广东省佛山市南海区华南师范大学附属中学南海实验高级中学2023届高三保温考数学试题（含解析）

广东省佛山市南海区华南师范大学附属中学南海实验高级中学2023届高三保温考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．与的关系不确定

2．复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．无解

3．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ）

A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C．样本中选择物理学科的人数较多

D．样本中男生人数少于女生人数

4．如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

5．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（    ）

A． B． C． D．

6．设函数，方程恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则

B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立

10．若，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（    ）

A．异面直线、所成角的大小为

B．直线与平面所成角的正弦值为

C．周长的最小值为

D．存在点使得平面

12．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（    ）

A．是奇函数 B．是周期函数

C． D．

三、填空题

13．设随机变量的分布列如下：

其中，，…，构成等差数列，则 ___________.

14．已知函数为偶函数，则的值为___________.

15．已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.

16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

四、解答题

17．受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化.为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率.

(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y，求随机变量Y的期望.

18．在平面内四边形的对角线交点位于四边形内部，，，设.

(1)若，求与；

(2)当变化时，求的最大值.

19．已知数列的前项和为

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．

(1)求证：平面平面DAE；

(2)AB=1，，，求CE与平面DAE所成角的正弦值．

21．已知双曲线的渐近线与曲线相切.横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点.

(1)求双曲线的离心率；

(2)记的中垂线交轴于点.是否存在实数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

22．已知函数.

(1)若函数为增函数，求的取值范围；

(2)已知.

（i）证明：；

（ii）若，证明：.

参考答案：

1．B

【分析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案．

【详解】解：∵，

且，

k+2是整数，2k+1是奇数

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题．

2．C

【分析】根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0，计算得解.

【详解】解：化简可得：复数，

因为其对应的点在第三象限内，所以，解得．

故选：C.

3．C

【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.

【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；

根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；

样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，

所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；

样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.

故选：C.

4．C

【分析】设，再根据平面向量基本定理分别表示，进而根据向量共线设，代入向量可得，进而得到.

【详解】设，则，又，

设，则，

故，即，

故.

故选：C

5．C

【分析】先根据题意求得圆锥高度，再利用体积相等求得初始状态圆柱部分沙子的高度，由此得解.

【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为，沙漏下半部分的圆柱高度为，圆锥高度为，上、下底面半径为，

则，又沙漏总高度为，则，

所以，即，解得，

所以初始状态的沙子高度为.

故选：C.

6．B

【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可.

【详解】当时，，

因为函数在区间上恰好有5个，使得，

故在上恰有5条对称轴．令，

则在上恰有5条对称轴，如图：

所以，解得．

故选：B．

7．B

【分析】显然，在第一象限，然后根据已知求出点的坐标，再求出点的坐标，由此可得轴，设出角的角平分线为，求出直线的倾斜角，即可求解．

【详解】解：由已知可得，在第一象限，

将点的坐标代入双曲线方程可得：，解得，所以，，

又由双曲线的方程可得，，所以，则，

所以，且点，都在直线上，又，

所以，所以，

设的角平分线为，则，

所以直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

故选：B．

8．B

【分析】首先根据球的表面积求得求得半径，再根据题意得出当时，点到底面的距离最大，求出点到底面的距离即可求出最大值.

【详解】因为球的表面积为，所以，

由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点到底面的距离最大即可，

又因为平面平面，可知当时，点到底面的距离最大，

外接圆的半径，则到面的距离为，且到面的距离为，

设点到平面的距离为，则，解得，

此时体积最大值为.

故选：B.

9．ACD

【分析】本题考查线性回归方程中回归直线方程、线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，一一检验即可得到正确答案.

【详解】已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，

若，，，则，因此A正确；

线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关，

相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；

反之，线性相关性越弱，因此B错误；

在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此C正确；

由独立性检验可知，没有充分证据推断原假设不成立，即认为与独立，因此D正确.

故选：ACD.

10．BC

【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.

【详解】依题意，令，

对于A，，A错误；

对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；

对于C，，，

所以，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC

11．BC

【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可．

【详解】如图，取的中点，连接，，

因为，分别是，的中点，

所以，且，所以四边形为平行四边形，

则，又正四棱锥的所有棱长均为，

则，所以异面直线，所成角为，故A错误；

设正方形的中心为，连接，，

则平面，，

设的中点为，连接，，

则，且平面，

所以为直线与平面所成角，所以，

中，，，，

所以由余弦定理可得，所以 ，

所以，故B正确；

将正和沿翻折到一个平面内，如图，

当，，三点共线时，取得最小值，

此时，点为的中点，，

所以周长的最小值为，故C正确；

若平面，则，此时点为上靠近点的四等分点，

而此时，与显然不垂直，故D错误；

故选：BC．

12．BCD

【分析】通过函数的奇偶对称性和图像的平移，结合导数的运算，得到函数的对称性，得到周期，再由周期计算函数值验证选项.

【详解】由知函数为偶函数，又，

，则的图像关于轴对称，

所以的图像关于直线对称，有，即，

设，则，（c为常数），

，，所以；

由，两边同时求导，有，可知为奇函数，

函数仍然是奇函数，图像关于原点对称，

又，所以的图像关于点中心对称，有；

函数满足以上函数的性质，但不是奇函数，A选项错误；

和，得，令，则有，所以函数为周期函数，B选项正确；

为的一个周期，则，所以，，所以，D选项正确；

由周期为4知也是的一个周期，所以，即，即，C选项正确.

