2023年浙江省杭州市余杭区一模数学试题（含解析）

2023年浙江省杭州市余杭区一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．等于（    ）

A． B．2 C． D．

2．2022年杭州市的达到18800亿元，用科学记数法表示“18800亿”正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，五边形中，，、、分别是、、的外角，则（    ）

A． B． C． D．

5．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．如图，小宁连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息正确的是（    ）

A．这两周体温的众数为  B．第一周体温的中位数为

C．第二周平均体温高于第一周平均体温 D．第一周的体温比第二周的体温更加平稳

7．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，过点C作于点L，交于点M．若四边形和四边形的面积分别是，则的长为（    ）

A．160 B．110 C． D．

9．十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的．据统计，某十字路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量，；南北走向直行与左转车辆分别约占总流量，．因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（    ）

A．12秒 B．16秒 C．18秒 D．24 秒

10．有一列数，记为，，…，，记其前n项和为，定义为这列数的“亚运和”，现有99个数，，…，，其“亚运和”为1000，则1，，，…，这100个数的“亚运和”为（    ）

A．791 B．891 C．991 D．1001

二、填空题

11．因式分解：x2+x=_____．

12．已知，，则______．

13．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图扇形的圆心角等于________度．

14．如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为______．

15．已知二次函数的图象与x轴恰有一个交点，且过点和点，则______．

16．如图，D是的边BC上一点，沿翻折，C点落在点E处，与相交于F点，若，，，则______．

三、解答题

17．解方程：

18．近年来，随着人们健康睡眠的意识不断提高，社会各界对于初中生的睡眠时间是否充足越发关注．近日我市某学校从全校1200人中随机抽取了部分同学，调查他们平均每日睡眠时间，将得到的数据整理后绘制了如图所示的扇形统计图和频数分布直方图：

(1)本次接受调查人数为______；图中______；______；______．

(2)教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》文件指出，初中生睡眠时间应达到9小时，试估算该校学生睡眠时间达标人数．

19．如图，在中，，，．

(1)求的长；

(2)用尺规作三角形的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．

20．已知y与（m为常数）成正比例，且当时，当时．

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)若点在（1）中函数的图象上，求的值．

21．如图，正方形，E，F分别在边上，，交于点P．

(1)求证：；

(2)若，，求的长．

22．已知二次函数（且为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点．

(1)求点的坐标；

(2)若，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；

(3)若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求的取值范围．

23．如图，点A，B，C分别是上的三等分点，连接，，．点D，E分别是，上的点，且．过点D作的垂线，垂足为H，与分别交于N、M，与边交于F点．

(1)求证：是等边三角形；

(2)探索与的数量关系，并加以证明；

(3)点E从点B沿方向运动到点C，点H也随之运动，若的半径为2，则点H运动的路径长是多少？

参考答案：

1．B

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可进行解答．

【详解】解：，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．

2．B

【分析】18800亿元即元用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．

【详解】解：18800亿元即元的绝对值大于表示成的形式，

∵，，

∴18800亿元表示成元，

故选B．

【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．

3．D

【分析】按照有理数的乘方、算术平方根、幂的乘方的法则分别计算即可．

【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；

B．，故选项错误，不符合题意；

C．，故选项错误，不符合题意；

D．，故选项正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查了有理数的乘方、算术平方根、幂的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．

4．C

【分析】过点B作，，利用平行线的性质得到，，即可得到答案．

【详解】解：过点B作，

∵，

∴，

∴，，

∴．

故选：C

【点睛】此题考查了平行线的性质，利用平行线的性质得到，是解题的关键．

5．B

【分析】在中，，，设，则，根据勾股定理得，根据正切的定义即可得到答案．

【详解】解：在中，，，

设，则，

∴，

∴，

故选：B

【点睛】此题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

6．A

【分析】先将两周的体温分别从小到大依次排序，然后按照各选项进行求解判断，进而可得结果．

【详解】解：第一周体温从小到大依次排序为：，，，，，，；

第二周体温从小到大依次排序为：，，，，，，；

∴这两周体温的众数为，第一周体温的中位数为，

∴A正确，故符合题意；B错误，故不符合题意；

第一周平均体温为： ，

第二周平均体温为： ，

∴第一周的平均体温高于第二周的平均体温，

∴C错误，故不符合题意；

由统计图可得第二周体温波动幅度更小，即第二周体温更稳定，

∴D错误，故不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了折线统计图，众数，中位数，平均数等知识．解题的关键在于从题干中获取正确的信息．

7．B

【分析】根据反比例函数的性质当时，在每一象限内y随x的增大而减小即可求得．

【详解】解：，反比例函数图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据或判断反比例函数的增减性是解题的关键．

8．C

【分析】设则先证明四边形是矩形，则得到再证，得到，则，可得，即可得到的长．

【详解】解：设则

∵四边形形是正方形，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴

∴

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

即的长为．

故选：C

【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、算术平方根等知识，得到是解题的关键．

9．B

【分析】右转车辆不受红绿灯限制，先计算南北走向直行占东西走向直行、左转，南北走向直行、左转四种车流量的比例，再用周期时间乘以得到的比例即可得到答案

【详解】解：∵右转车辆不受红绿灯限制，

∴南北走向直行占东西走向直行、左转，南北走向直行、左转四种车流量的占比为：

，

∴一个周期时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长为：

（秒）．

故选：B

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算．

10．C

【分析】根据“亚运和”的定义分析可得99个数，，…，，其“亚运和”为1000，，即．同理根据定义求新数列1，，，…，这100个数的“亚运和”．

【详解】解：∵，

∴，

∴1，，，…，这100个数的“亚运和”为

．

故选：C．

【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．关键是找到．

11．

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．

【详解】解：

12．5

【分析】先根据，得到，，两式相加即可得到的值．

【详解】解：∵，，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：5

【点睛】此题考查了完全平方公式求值，熟练掌握完全平方公式内容是解题的关键．

13．

【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，利用弧长公式即可求解．

【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角是，

由题意得，，

解得，

∴此圆雉的侧面展开图扇形的圆心角等于度，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14．

【分析】列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式，即可求解．

【详解】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：369、396、639、693、936、963，一共6中情况；

