四川省成都外国语学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com成都外国语学校2019－2020学年度下期半期考试

高一数学试卷(文科)

命题人：王辉        审题人：全鑫

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

2、本堂考试时间120分钟，满分150分

3、答题前，请考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卷上，并用2B铅笔填涂

4、考试结束后，请考生将答题卷交回

第Ⅰ卷（选择题    共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷.

1.已知，则下列不等式成立的是  （   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用作差比较法比较即得正确选项.

【详解】=所以A选项是错误.

=所以B选项是错误的.

=所以C选项是错误的.

=所以D选项是正确的.

.

【点睛】(1)本题主要考查不等式性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.

2.在等比数列中，，，则（  ）

A. 14 B. 28 C. 32 D. 64

【答案】C

【解析】

，所以，所以．

故选C．

3.已知直线倾斜角为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意利用直线的倾斜角和斜率求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．

【详解】解：直线的倾斜角为，

，

则，

故选：A．

【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两角和的正切公式的应用，属于基础题．

4.△ABC中，如果＝＝，那么△ABC是（    ）

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理边化角得，根据同角公式可得，根据余弦函数的单调性可得.

【详解】因为＝＝，

所以由正弦定理可得，

所以，

又函数在上为递减函数，且，

所以，

所以△为等边三角形，

故选：B

【点睛】本题考查了正弦定理边化角，考查了同角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题.

5.已知等差数列中，前n项和满足，则的值是(    )

A. 3 B. 6 C. 7 D. 9

【答案】B

【解析】

【分析】

根据前项和的定义可得，再根据等差数列的性质可得结果.

【详解】因为，所以，

又为等差数列，根据等差数列的性质可得，

所以;

故选：B

【点睛】本题考查了数列的前项和的概念，考查了等差数列的性质，属于基础题.

6.等比数列的前项和为，若，，则（  ）

A. 18 B. 10 C. -14 D. -22

【答案】D

【解析】

【分析】

由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.

【详解】解：设等比数列的公比为，显然，

由求和公式可得①，

②

可得，解得，

代回①可得，

故选D．

【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．

7.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由图形可知，，在中，由勾股定理可求，结合即可得解．

【详解】由图形可知：，，

在中，由勾股定理可得，

，

，．

所以

故选：C.

【点睛】本题主要考查圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

8.已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（    ）

A.  B.  C. 10 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】

可证数列为等差数列，公差为．根据，即可得出．

【详解】由题得，

所以，

所以数列为等差数列，公差为．

，

，解得．

故选：B．

【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的应用，考查等差数列的判定和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9.在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

依题意，解得，由余弦定理得.

【点睛】本题主要考查三角形面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.

10.设当时，函数取得最大值，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先化简已知得，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时的值，得到结果.

【详解】由题得

其中

当，即，

即时，函数取到最大值.

所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题目.

11.设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出直线与两坐标轴的交点，即，，则，然后分别代入1，2，，2020，最后求和即可．

【详解】分别令和，

得到直线与两坐标轴的交点，

则，

然后分别代入1，2，，2020，

则有

．

故选：D.

【点睛】本题主要考查直线方程的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12.在锐角中， ，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据已知求出的范围，即得，再利用正弦定理求出，即得解.

【详解】由题得

因为三角形是锐角三角形，

所以.

由正弦定理得.

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.计算__________

【答案】

【解析】

【分析】

根据两角差的正弦公式变形为，化简求值.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】本题考查两角差的正弦公式，属于基础题型.

14.等比数列的前项和为，则______________

【答案】

【解析】

【分析】

根据公式，分别求，根据，求.

【详解】当时，，

，

因为数列是等比数列，

，解得：.

故答案为：

【点睛】本题考查等比数列的性质，已知等比数列的前项和，求参数，属于基础题型.

15.已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_____________

【答案】1

【解析】

【分析】

首先求定点，代入直线得，再利用基本不等式求的最大值.

【详解】直线

则，解得：，所以定点；

则，且

那么，等号成立的条件是.

故答案为：1

【点睛】本题考查直线过定点，基本不等式求乘积的最大值，属于基础题型，本题的关键是定点问题.

16.若对于任意的，不等式恒成立，则正实数的取值范围为______

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据题意，将式子转化，得到，进一步得到的最小值大于等于9即可，利用基本不等式，进而求得正实数的取值范围.

【详解】由，结合，

可得，

即恒成立，

所以的最小值大于等于9，

又因为，

所以只要即可，

整理得，，

所以正实数的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有应用基本不等式求最值，属于简单题目.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.已知三角形三顶点，，，求：

（）过点且平行于的直线方程．

（）边上的高所在的直线方程．

【答案】（）（）

【解析】

【分析】

(1)利用相互平行的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.

【详解】（1）设所求直线的方程为，由题意得：，所以所求方程：，即.

（2）设直线的方程为，由题意得：，所以所求方程：即.

18.在△中，，，且．

（Ⅰ）求的值；           

（Ⅱ）求的大小．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）通过正弦定理易得，代入即可．（Ⅱ）三边长知道通过余弦定理即可求得的大小．

【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为，

所以．                                              

（Ⅱ）由余弦定理 ．

 因为三角形内角，所以．

【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理，记住公式很容易求解，属于简单题目．

19.已知数列的前项和

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据公式，求数列的通项公式；

（2）由（1）可知，代入后转化为分组求和，求数列的前项的和.

【详解】（1）当，

当时，，

验证当时，成立，

所以；

（2），

【点睛】本题考查数列已知求，和分组求和，重点考查基本公式和方法，属于基础题型.

20.已知函数.

（1）求函数的最小正周期和对称轴；

（2）当时，求函数的值域.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦差角公式、倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，之后求得函数的最小正周期和对称轴方程；

（2）利用题中所给的条件，求得整体角的范围，利用正弦函数的单调性求得相应的正弦值的范围，进而求得函数的值域.

【详解】（1）

，

函数的最小正周期为，

令，得，

所以其对称轴方程为：；

（2）时，，

，所以，

所以当时，求函数值域为.

【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换化简函数解析式，正弦型函数的最小正周期以及对称轴方程，正弦型函数在某给定区间上的值域，属于简单题目.

21.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求角A；

（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值．

【答案】(1) ；(2)

【解析】

【分析】

（1）化简，再用余弦定理和三角形内角和，即可求出角A.

（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可．

【详解】解：（1）由化简得，

由余弦定理

得

又因为，

所以.

（2）由正弦定理得

所以，

当且仅当时取等号．

故（时取等号）．

即面积S的最大值为

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

22.已知等比数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.

（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.

【答案】（1）当时： ；当时：

（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）直接利用等比数列公式得到答案.

（2）利用错位相减法得到答案.

（3）将不等式转化为，根据双勾函数求数列的最大值得到答案.

【详解】（1）

当时：

当时：

（2）数列为递增数列，，

两式相加，化简得到

（3）

设

原式 （为奇数）

根据双勾函数知：或时有最大值.

时，原式 时，原式

故

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.