故选：BCD.

【点睛】此题通过函数的奇偶性和对称性，结合导数的运算，寻找函数图像的对称中心是解题关键，原函数与导函数图像的联系，奇偶性的联系，都是解题的思路.

13．

【分析】由等差数列的性质和离散型随机变量的性质可求得结果.

【详解】因为，，…，构成等差数列，

所以，

因为，所以，

故答案为：

14．/0.4

【分析】根据偶函数的定义即可求解解析式，代入即可求解.

【详解】函数（）是偶函数，

， ，,

故答案为：

15．

【分析】由圆的垂径定理可得，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简可得所求轨迹方程，即可求得答案.

【详解】圆，

所以圆心为，半径为4，设，

由线段AB的中点为D，可得，

即有，

即，

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；

故答案为：.

16．

【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.

【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为，所以方程的两个根为，

即方程的两个根为，

即函数与函数的图象有两个不同的交点，

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

所以当时，，即图象在上方

当时，，即图象在下方

，图象显然不符合题意，所以．

令，则，

设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，

则切线的斜率为，故切线方程为，

则有，解得，则切线的斜率为，

因为函数与函数的图象有两个不同的交点，

所以，解得，又，所以，

综上所述，的取值范围为．

[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导

=0的两个根为

因为分别是函数的极小值点和极大值点，

所以函数在和上递减，在上递增，

设函数，则，

若，则在上单调递增，此时若，则在

上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数

且的极小值点和极大值点，则，不符合题意；

若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以.

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法．

17．(1)0.65

(2)0.9

【分析】（1）方法1：运用全概率公式计算即可.

方法2：设出份数可得三个年级的学生人数及各年级每周运动总时间超过5小时的人数的表达式，运用古典概型求概率即可.

（2）运用正态分布的对称性求得，再结合Y服从二项分布，运用二项分布的期望公式计算即可.

【详解】（1）法一：记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A，B，C，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E.

则，，，

，，.

根据全概率公式，，

即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.

法二：三个年级的学生人数之比为9：6：5，设1份人数为a，

所以高一年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，

高二年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，

高三年级每周运动总时间超过5小时的人数为：，

因此该学生每周运动总时间超过5小时的概率为.

（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且，

所以，

由（1）知，，

所以，

所以，

即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，

因此，

所以，即：随机变量Y的期望为.

18．(1)，

(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理可得，进一步推出为等腰直角三角形得到，在中，由余弦定理可得答案.

（2）在中，由余弦定理可用表示，由正弦定理计算， 在中，由余弦定理可得，得到答案.

【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

，则为等腰直角三角形，

，在中，由余弦定理，

；

（2）在中，，即，

，

在中，由余弦定理可得，

，

当时，的最大值为.

19．(1)证明见解析，；

(2)或.

【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式；

（2）由（1）计算，判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解.

【详解】（1）由得，又，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

，即

当时，

，

又不满足上式，

所以；

（2）由（1）知，

当时，；

当时，，即

所以的最大值为，

依题意，即，

解得或.

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线线平行证得，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；

（2）首先确定直线与平面所成角的平面角为，再应用棱锥体积公式求、，即可得解.

【详解】（1）如图，取的中点M、N，

连接、、，则知，且，

又，且，

所以，且，

则四边形为平行四边形，所以．

∵，M为的中点，∴，

∵平面，平面，∴．

又，平面,平面，∴平面

从而可得平面，由于平面，

所以平面平面，命题得证．

.

（2）由（1）知，平面DAE于，则为CE与平面DAE所成角.

且在中，，由且，得，

又已知平面，平面，∴，

∵平面ABCD，∴平面ABCD，

设，则，那么有，

则，解得，即有．

从而易得，在中，；

又在中，，则知；

∴，即CE与平面DAE所成角的正弦值为．

21．(1)

(2)时存在；时不存在，理由见解析

【分析】（1）写出渐近线并联立曲线E，根据得，进而求离心率；

（2）应用导数几何意义求点处曲线的切线方程，并联立曲线C，结合韦达定理求中点坐标，写出中垂线方程即可求M坐标，结合列方程求，注意满足切线与双曲线有两个交点.

【详解】（1）由题意，与曲线相切，消得：有唯一解，

所以得：，离心率.

（2）由，故点作曲线的切线的斜率为，则，

所以方程为代入中，并整理得

，

设，在，

易得的中点，故中垂线，则点.

若，则，即得，

此时

当，即时，存在实数，使得；

当，即时，不存在实数，使得.

22．(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解；

（2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可；

（ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果.

【详解】（1）∵，则，

若是增函数，则，

且，可得，

故原题意等价于对恒成立，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上递增，在递减，故，

∴的取值范围为.

（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，

∵，则，即，

整理得，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上递减，在递增，

故，即，当且仅当时等号成立，

令，可得，

故；

（ii）∵，则，

可知有两个不同实数根，由（1）知，

可得，

同理可得，

构建，则，

当时，；当时，；当时，；

且，故对恒成立，

故在上单调递减，

∵，则，即，

且，则，故，

可得；

又∵，由（i）可得，即，

则，

且，则，

可得；

综上所述：.

可得，则

故.

【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形．

(2)构造新的函数h(x)．

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．