2023年山东省枣庄市滕州市中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市滕州市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上点表示的数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列命题为真命题的是(    )

A.  B. 同位角相等
C. 三角形的内心到三边的距离相等 D. 正多边形都是中心对称图形

6.  某校为增强学生的爱国意识，特开展中国传统文化知识竞赛，九年级共人参加竞赛，得分情况如下表所示，则这些成绩的中位数和众数分别是(    )

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

7.  为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  由个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，都在格点上，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，四边形是矩形，是正方形，点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在反比例函数的图象上，，，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知，，求的值是______．

12.  根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，全国冰雪运动参与人数达到亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．亿用科学记数法表示为______．

13.  已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

14.  如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，，则的度数是          ．

15.  勾股定理被记载于我国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，若正方形的边长为，则 ______ ．

16.  如图，抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：；；；当时，；当时，是等腰直角三角形；其中正确的是        填序号

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中是整数且满足不等式组．

18.  本小题分
如图，在中，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．
请根据作图过程回答问题：直线是线段的        ；
A.角平分线高中线垂直平分线
若中，，，，求的长．

19.  本小题分
某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校个班中随机抽取了个班用，，，表示，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，回答下列问题：
杨老师采用的调查方式是______ 填“普查”或“抽样调查”；
请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数______ ．
如果全班征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率．

20.  本小题分
如图，具有千年历史的龙泉塔，既是滕州地标，又体现了滕州的历史文化如图，某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量塔的高度，该小组的成员分别在，两处用测角仪测得龙泉塔的顶点处的仰角为和，龙泉塔的底端与，两点在同一条直线上，已知间的水平距离为米，测角仪的高度为米请你根据题中的相关信息，求出龙泉塔的高度结果精确到米，参考数据：，，．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，与反比例函数且的图象在第一象限交于点，若．
求的值；
已知点是轴上的一点，若的面积为，求点的坐标；
结合图象，直接写出不等式的解集．

22.  本小题分
如图，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点求证：；
如图，将中“正方形”改成“矩形”，且，其他条件不变，试猜想与的数量关系，并说明理由；
在的条件下，若，，则的长度为______ 直接写出答案

23.  本小题分
如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点，交于点，交于点，连接．
判断直线与的位置关系并说明理由；
若的半径为，，求的长；
在的条件下，求阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
求该抛物线的表达式；
求线段的最大值及此时点的坐标；
若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点和点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点表示的数为，
的相反数为，
故选：．
根据数轴得到点表示的数为，再求的相反数即可．
本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题的关键是掌握合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
故选：．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，原式，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
B.当两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题，此选项不符合题意；
C.三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故原命题为真命题，此选项符合题意；
D.三角形不是中心对称图形，故原命题为假命题，此选项不符合题意，
故选：．
根据判断命题真假的方法即可求解．
本题考查了真假命题的判断，理解三角形内心的概念是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第、个数的平均数，
所以全班名同学的成绩的中位数是：分；
出现了次，出现的次数最多，则众数是分，
所以这些成绩的中位数和众数分别是分，分．
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数．解题的关键是掌握求中位数和众数的方法，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，且桌子腿数与凳子腿数的和为条”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共个，
；
又桌子腿数与凳子腿数的和为条，且每张桌子有条腿，每条凳子有条腿，
．
列出的方程组为．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：连接，交于，
由题意得：米，，
米，，
米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：．
连接，交于，由垂径定理得米，再由勾股定理得米，然后求出的长即可．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，延长于点，

网格是由个形状相同，大小相等的菱形组成，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：．
延长于点，根据菱形的性质可得：是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，进而可得的值．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
点坐标为，
，
反比例函数解析式为，
设，则，
点坐标为，
，
整理为，
解得舍去，，
正方形的边长为．
故选：．
先确定点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，则反比例函数解析式为，设，则，所以点坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，利用因式分解法可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，，
原式．
故答案为：．
将因式分解，然后代入已知条件即可求值．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：将数据亿用科学记数法表示为，
故答案为：．
科学记数法表示为的形式，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此换算即可．
此题考查了用科学记数法表示较大的数，正确理解科学记数法的形式并运用是解题的关键．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意列出方程组：
，
解得：且，
故答案为：且．
根据在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：二次项系数不为零；在有不相等的实数根下必须满足解答．
本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
根据正五边形和等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形内角和，正五边形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：，，，
正方形的边长为，
，
，