∴一次就能打开行李箱的概率为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．

15．

【分析】根据二次函数的图象与x轴恰有一个交点，可得，再由二次函数的轴对称性可得，从而得到，，再把代入解析式可得，然后代入结合完全平方公式计算，即可求解．

【详解】解：∵二次函数的图象与x轴恰有一个交点，

∴，即，

∵二次函数的图象过点和点，

∴，

解得：，

∴，

∴二次函数的解析式为，

当时，，

∴．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是得到，，灵活利用完全平方公式计算是解题的关键．

16．6

【分析】设，则，由折叠的性质得：，再由，可得，可证明，从而得到，继而得到关于x的方程，即可求解．

【详解】解：设，则，

由折叠的性质得：，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

∴，

即，

解得：或15（舍去），

∴．

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，证明是解题的关键．

17．

【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．

【详解】解：去分母，得：，

移项，得：，

合并同类项，得：，

系数化为1，得：．

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．

18．(1)50，，21，

(2)该校学生睡眠时间达标人数约为744人

【分析】（1）用睡眠时间的人数除以其所占百分比，即可求出本次接受调查人数；用睡眠时间的人数除以总人数，即可求出a；用总人数乘以睡眠时间所占百分比，即可求出b；用睡眠时间的人数除以总人数，即可求出c；

（2）先求出睡眠时间不低于9小时的人数所占百分比，再用全校人数乘以这个百分比即可求解．

【详解】（1）解：本次接受调查人数为：（人），

，

，

故答案为：50，，21，．

（2）解：（人），

答：该校学生睡眠时间达标人数约为744人．

【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握“频率=频数÷调查人数”是正确解答的关键．

19．(1)

(2)图见解析，

【分析】（1）作于点H，则，在中，求得 ，，在中，，即可得到的长；

（2）作线段和的垂直平分线相交于点，以点为圆心，为半径作圆，则即为三角形的外接圆，连接，则，由，根据圆周角定理得到，则是等腰直角三角形，由即可得到．

【详解】（1）解：作于点H，

则，

在中，，，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

即的长为；

（2）如图，即为三角形的外接圆，

连接，则，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴，

即此外接圆的半径为．

【点睛】此题考查了解直角三角形、圆周角定理、三角形的外接圆等知识，熟练掌握解直角三角形和圆周角定理是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）由题意设比例系数为，则，将，代入得，计算求解的值，进而可得函数表达式；

（2）由点在（1）中函数的图象上，可得，根据，将代入求解即可．

【详解】（1）解：由题意设比例系数为，则，

将，代入得，

解得，

∴，

∴y关于x的函数表达式为；

（2）解：∵点在（1）中函数的图象上，

∴，

∴，

∴的值为．

【点睛】本题考查了一次函数解析式，代数式求值，完全平方公式等知识．解题的关键在于正确的运算求解．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）由四边形是正方形，则，由，，根据即可证明；

（2）由勾股定理得到，再证，则，作于点H，则，得到，则,得到，两式相加得到，解得，即可得到的长．

【详解】（1）解：∵四边形是正方形，

∴，

∵，，

∴；

（2）∵，，，

∴，

∵，

∴，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

作于点H，

则，

∴，

∴，，

∴,

∴，

两式相加得到，，

解得，

∴，

解得：，

即的长为．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．

22．(1)，；

(2)第一象限，理由见解析；

(3)．

【分析】（1）根据题中的条件求解即可；

（2）把二次函数解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可求解；

（3）根据条件可知，，求出m的取值范围，再根据方程的两根都在1，3之间，即可求解．

【详解】（1）解：由题意可得：令，得到，

∴A的坐标为，

对称轴，所以的坐标是．

（2）解：

∴二次函数的顶点坐标是，

当时，；

可得：，

∴二次函数图象的顶点位于第一象限．

（3）解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得：或，

方程的两根都在1，3之间，可得二次函数的图象与轴交点的横坐标在1，3之间．

当时，由题意知，解得，不符题意；

当时．由题意知，解得，∴；

综合上述：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)；证明见解析

(3)点H的运动路径长为

【分析】（1）根据点A，B，C分别是上的三等分点，证明，即可得出答案；

（2）连接，，，，证明，得出，，证明，得出，证明为等边三角形，根据，得出，，即可证明结论；

（3）延长交于点K，连接并延长交于点L，取的中点I，连接，，说明，证明K、H、O、D四点都在以为直径的圆上，证明，得出点H在过点K与平行的直线上运动，线段就是点E从点B运动到点C时，点H的运动路径，求出的长即可．

【详解】（1）证明：∵点A，B，C分别是上的三等分点，

∴，

∴，

∴为等边三角形．

（2）解：；证明如下：

连接，，，，如图所示：

∵为的内接正三角形，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∵，

∴，，

∴，

即．

（3）解：延长交于点K，连接并延长交于点L，如图所示：

∵，

∴平分，

∴，，

∴，

取的中点I，连接，，则，

∴K、H、O、D四点都在以为直径的圆上，

根据解析（2）可知，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴点H在过点K与平行的直线上运动，

∴线段就是点E从点B运动到点C时，点H的运动路径，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴点H的运动路径长为．

【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的判定和性质，四点共圆，本题难度较大，综合性较强，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形的基本性质和圆的基本性质．