∴∠FAD=∠ADC=∠F=90∘，
∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，
∴AB为⊙D的切线，
由题意得BE为⊙D的切线，
∴DE⊥BC，AB=BE，
∵ABCD=13，
∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
则BF=AF−AB=CD−AB=2a，BC=BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2=CD2−CE2=9a2−x2，
在Rt△BFC中，FC2=BC2−BF2=(a+x)2−(2a)2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2−x2=(a+x)2−(2a)2，
解得：x=2a或x=−3a(不合题意，合去)，
∴CE=2a，
∴DE= CD2−CE2= 9a2−4a2= 5a，
∴sinC=DEDC= 5a3a= 53，
故选B．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后求出△ABO的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
【解答】
解：如图所示，
∵A(0,30)，B(20,10)，O(0,0)，
∴S△ABO=12×30×20=300，
∵OA上有31个格点，OB上的格点有(2,1)，(4,2)，(6,3)，(8,4)，(10,5)，(12,6)，(14,7)，(16,8)，(18,9)，(20,10)，共10个格点，AB上的格点有(1,29)，(2,28)，(3,27)，(4,26)，(5,25)，(6,24)，(7,23)，(8,22)，(9,21)，(10,20)，(11,19)，(12,18)，(13,17)，(14,16)，(15,15)，(16,14)，(17,13)，(18,12)，(19,11)，共19个格点，
∴边界上的格点个数L=31+10+19=60，
∵S=N+12L−1，
∴300=N+12×60−1，
∴解得N=271．
∴△ABO内部的格点个数是271．
故选C．
11.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据无理数估算的方法求解即可．
本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
【解答】
解：∵ 2< 16，
∴ 2<4．
故答案为 2(答案不唯一)．
12.【答案】9
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：13.6亿用科学记数法表示为1.36×109，故n=9．
故答案为9．
13.【答案】2.7
【解析】
【分析】
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据tan∠COE=CEOE，即可求出OE的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题的关键．
【解答】
解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90∘，∠DOB=45∘，
∴BD=OD=2cm，
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90∘，∠COE=37∘，
∵tan37°=CEOE≈0.75，
∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
故答案为2.7．
14.【答案】250
【解析】
【分析】
设善行者经过x分钟追上，根据两个人所行的路程差为100步，列出方程解答即可．
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
【解答】
解：设善行者经过x分钟追上，
由题意得，100x−60x=100
解得x=2.5
100×2.5=250(步)
即两图象交点P的纵坐标是250．
故答案为250．
15.【答案】②③④
【解析】
【分析】
①根据图象经过(1,1)，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，判断出抛物线的开口向下，a<0，再把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断 ①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出物线的点在点(1,1)的右侧，得出4ac−b24a>1，根据4a<0，即可得出4ac−b2<4a，即可判断 ②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线近的函数值就大，即可得出 ③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出△=(b−1)2−4ac=0，把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn−ca−1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断 ④正确．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，
根据已知条件判断得出抛物线开口向下a<0．
【解答】
解： ①图象经过(1,1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在(1,0)的左侧，
∵(n,0)中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a<0，
把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即b=1−a−c，
∵a<0，c<0，
∴b>0，故 ①错误;
②∵a<0，b>0，c<0，
∴ca>0，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，
∵n≥3，
∴m>0，
∴m+n2>1.5，即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点(1,1)的右侧，
∴4ac−b24a>1，
∵4a<0，
∴4ac−b2<4a，故 ②正确;
③∵m>0，
∴当n=3时，m+n2>1.5，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，
∵a<0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t>1，故 ③正确；
④方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b−1)x+c=0，
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=(b−1)2−4ac=0，
∵把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，
∴(a+c)2−4ac=0，
即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴(a−c)2=0，
∴a−c=0，即a=c，
∵(m,0)，(n,0)在抛物线上，
∴m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴mn=ca=1，
∴n=1m，
∵n≥3，
∴1m≥3，
∴0
故答案为 ② ③ ④．
16.【答案】 m2+n2
【解析】
【分析】
先根据折叠的性质可得S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60∘，从而可得S△FHG=S△ADG+SΔCHE，再根据相似三角形的判定可证△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，根据相似三角形的性质可得S△ADGS △FHG=(DGGH)2=m2GH2，S△CHES△FHG=(EHGH)2=n2GH2，然后将两个等式相加即可得．