，
故答案为：．
设全等的直角三角形的两条直角边为、且，则，，，先证明，再证明即可得到答案．
本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，即，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故错误；
由上述可知，，
，故正确；
抛物线过，
，
，
，故错误；
当时，抛物线由最小值，
当，且时，
，
，
，故正确；
当是等腰直角三角形时，
可得点纵坐标为，即点，
设抛物线解析式为，
将代入得：，
解得：，故错误．
综上，正确的有．
故答案为：．
根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与轴交点位置即可判断，，的正负；根据抛物线与轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴，进而求出和的关系；根据图象可知，当时取得最小值，根据是等腰直角三角形推出点的坐标，再求出抛物线解析式，以此即可求解．
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与轴的交点坐标求出对称轴，得到与之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答．
 

17.【答案】解：


，
解不等式组，
由得，
由得，
，
是整数，
，，，
，，
，
当时，原式． 

【解析】先化简分式，再解一元一次不等式组，根据题意并结合分式有意义的条件确定能，由此可求解．
本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式化简求值的方法，分式有意义的条件，一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由尺规作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线．
故答案为：．
设与交于点，
，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
．
由尺规作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线．
由已知条件结合线段垂直平分线的性质可得，则，在中，可得，在中，可得．
本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】抽样调查   

【解析】解：杨老师从全校个班中随机抽取了个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．
所调查的个班征集到的作品数为：件，
班有件，
补全条形图如图所示，

扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数；
故答案为：；
画树状图得：

共有种等可能的结果，两名学生性别不同的有种情况，
恰好选取的两名学生性别不同的概率为．
杨老师从全校个班中随机抽取了个班，属于抽样调查．
由题意得：所调查的个班征集到的作品总数为：件，班作品的件数为：件；继而可补全条形统计图；用班作品数除以总作品数再乘即可求出扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：连接，交于点，如图所示：

，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
为矩形，
米，
，，
，
，
，
设米，
，
，
，
，
解得：米，
米，
答：龙泉塔的高度为米． 

【解析】连接，交于点，证明四边形为矩形，得出，，证明为矩形，得出米，设 米，根据三角函数得出，根据，列出方程，求出米，最后根据米，算出结果即可．
本题主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．
 

21.【答案】解：过作轴于，如图：

在中，令得，令得，
，，
，
，
，
，
，
在中，令得，
，
把代入得：
，
解得，
的值是；
的面积为，
，
，
，
，
当在右侧时，
，
，
当在左侧时，
，
，
综上所述，的坐标为或．
由可得，根据图形可知：
直接写出不等式的解集：． 

【解析】过作轴于，在中，可得，，又，即可得，用待定系数法可得的值是；
根据的面积为，可求出，分两种情况：当在右侧时，，当在左侧时，．
由可得，根据图形即可得出结论．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法，三角形面积，解题的关键是根据已知求出点的坐标．
 

22.【答案】 

【解析】证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：，理由如下：
四边形是矩形，
．
，
．
又．
∽，，
；
解：∽，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
即，
解得或不合题意，舍去，
即的长度为．
故答案为：．
证明≌，即可得到结论；
证明∽，则，即可得到；
利用∽得到，则，，由四边形是矩形得到，，，在中，由勾股定理得到，即，求出的长度即可．
此题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：直线与相切．
理由如下：连接，

为圆切线，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又为圆的半径，
为圆的切线；
≌，
，
，
为中点，
即，，
，，，
，
，
，
；
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
阴影部分的面积为． 

【解析】连接，证明≌，由全等三角形的判定与性质得出，由切线的判定可得出结论；
由直角三角形的性质求出，可得出，则可求出答案；
证明是等边三角形，求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
 

24.【答案】解：将和代入，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
设直线的解析式为，把和代入，
，
解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则点坐标为，
，
，当时，有最大值为；
的坐标为；
当时，，
解得：，
点坐标为，
当∽时，
轴，，
轴，
点纵坐标是，横坐标，
即，解得，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
点的坐标为，点的坐标为；
当∽时，

此时，
过点作于点，
∽，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
则，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，点坐标为． 

【解析】直接利用待定系数法，即可求出解析式；
设直线的解析式为，设点的坐标为，则点坐标为表示出，再由二次函数的最值性质，求出答案；
根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．