2023年广东省深圳市宝安第一外国语学校中考数学三模试卷

2023年广东省深圳市宝安第一外国语学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列式子正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，与是位似图形，点为位似中心，已知：：，则与的周长比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6.  有四张完全相同的卡片，上面分别写着、、、，从中一次抽取两张卡片，这两张卡片上的数字的和为正数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在反比例函数为常数的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列命题是假命题的是(    )

A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 对顶角相等
C. 邻补角一定互补 D. 三角形中至少有一个角大于或等于

9.  如图，在矩形中，，在上取一点，连接、，将沿翻折，使点落在处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上，若点恰好为的中点，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒设、同时出发秒时，的面积为已知与的函数关系图象如图曲线为抛物线的一部分，则下列结论：；；当时，；当秒时，∽；其中正确的结论是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分式方程的解是______ ．

12.  年月日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为亿人用科学记数法表示亿人，可以表示为______ 人

13.  设，是方程的两个实数根，则的值为______．

14.  如图，在菱形中，，，点为的中点，交于点，连接，则线段的长为______ ．

15.  如图，在正方形中，点在对角线上，点，分别在边和上，且，若，，则的长度为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值，其中．

18.  本小题分
某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据图中信息解答下列问题：
补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“”这组的百分比        ；
已知“”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，这组数据的众数是        分；抽取的名学生测试成绩的中位数是        分；
若成绩达到分以上含分为优秀，请你估计全校名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．

19.  本小题分
随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距千米的，两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发小时车可追上车．
求，两车的平均速度分别为多少千米时；
两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，车要想在出发后小时内追上车，求车的平均速度要在原速上至少提高多少千米时？

20.  本小题分
如图，点是外一点，与相切于点，，是上的另外两点，连接，，，
求证：是的切线；
若，的半径为，，求的长．

21.  本小题分
北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点做水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．
当小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度最大为米，则______．
在的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于米，求跳台滑出点的最小高度．

22.  本小题分
某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元，购买本手绘纪念册和本图片纪念册共需元．
每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？
该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共本，总费用不超过元，则最少要购买图片纪念册多少本？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式以及幂的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】
解：如图，

，，
，
，，
，
，
，
，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，
∽，，
∽，
，
：：，
：：，
与的周长比：，
故选：．
根据位似变换的性质得到∽，，得到∽，根据相似三角形的性质求出：，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两个数字的和为正数的结果数有种，
这两张卡片上的数字的和为正数的概率是，
故选：．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
函数图象位于二、四象限，
，位于第二象限，，
；
又位于第四象限，
，
．
故选：．
先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当时，在每个象限内，反比例函数值随的增大而增大．
 

8.【答案】 

【解析】解：、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
B、对顶角相等，是真命题；
C、邻补角一定互补是真命题；
D、三角形中至少有一个角大于或等于，是真命题；
故选：．
分别利用对顶角、平行线的性质和邻补角以及三角形的内角分析得出即可．
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出的长是本题的关键．
由折叠的性质可得，，，，由中点性质可得，可得，由勾股定理可求可求的长，由“”可证≌，可得，即可求解．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质可得：，，，，
点恰好为的中点，
，
，
，
，，，
，
解得：，
，，，
，
在和中，
≌，
，
．  

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，
四边形为矩形，
，
，
故正确，符合题意；
当到达点，到达点时，
，
，
，
故错误，不符合题意；
由图象知，，，
当时，点在边上，
过点作于点，如图所示：

，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
，，，，
与相似，
点只有在上，且满足，
，
，
，
当秒时，∽，
故正确，符合题意；
故选：．
先根据图象信息求出、、、、，直接判断；根据直角三角形的锐角三角函数可知求出可以判断；当时，点在边上，过点作于点，先求出，的长，由三角形的面积公式求出与的函数解析式，可以判断；先假设∽，求出的值，可以判断．
本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识、解直角三角形．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当，时，，
是原方程的解．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：亿，
故答案为：．
把一个大于的数写成科学记数法形式：，其中，为正整数，的值比这个数的整数位数少．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算．
本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于，过点作于，如图，

四边形为菱形，
，，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
垂直平分，
，
在中，
，，
，
，
，，
，
∽，
：：，
即：：，
解得，
，
，
故答案为：．
延长交的延长线于，过点作于，如图，先根据菱形的性质得到，，则，再证明≌得到，于是可判断垂直平分，所以，在中利用含度角的直角三角形三边的关系计算出，，然后证明∽，利用相似比求出的长，从而得到的长．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，交于点；过点作交于点，交于点，

四边形是正方形，是对角线，
，，，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作交于点，设，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，交于点；过点作交于点，交于点；根据四边形是正方形，是对角线，则，；根据，由勾股定理得，则，；过点作交于点，设，根据勾股定理，，根据相似三角形的判定和性质，得∽，得，求出，根据解答即可．
本题考查正方形的性质，相似三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：人，人，
补全频数分布直方图如下：

；
故答案为：；
将“”这组数据进行排序：
，，，，，，，，，，，，出现次数最多的为，
众数为分，
故答案为：；
“”分的人数已有人，
第和名的成绩分别是是分，分，
中位数是分；
故答案为：；
人．
优秀人数是人．
先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数分布直方图；
用“”这组的频数除以样本容量即可；
根据众数和中位数的定义求解即可；
用乘以分以上人数所占的比例即可．
本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数．
 

19.【答案】解：可设车的平均速度为千米时，车的平均速度为千米时，依题意有：
，
解得．
故A车的平均速度为千米时，车的平均速度为千米时；
设车的平均速度要在原速上提高千米时，依题意有：
，
解得．
故A车的平均速度要在原速上至少提高千米时． 

【解析】可设车的平均速度为千米时，车的平均速度为千米时，根据若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发小时车可追上车；列出方程组求解即可；
设车的平均速度要在原速上提高千米时，根据两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，车要想在出发后小时内追上车，列出不等式求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：连接，，如图所示：

，，
，
，
切于点，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：延长并延长交于，连接，过作于，如图所示：

，，
，
，四边形是矩形，
，
，
、是的切线，
，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
解得：，
即的长为． 

【解析】连接，，由圆周角定理和已知条件，得出，求出，即可得出结论；
延长并延长交于，连接，过作于，由垂径定理得出，由勾股定理得出，在中，设，由勾股定理得出方程，解方程即可
本题考查了切线的性质和判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和垂径定理，作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度最大为米，
的顶点为，
，
解得，
故答案为：；
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，舍去，
运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
抛物线，
当时，运动员到达坡顶，
，
解得，
，
与坡顶距离不低于米，
，
解得：．
跳台滑出点的最小高度为米．
由的顶点为，可得关于的方程，即可解得答案．
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出即可；
先求出，再根据与坡顶距离不低于米列出关于的不等式，即可解得答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合．
 

22.【答案】解：设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元．
设可以购买图片纪念册本，则购买手绘纪念册本，
依题意得：，
解得：．
答：最少能购买手绘纪念册本． 

【解析】设每本手绘纪念册的价格为元，每本图片纪念册的价格为元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买手绘纪念册本，则购买图片纪念册本，根据总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式