专题06 空间位置关系的判断与证明- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

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《专题6 空间位置关系的判断与证明- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》1．（浙江省台州市九校联盟2021-2022学年高三下学期期中联考数学试题）已知直线，平面，，且，，，则下列结论一定成立的是（       ）A．，是异面直线 B．C．内所有直线与平行 D．，没有公共点【答案】D【解析】在长方体中，平面平面，视平面为平面，平面为平面，如图，直线为直线a，满足，若直线为直线b，满足，显然有，A不正确；直线为直线a，满足，若直线为直线b，满足，显然，是异面直线，B不正确；直线为直线b，满足，直线，而直线AB与直线b是异面直线，C不正确；因，于是得平面与没有公共点，从而得，没有公共点，D正确.故选：D2．（2022·广东湛江·二模）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，当时，由于，则有，是必要的，因此是必要不充分条件．故选：B．3．（2022·河南焦作·二模）设是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，，，则D．若，，，则【答案】C【解析】对于A中，若，，，则与的关系可能是平行、相交或异面，所以A错误；对于B中，若，，则的关系可能是平行或异面，故错误；对于C中，若，，，，则，因为，所以，故C正确；对于D中，因为，，，所以与相交或平行，所以D错误.故选：C.4．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知经过圆柱旋转轴的给定平面，A，B是圆柱侧面上且不在平面上的两点，则下列判断正确的是（       ）A．不一定存在直线l，且l与AB异面 B．一定存在直线l，且C．不一定存在平面，且 D．一定存在平面，且【答案】B【解析】由题可知：当时，在平面内一定存在直线l，与AB异面；当AB与平面相交时，平面内不经过此交点的直线与AB均异面，所以A错误；AB在平面内的投影为，因为，所以，当且时，显然，而平面，所以平面，而平面，所以，因此B正确；无论同侧，还是异侧，若为过的圆柱轴截面，则，所以C错误；当AB与平面斜交时，不存在平面β，使得，所以D错误.故选：B.5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在正方体中，P是线段上的动点，则（       ）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】B【解析】如图，正方体中，由与平行且相等得平行四边形，得，平面，平面，得平面，同理平面，而是平面内两条相交直线，因此有平面平面，平面，所以平面，故选：B．6．（2022·江苏南通·模拟预测）某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r， 则，，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：B．7．（2022·山西晋中·一模）如图所示，圆柱的轴截面是正方形ABCD，母线，若点E是母线BC的中点，F是的中点，则下列说法正确的是（       ）A． B．点F到平面ABCD的距离为2C．BF⊥AC D．BF与平面ABCD所成的角的大小为【答案】B【解析】如图所示，设O是AB的中点，连接OE，OF，在正方形ABCD中，，可得，在△ABC中，可得，则EF与AC不平行，选项A错误；因为F是的中点，所以OF⊥平面ABCD，所以点F到平面ABCD的距离为2，选项B正确；∠ABF是BF与平面ABCD所成的角，因为OF⊥OB，且OF=OB，∠ABF=，选项D错误；BF与AB不垂直，因此也推不出BF⊥AC，选项C错误．故选：B.8．（2022·山师大附中高二月考）如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（       ） A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，连接交于点，连接，则平面平面，又平面，所以，所以.因为是底面圆的直径，，点为劣弧的中点，连接，所以，所以，易得，所以，则. 故选：B.9．（多选）（2022·江苏省南通中学一模）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（       ）A．水的部分始终呈棱柱状B．水面四边形的面积为定值C．棱始终与水面平行D．若，，则是定值【答案】ACD【解析】由于四边形与四边形全等，且平面‖平面，则由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确，因为‖，平面，所以平面，因为平面，所以，因为‖，，所以因为四边形为矩形，所以水面四边形的面积等于，因为水面四边形的边长不变，在变化，所以水面四边形的面积在变化，所以B错误，容器底面一边固定在底面上时，‖‖，所以由线面平行的判定定理可知，棱始终与水面四边形平行，所以C正确，如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度，设，则，所以为定值，所以当，时， 是定值，所以D正确，故选：ACD10．（多选）（2022·山东泰安·一模）若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列命题正确的是（       ）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为B．点C到平面ABC1D1的距离为C．异面直线D1C和BC1所成的角为D．三棱柱AA1D1- BB1C1外接球半径为【答案】ABD【解析】对选项A，如图所示：连接，交于点.因为正方体，所以四边形为正方形，.又因为平面，平面，所以.平面.所以为直线与平面所成的角，又因为，故选项A正确.对选项B，由上知：平面，所以为点到面的距离.又因为正方体边长为，所以，故选项B正确.对选项C，如图所示：连接，，.因为，所以为异面直线和所成的角.又因为，所以，故选项C错误.对选项D，因为三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，设外接球半径为，，故选项D正确.故选：ABD11．【立体几何中的结构不良问题】（2022·四川泸州·三模）已知直三棱柱中，D为的中点．(1)若，，，求点C到平面ABD的距离；(2)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①；②；③．【解析】 (1)解：因为，，所以，即是直角三角形，，所以，因为直棱柱，所以平面，则点到平面的距离为，连接，平面，所以，因为为的中点，即，所以在中，，所以，同理，，则，所以是等腰三角形，则，设点C到平面ABD的距离为，因为，即，解得，故点C到平面ABD的距离为.