2023年山东省枣庄市中考数学二模试卷(解析版)

2023年山东省枣庄市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列互为倒数的是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.  下列等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  估算的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

4.  剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，、两点在数轴上表示的数分别是、，则下列式子中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  定义新运算，对于任意实数，满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若为实数是关于的方程，则它的根的情况是(    )

A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

7.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接并延长交于点，当时，的长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，等边、等边的边长分别为和开始时点与点重合，在上，在上，沿向右平移，当点到达点时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为，移动的距离为，则与的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，，分别在轴上，交轴于点，轴，垂足为若，以下结论正确的个数是(    )
；
平分；
点的坐标为；
；
矩形的面积为．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若，则的值是______．

12.  数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是______ 只填写序号．
射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
 

13.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为          ．
 

14.  分式与的和为，则的值为______．

15.  如图，将矩形纸片折叠，使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为______ ．

16.  已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；；其中；若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有______个．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值，其中．

19.  本小题分
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
补全条形统计图；
已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．

20.  本小题分
如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：
 

请利用表中提供的信息，求主塔顶端到的距离参考数据：，，．

21.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
求，两点的坐标；
将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
 

22.  本小题分
如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点且．
求证：为的切线；
若，，求的半径及的长．

23.  本小题分
【阅读理解】如图，，的面积与的面积相等吗？为什么？
解：相等在和中，分别作，，垂足分别为，．
，
．
，
四边形是平行四边形，
．
又，．
．
【类比探究】如图，在正方形的右侧作等腰，，，连接，求的面积．
解：过点作于点，连接．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图，在正方形的右侧作正方形，点，，在同一直线上，，连接，，，直接写出的面积．
 

24.  本小题分
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

求抛物线的表达式；
是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
和互为倒数，符合题意；
B、，
和不互为倒数，不符合题意；
C、，
和不互为倒数，不符合题意；
D、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两个数叫互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D符合题意；
故选：．
利用分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式、特殊角的三角函数求解即可．
此题考查了分式的乘除法，熟记分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式的综合运用是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即在和之间．
故选：．
根据二次根式的性质得出，即可求出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出的范围，题目比较典型，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；
选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、两点在数轴上的位置可知：，，
，，故A、B错误；
，
，
，故C正确；
，，
，故D错误．
故选：．
根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是数轴的特点，根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
先根据等腰三角形的性质推出，进而得到，再在中，根据勾股定理求出的长度，最后根据弧长公式即可得出答案．
【解答】
解：，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，，
，
的长度
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，当和重合时，，

当移动的距离为时，在内，，
当在的右边时，如图所示，设移动过程中与交于点，过点坐垂直于，垂足为，

根据题意得，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，
当时，，当时，，
故选：．
当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．
本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，，故正确；
，
平分，故正确；
，，
，
，
，
负值舍去，
点坐标为，
点，点关于原点对称，
点，故正确；
，，
，
，
，故错误；
，
矩形的面积，故正确，
故选：．
通过证明∽，可得，由矩形的性质可得，故正确；由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可得，可得平分，故正确；由勾股定理可求的长，即可求点坐标，由矩形是中心对称图形，可得点，故正确；由，故错误，由面积公式可求矩形的面积，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴的垂线，交的延长线于点，

，两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，即，
，
在中，
，
．
故选：．
过点作轴的垂线，交的延长线于点，根据，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可求得，的长，根据菱形的面积为，求得，的长，在中，即可得出的值．
本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，
，
由得，
．
故答案为：．
根据非负数的性质可得，应用整体思想即可得出答案．
本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．
因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故不符合题意．
学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”，故符合题意；
地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．
故答案是：．
根据两点确定一条直线进行判断．
利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．
根据菱形的性质进行判断．
根据矩形的性质进行判断．
本题主要考查了圆的认识，菱形的性质，矩形的性质等知识点，属于基础题，熟记相关的性质或定理即可．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到≌，于是．
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
．
又绕点逆时针旋转后得到，
≌，
．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
首先根据分式与的和为，可得：，然后根据解分式方程的方法，求出的值为多少即可．
【解答】
解：分式与的和为，
，
去分母，可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
的值为．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：由翻折的性质可知，，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，，，，
，
．
，
，
故答案为：。
证明≌，推出，再证明，想办法求出，可得结论。
本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型。
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个坐标为，
把代入，可得：
，
解得，
，故正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故正确；
，
，
，
又，，
，
即其中，故正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故错误，
正确的有，共个，
故答案为：．
根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、三次根式化简、绝对值个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、三次根式、绝对值等知识点的运算．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，然后算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：延长交于点，
，
，
，
点，分别与点，关于直线对称，
，
，，
，
，
，，
，
解得，
即主塔顶端到的距离约为． 

【解析】根据题意和表格中的信息，可以得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，解得，
，；
直线向下平移个单位长度，
直线解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，

点在直线上，
，
，
点的坐标是．
点在反比例函数的图象上，
，
解得负值舍去，
． 

【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据正比例函数与反比例函数，即可求出两交点坐标；
根据直线向下平移个单位长度，可得直线解析式为：，所以点的坐标为，过点作轴于点，根据，可得，所以，可得点的坐标是然后利用反比例函数即可解决问题．
 

22.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

解：连接，设，
，
，
，
，
，
，
由可知，，
，
，，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
． 

【解析】欲证明是的切线，只要证明即可；
设，证明，可得，推出，利用平行线分线段成比例定理求出，即可．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】解：类比探究过点作于点，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，
；
拓展应用如图，连接，

四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
，
． 

【解析】类比探究由等腰三角形的性质可得，，可证，可得，由三角形的面积公式可求解；
拓展应用连接，由正方形的性质可得，可得，可得，由三角形的面积公式可求解
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，当时，，
点坐标为，
当时，，
，
点坐标为，
对称轴为直线，
点坐标为，
设抛物线的表达式为，
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的表达式为；
如图，作于，交于，

点坐标为，则点坐标为，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
此时点坐标为；
设点坐标为，
以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，即，
，
解得，
点坐标为，
，
，，
点坐标为 

【解析】本题考查二次函数及其图象的性质，勾股定理，以及菱形的性质．
先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，表示出三角形和三角形的面积，进而表示出与之间的函数关系式，进一步求得结果；
根据菱形的性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形的性质，进一步求得点坐标．