2022高考数学选填经典题型汇编 题型9 三次函数的对称性、穿根法作图象

题型9   三次函数的对称性、穿根法作图象

【方法点拨】

对于三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d（其中a≠0），给出以下常用结论：

(1)当a＞0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为N字型；当a＜0，b2－3ac＞0时，三次函数的图象为反N字型；当a＞0，b2－3ac≤0时，单调递增，当a＜0，b2－3ac≤0时，单调递减．

(2)三次函数有对称中心(x0，f (x0))，f ″(x0)＝0.

【典型题示例】

例1    (2021·全国乙卷·理10)设，若为函数的极大值点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D

例2    若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是      ．

【答案】.（公众号：钻研数学）

【解析】 .

函数的一个极值点是，所以以为界与比较，进行分类讨论.

①当时，如图一，由得，或，欲使函数在区间上单调递增，只需，即.

②当时，如图二，在区间上单调递增，满足题意.

综上知，实数的取值范围是．

点评:

    作三次函数f (x)＝a(x－x1) 2(x－x2)（其中a≠0，x1≠x2）示意图的方法要点有二：

（1）当a＞0时，三次函数的图象为N字型（最右区间增）；当a＜0时，三次函数的图象为反N字型（最右区间减）.

（2）x1既是函数的零点，又是函数的极值点，从形上看，函数图象此时与x轴相切（或称“奇穿偶回”，即x1、x2都是函数的零点，x1是二重根，图象到此不穿过x轴，即“回”，这种作函数图象的方法称为“穿根法”）.

例3    已知a，bR且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（    ）

A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0

【答案】C

【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设，欲满足题意，从形上看则必须在x≥0 时有两个重合的零点才可以，对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【解析】因为，所以且，设，则的零点为

当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；

当时，则，，要使，必有.

综上一定有.

故选：C

例4   已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是          .

【答案】2

【分析】本题的难点在于发现函数的对称性、变形为“结构相同”后逆用函数的单调性.

【解析】由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，

设f (x)＝x3－3x2＋5x－3，则f (a)＝－2，f (b)＝2.

因为f (x)图象的对称中心为(1,0)，所以a＋b＝2.

【巩固训练】

1.函数图象的对称中心为_____.

2.已知直线与曲线有三个不同的交点，，，且，则__________.

3.若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为           ．

4.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是         ．

5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是        ．

6. 设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．

7. 已知函数，，其中，且，如果函数的值域是，则实数的取值范围为________.

8.已知函数，则函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值是         .

9.已知函数的定义域是，值域是，则实数的取值范围是               .

【答案与提示】

1.【答案】

【解析一】由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得，

整理得到：

，

整理得到 对任意均成立，

所以 ，所以，.

即对称中心．

【解析二】∵f ″(x)＝6x－6    令f ″(x)＝6x－6＝0   解得x＝1

将x＝1代入得f (x)得f (1)＝2   ∴对称中心．

2.【答案】3

【解析】由题意，函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称，

所以函数的函数图象关于点对称，

因为直线与曲线有三个不同的交点，

且，

所以点为函数的对称点，即，且两点关于点对称，

所以，于是.

3.【答案】

【解析】因为,且由得: 或

所以函数的图象是增-减-增型，且在或处取得极值

欲使函数在内有且只有一个零点，当且仅当

解之得.

当时，增；时，减，

故，，

所以在上的最大值与最小值的和为．

4.【答案】

5.【答案】

6.【答案】

7.【答案】

8. 【答案】

【解析】设此最小值为m.

①当

 因为:

 则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..

②当1<a.

③当a>2时，在区间[1，2]上，

若在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，由此得：m=f(1)=a-1.

若2<a<3,则

当

当

因此，当2<a<3时，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

当;

当

综上所述，所求函数的最小值

9.【答案】

【解析一】易知：当，增；当，减；当，增，且.

①       当时，增

∴，；

②       当时， ，；

③       当时，，；

综上，.

【解析二】仅考虑函数在时的情况，可知函数在时，取得极大值16．

令，解得，．

作出函数的图象（如右图所示）．

函数的定义域为，值域为，分为以下情况考虑：（1）当时，函数的值域为，有，所以，因为，所以；（2）当时，函数的值域为，有，所以，因为，所以；（3）当时，函数的值域为，有，所以，因为，所以；综上所述，实数a的取值范围是．