(2)选择①②为条件，证明③成立：证明：连接，因为，，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又直棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，所以.选择①③为条件，证明②成立：证明：连接，因为，为的中点，所以，因为直棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.选择②③为条件，证明①成立：证明：连接，因为，为的中点，所以，因为直棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以.12【空间平行关系的证明与几何计算】（百师联盟2022届高三二轮复习联考数学试题）如图，四棱锥中，底面．底面为菱形，且，，E，M，N分别为棱的中点．F为上的动点， (1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为2，求棱的长．【解析】 (1)证明：因为E，M为的中点，则，又平面，平面，所以平面，M，N分别为棱的中点，所以又平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面平面，所以平面．(2)底面为菱形，则，因为，在中，由余弦定理得，则设点F到平面的距离为a，又平面．则．由得，解得，则．13．【空间平行关系的证明与几何计算】（甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学试题）直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．(1)求证：平面；(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．【解析】 (1)证明：取BC中点为，连接，，因为点、分别为，的中点，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；(2)因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，又为正方形，，，所以，且，，，又，所以平面，即平面，所以当点为中点时，三棱锥的体积.14．【空间垂直关系的证明与几何计算】（四川省宜宾市2022届高三第二次诊断测试数学试题）如图，在四棱锥中，，，，，，为线段的中点，且．(1)求证：平面；(2)若过三点的平面将四棱锥分成上，下两部分，求上面部分的体积．【解析】 (1)证明：连接，    ， 　　 　　　   ……，　　 　　　　…….　　　　(2)作的中点，连接为的中点， ．　　　　　　       平面                                                         ，　     15．【空间垂直关系的证明与几何计算】（安徽省安庆市2022届高三下学期二模数学试题）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)证明：平面；(2)若直线与底面所成的角为，求点到平面的距离.【解析】 (1)，，，；作于，则，；在中，，，即；平面平面，，平面平面，平面，又平面，，平面，，平面.(2)平面，与底面所成的角是.在中，，，，；设为点到平面的距离，，，，即点到平面的距离为16.【立体几何中的折叠问题】（山西省临汾市2022届高三二模数学试题）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体.(1)求证：；(2)求四棱锥的体积.【解析】 (1)证明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因为，，平面，所以平面，在中，，在中，，则，因为，所以平面，所以；(2)由（1）可知平面，平面，所以，分别为三棱锥、三棱锥的高，在中，，所以，则，所以.17．【立体几何中的折叠问题】（皖江名校联考2021-2022学年高三上学期第四次联考数学试题）如图1，直角梯形ABCD中AD∥，将梯形沿中位线EF折起并连接AB，CD得到图2所示的多面体，且(1)证明：BE⊥平面AEF；(2)求点F到平面ACE的距离.【解析】 (1)由梯形中位线性质可得折起后，平面，∴平面AEF；(2)由(1)BE⊥平面AEF，得三棱锥C—AEF的高,底面积，∴三棱锥C—AEF的体积,又由题设，∵，设点F到平面ACE的距离为h，则，即求点F到平面ACE的距离等于.18.【立体几何中的探索问题】（重庆市天星桥中学2022届高三上学期学业质量调研抽测（一）数学试题）如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点．(1)求证：CE//平面PAB；(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由．【解析】 (1)如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点，所以且，又BC//平面PAD，面，且面面，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，而面，面，则面.(2)取中点N，连接，，∵E，N分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，线段存在点N，使得平面，理由如下：由（1）知：平面，又，∴平面平面，又M是上的动点，平面，∴平面PAB，∴线段存在点N，使得MN∥平面．19．【立体几何中的探索问题】（河南省驻马店市环际大联考圆梦计划2021-2022学年高三阶段性考试（二）数学试题）如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：；（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，所以；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：因为、分别是、的中点，所以，又平面，平面，所以平面.由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，又平面，平面，所以平面.又因为，所以，平面平面20．【立体几何中的探索问题】（陕西省西安市阎、高、蓝、周四区2022届高三下学期一模数学试题）如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形平面，且.(1)求证：.(2)线段上是否存在一点F，使三棱锥的高？若存在，请求出F的位置；若不存在，请说明理由.【解析】 (1)平面，平面，.又因为是正方形，所以，，因此平面.，平面，.(2)，，，,假设线段上存在一点F满足题意,平面，，由（1）知，平面，,,，平面，平面，平面,∴点F到平面的距离与点A到平面的距离相等,，,，解得,，,线段上存在点F且.