本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE=S△FDE，∠F=∠B=60∘=∠A=∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴S梯形ACDE=S△BDE=S△FDE，
∴S△FHG=S△ADG+SΔCHE，
又∵∠AGD=∠FGH，∠CHE=∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴S△ADGS △FHG=(DGGH)2=m2GH2，S△CHES△FHG=(EHGH)2=n2GH2，
∴S△ADGS△FHG+S△CHES△FHG=m2+n2GH2=S△ADG+S△CHES△FHG=1，
∴GH2=m2+n2，
解得GH= m2+n2，GH=− m2+n2(不符合题意，舍去)，
故答案为 m2+n2．
17.【答案】(1)x<3；
(2)x≥−1；
(3)
(4)−1≤x<3；
【解析】解：(1)2x−4<2，
2x<6
x<3．
故答案为：x<3．
(2)3x+2≥x，
2x≥−2
x≥−1．
故答案为：x≥−1．
(3)把不等式 ①和 ②的解集在数轴上表示出来：
(4)由图可知原不等式组的解集是−1≤x<3．
故答案为：−1≤x<3．
(1)直接解不等式 ①即可解答;
(2)直接解不等式 ①即可解答;
(3)在数轴上表示出 ①、 ②的解集即可;
(4)数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是
解答本题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AD // BC，
∴∠EAD=∠B．
∵∠B=∠D，
∴∠EAD=∠D．
∴BE // CD，
∴∠E=∠ECD．
(2)等边三角形．
【解析】(1)因为AD // BC，所以∠EAD=∠B，因为∠B=∠D，所以利用等量代换得到∠EAD=∠D，所以BE // CD，即可得证；
(2)因为CE平分∠BCD，所以∠BCE=∠ECD，又因为∠E=∠ECD，推出∠E=∠BCE，∠E=60°，所以说明△BCE是等边三角形．
本题考查了平行线的判定和性质，以及角平分线的定义和等边三角形的判定．
19.【答案】(1)0.4;
(2)60，72°;
(3)1200×20+15+860=860(人)．
答：该校学生劳动时间超过1h的大约有860人．
【解析】(1)∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是0.4;
故答案为：0.4
(2)由题意可得，本次调查的样本容量是15÷25%=60，
由题意得a=60−5−20−15−8=12，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是360∘×1260=72∘，
故答案为60，72∘．
(3)见答案．
(1)根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可;
(2)利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数，再用360∘乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小;
(3)用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过1h的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过1h的人数．
此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等
知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：由圆周角定理得， ∠ACB=12∠AOB ， ∠BAC=12∠BOC ．
∵∠ACB=2∠BAC，
∴∠AOB=2∠BOC．
(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，则 ∠DOB=12∠AOB ，AE=BE．
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠DOB=∠BOC．
∴BD=BC．
∵AB=4， BC= 5，
∴BE=2， DB= 5．
在Rt△BDE中，
∴∠DEB=90°，
∴ DE= BD2−BE2=1 ．
在Rt△BOE中，
∴∠OEB=90°，
∴OB2=(OB−1)2+22，
∴ OB=52 ，即⊙O的半径是 52 ．
【解析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，再根据∠ACB=2∠BAC，即可得出结论;
(2)过点O作半径OD⊥AB于点E，根据垂径定理得出∠DOB=12∠AOB，AE=BE，证明∠DOB=∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根据勾股定理得出DE= BD2−BE2=1，在Rt△BOE中，根据勾股定理得出OB2=(OB−1)2+22，求出OB即可．
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
21.【答案】(1)如图所示，线段BF和点G即为所作;
(2)如图所示，点N与点H即为所作．
【解析】(1)取格点F，连接BF，EF，再取格点P，连接CP交EF于Q，连接BQ，延长交CD于G即可．
(2)取格点F，连接BF、EF，交格线于N，再取格点P，Q，连接PQ交EF于O，连接MO并延长交BD于H即可．
本题考查利用网格作图，轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质.取恰当的格点是解题的关键．
22.【答案】探究发现 ：x=5t， y=−12t2+12t ．
问题解决：
(1)依题意得，−12t2+12t=0．
解得，t1=0(舍)，t2=24，
当t=24时，x=120．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m．
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+12t+n．
∵125
∴25
当t=25，y′=0时，0=−12×252+12×25+n，解得：n=12.5;
当t=26，y′=0时，0=−12×262+12×26+n，解得：n=26．
∴12.5
【解析】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x=kt，y=ax2+bx，
由题意得：10=2k，4a+2b=2216a+4b=40
解得：k=5，a=−12，b=12，
∴x=5t，y=−12t2+12t．
问题解决：
(1)见解析；(2)见解析．
探究发现：根据待定系数法求解即可;
问题解决：
(1)令二次函数y=0代入函数解析式即可求解;
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度y′=−12t2+12t+n．
结合25
23.【答案】(1)∠GCF=45∘；
(2)在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180∘，
∠ABC=∠AEF，
∴∠BAE=∠FEC．
∵AE=EF，AN=EC
∴△ANE≌△ECF．
∴∠ANE=∠ECF．
∵AB=BC，
∴BN=BE
∵∠EBN=α，
∴∠BNE=90∘−12α．
∴∠GCF=∠ECF−∠BCD=∠ANE−∠BCD=(90∘+12α)−(180∘−α)=32α−90∘．
(3)过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，
设菱形的边长为3m，
∵DGCG=12，
∴DG=m，CG=2m．
在Rt△ADP中，
∵∠ADC=∠ABC=120∘，
∴∠ADP=60∘，
∴PD=32m，AP=32 3m.
