2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题练习—解答题（基础题）含解析

这是一份2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题练习—解答题（基础题）含解析，共38页。试卷主要包含了计算，在抛物线y＝ax2+bx+2上等内容，欢迎下载使用。

2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题试卷练习
—解答题（基础题）
目录
一．实数的运算（共2小题） 1
二．二次根式的性质与化简（共1小题） 2
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 2
四．二次函数的性质（共1小题） 2
五．二次函数图象与几何变换（共1小题） 3
六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 3
七．抛物线与x轴的交点（共1小题） 4
八．三角形的重心（共1小题） 4
九．*平面向量（共1小题） 4
一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 5
一十一．作图—应用与设计作图（共1小题） 5
一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题） 5
一十三．特殊角的三角函数值（共4小题） 7
一十四．解直角三角形（共1小题） 8
一十五．解直角三角形的应用（共1小题） 8
一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 8
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 9

一．实数的运算（共2小题）
1．（2023•宝山区一模）计算：．
2．（2023•青浦区一模）计算：．
二．二次根式的性质与化简（共1小题）
3．（2023•长宁区一模）计算：．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2023•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，a）．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，新函数的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．

四．二次函数的性质（共1小题）
5．（2023•松江区一模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．
（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；
（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．

五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
6．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．
（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．

六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
7．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．
（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线 　 　；
（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
8．（2023•长宁区一模）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．
（1）求t的值并写出函数解析式；
（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
七．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2023•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+9．
（1）用配方法把二次函数y＝﹣3x2+6x+9化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；
（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积．

八．三角形的重心（共1小题）
10．（2023•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．
（1）设，＝　 　（用向量表示）；
（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．

九．*平面向量（共1小题）
11．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．
（1）求证：∠BAE＝∠C；
（2）设＝，＝，用向量、表示向量．

一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
12．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．
（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；
（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．

一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
13．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：
（1）S△ABC＝　 　；sin∠ABC＝　 　；
（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP＝S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）

一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）
14．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．
（1）求的值；
（2）联结FC，设，，那么＝　 　，＝　 　.（用向量、表示）

15．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．
（1）求证：AE•BD＝AD•DC；
（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．

16．（2023•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．
（1）求证：△BDG∽△CBA；
（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．

17．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．
（1）如果BC＝4，求DE的长；
（2）设＝，＝，用、表示．

18．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF．
（1）求EA：AB的值；
（2）如果，，试用、表示向量．

19．（2023•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE相交于点F，∠AFE＝∠ABC，AB2＝AE•AC．
（1）求证：△ABF∽△BCE；
（2）求证：DF•BC＝DB•CE．

一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）
20．（2023•崇明区一模）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．
21．（2023•金山区一模）计算：+2cot30°•sin60°．
22．（2023•普陀区一模）计算：﹣4cot30°•cos230°．
23．（2023•奉贤区一模）计算：4cos30°•sin60°+．
一十四．解直角三角形（共1小题）
24．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．
（1）求∠ABC的正切值；
（2）求的值．

一十五．解直角三角形的应用（共1小题）
25．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）


一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
26．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？


一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
27．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）


上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（基础题）
答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2023•宝山区一模）计算：．
【正确答案】﹣3﹣2．
解：原式＝2×﹣|1﹣|+
＝1﹣（﹣1）+
＝1﹣+1﹣2（+2）
＝2﹣﹣2﹣4
＝﹣3﹣2．
2．（2023•青浦区一模）计算：．
【正确答案】．
解：
＝
＝
＝．
二．二次根式的性质与化简（共1小题）
3．（2023•长宁区一模）计算：．
【正确答案】﹣1．
解：原式＝+
＝+（2﹣）
＝+﹣
＝﹣1．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2023•普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，a）．
（1）求这个正比例函数的解析式；
（2）将这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，新函数的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．

【正确答案】（1）y＝x；
（2）．
解：（1）根据题意，将点A（3，a）代入反比例函数y＝，
得3a＝3，
解得a＝1，
∴点A坐标为（3，1），
将点A（3，1）代入正比例函数y＝kx，
得3k＝1，
解得k＝，
∴正比例函数解析式为y＝x；
（2）这个正比例函数的图象向上平移m（m＞0）个单位，得y＝，
设点B横坐标为t，则纵坐标为，
∵点B的纵坐标是横坐标的3倍，
∴＝3t，
解得t＝1或t＝﹣1（舍），
∴点B坐标为（1，3），
将点B坐标代入y＝，
得3＝+m，
解得m＝．
四．二次函数的性质（共1小题）
5．（2023•松江区一模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．
（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；
（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．

【正确答案】（1）二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）画图象见解答过程；
（3）当x≤1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大．
解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；
（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：

（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，
当x＞1时，y随x的增大而增大．

五．二次函数图象与几何变换（共1小题）
6．（2023•奉贤区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位．
（1）求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
（2）在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．

【正确答案】（1）平移后新抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）2+2，抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；
（2）图象见解答．
解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位得新抛物线解析时为y＝﹣（x﹣1+3）2+4﹣2，即y＝﹣（x+2）2+2，
∴抛物线开口方向向下，顶点坐标为（﹣2，2），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；
（2）∵抛物线的顶点为（﹣2，2），对称轴为x＝﹣2，
当x＝﹣1或﹣3时，y＝1，当x＝0或﹣4时，y＝﹣2，
∴用五点法画出函数图象，如图所示：