∵α=120∘，由(2)知，∠GCF=32α−90∘=90∘．
∵∠AGP=∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴APCF=PGCG，
∴32 3mCF=52m2m，
∴CF=6 35m，
在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，作BO⊥NE于点O．
由(2)知，△ANE≌△ECF，
∴NE=CF，
∵AB=BC，
∴BN=BE，OE=12EN=3 35m⋅
∵∠ABC=120∘，
∴∠BNE=∠BEN=30∘，
∵cos30∘=OEBE，
∴BE=65m，
∴CE=BC−BE=95m，
∴BECE=23．
【解析】解：(1)延长BC过点F作FH⊥BC，
∵∠BAE+∠AEB=90∘，
∠FEH+∠AEB=90∘，
∴∠BAE=∠FEH，
在△EBA和△FHE中
∠ABE=∠EHF∠BAE=∠FEHAE=EF
∴△EBA≌△FHE(AAS)，
∴AB=EH，BE=FH，
∴BC=EH，
∴BE=CH=FH，
∴∠FCH=∠CFH=45∘．
∴∠GCF=45∘．
(2)见解析；
(3)见解析．
(1)延长BC过点F作FH⊥BC，证明△EBA≌△FHE即可得出结论．
(2)在AB上截取AN，使AN=EC，连接NE，证明△ANE≌△ECF，通过边和角的关系即可证明．
(3)过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m，由(2)知，∠GCF=32α−90∘=90∘，
通过相似求出CF=6 35m，即可解出．
此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉这些知识点，并会灵活运用．
24.【答案】(1)A(−2,0)，B(4,0)，C(0,−8)．
(2)∵F是直线x=t与抛物线C1的交点，
∴F(t,t2−2t−8)，
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时，
∵∠BCF1=∠CBO，
∴CF1//OB
∵C(0,−8)，
∴t2−2t−8=−8，
解得，t=0(舍去)或t=2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过F2作F2T⊥Y轴于点T．
∵∠BCF2=∠BD2E2=∠BOC=90∘，
∴∠OCB+∠OBC=∠OCB+∠TCF2=90∘，
∴∠TCF2=∠OBC，
∵∠CTF2=∠BOC=90∘，
∴△BCO∽△CF2T，
∴F2TCO=CTBO
∵B(4,0)，C(0,−8)，
∴OB=4，OC=8，
∵F2T=t，CT=−8−(t2−2t−8)=2t−t2，
∴t8=2t−t24，
解得，t=0(舍去)或t=32．
综上，符合题意的t的值为2或32．
(3)∵将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点，
∴C2：y=x2，
∵直线OG的解析式为y=2x，
∴联立直线OG与C2的解析式得：y=x2y=2x，
解得：x1=0y1=0(舍去)，x2=2y2=4，
∴G(2,4)，
∵H是OG的中点，
∴H(1,2)，
设M(m,m2)，N(n,n2)，直线MN的解析式为y=k1x+b1，
则n2=nk1+b1，m2=mk1+b1，
解得，k1=m+n，b1=−mn，
∴直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn，
∵直线MN经过点H(1,2)，
∴mn=m+n−2
同理，直线GN的解析式为y=(n+2)x−2n;直线MO的解析式为y=mx．
联立，得y=(n+2)x−2ny=mx.
解得：x=2nn−m+2，y=2mnn−m+2．
∵直线OM与NG相交于点P，
∴P(2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2).
设点P在直线y=kx+b上，则2m+2n−4n−m+2=k⋅2nn−m+2+b， ①
整理得，2m+2n−4=2kn+bn−bm+2b=−bm+(2k+b)n+2b，
比较系数得：2k+b=2−b=2，
解得：k=2b=−2，
∴当k=2，b=−2时，无论m，n为何值时，等式 ①恒成立．
∴点P在定直线y=2x−2上．
【解析】(1)令y=0，解一元二次方程求出x值可得A、B两点的坐标，令x=0求出y值可得C点坐标，
即可得答案;
(2)分△BE1D1∽△CE1F1和△BE2D2∽△F2E2C两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出t值即可得答案;
(3)根据平移的性质可得C2解析式，联立直线OG与C2解析式可得点G坐标，即可得出OG中点H的坐标，设M(m,m2)，N(n,n2)，利用待定系数法可得直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn，同理得出直线MO的解析式为y=mx，联立两直线解析式可得P(2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2)，设点P在直线y=kx+b上，把点P(2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2)代入，整理比较系数即可得出k、b的值，从而求出直线的解析式．
本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
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