六．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
7．（2023•杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．
（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线 　x＝2　；
（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
【正确答案】（1）x＝2；
（2）y＝x2﹣3x+2，（，﹣）．
解：（1）∵A（1，m）、B（3，n），m＝n，
∴点A和点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
故x＝2；
（2）把A（1，m）、B（3，n）分别代入y＝x﹣1得m＝0，n＝2，
∴A（1，0）、B（3，2），
把A（1，0）、B（3，2）分别代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，
∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．
8．（2023•长宁区一模）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．
（1）求t的值并写出函数解析式；
（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【正确答案】（1）t＝2，y＝4x2﹣4x﹣3；
（2）开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．
解：（1）根据题意得t+2≠0且t2﹣2＝2，
解得t＝2，
所以抛物线解析式为y＝4x2﹣4x﹣3；
（2）y＝4x2﹣4x﹣3＝4（x﹣）2﹣4，
∵a＝4＞0，
∴该二次函数图象的开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．
七．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2023•徐汇区一模）已知二次函数y＝﹣3x2+6x+9．
（1）用配方法把二次函数y＝﹣3x2+6x+9化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；
（2）如果将该函数图象向右平移2个单位，所得的新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，求四边形DACB的面积．

【正确答案】（1）y＝﹣3（x﹣1）2+12，图象开口向下，对称轴x＝1，顶点坐标为（1，12）；
（2）54．
解：（1）y＝﹣3x2+6x+9
＝﹣3（x2﹣2x）+9
＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）+9
＝﹣3（x﹣1）2+12，
∴y＝﹣3（x﹣1）2+12，
∵﹣3＜0，
∴图象开口向下，
则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，12）；
（2）根据题意可得平移后的解析式为：y＝﹣3（x﹣3）2+12，
∴顶点坐标为（3，12），即D（3，12），
当y＝0时，即﹣3（x﹣3）2+12＝0，解得：x1＝1，x2＝5，
∵新函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），
∴A（1，0），B（5，0），
当x＝0是，y＝﹣15，
∴点C的坐标为（0，﹣15），
如图所示S四边形ACBD＝S△ABD+S△ABC
＝×4×12+×4×15
＝54，
∴四边形DACB的面积为54．

八．三角形的重心（共1小题）
10．（2023•杨浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．
（1）设，＝　　（用向量表示）；
（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．

【正确答案】（1）；
（2）边AC的长为3．
解：（1）连接AG并延长交BC于M，如图：

∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2MG，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴DE＝BC，
∵＝，DE∥BC，
∴＝；
故；
（2）∵AB＝9，由（1）知＝，
∴AD＝6，
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即AC2＝AB•AD，
∴AC2＝9×6，
解得AC＝3（负值已舍去），
∴边AC的长为3．

九．*平面向量（共1小题）
11．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．
（1）求证：∠BAE＝∠C；
（2）设＝，＝，用向量、表示向量．

【正确答案】（1）证明见解答；
（2）＝2﹣．
（1）证明：∵BD＝AB＝BC，E是BD的中点，
∴BE＝BD，
∴＝，＝＝，
又∵∠ABE＝∠CBA，
∴△ABE∽△CBA，
∴∠BAE＝∠C；
（2）解：∵＝，＝，
∴＝﹣＝﹣，
∵BD＝AB＝BC，
∴BD＝DC，
∴＝＝﹣，
∴＝+＝+﹣＝2﹣．
一十．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
12．（2023•宝山区一模）如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．
（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；
（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．

【正确答案】（1）；
（2）120°．
解：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，
∵CD平分AB，
∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，
在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径为；
（2）连接OB，如图，
∵DE＝3EC，
∴OC+OE＝3EC，
即OE+CE+OE＝3CE，
∴OE＝CE，
∴OE＝OC＝OA，
在Rt△OAE中，∵sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
即弦AB所对的圆心角的度数为120°．

一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
13．（2023•杨浦区一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：
（1）S△ABC＝　4　；sin∠ABC＝　　；
（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP＝S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）

【正确答案】（1）4，；
（2）作图见解答过程．
解：（1）由图可得：
S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，
过A作AD⊥BC于D，如图：

∵וAD＝4，
∴AD＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故4，；
（2）如图：

点P即为所求点．


一十二．相似三角形的判定与性质（共6小题）
14．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3．
（1）求的值；
（2）联结FC，设，，那么＝　　，＝　　.（用向量、表示）

【正确答案】（1）；
（2），．
解：∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE＝CD，
∵EF：CD＝1：3，
∴EF：AE＝1：3，EF：AF＝1：2，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴；
（2）联结FC，如图，

由（1）可得AF＝2EF，
∵，
∴，，
∴＝，
＝，
∵，AD＝EC，
∴，
∴＝＝，
∴＝＝．
故，．
15．（2023•奉贤区一模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在对角线BD上，∠EAD＝∠BDC．
（1）求证：AE•BD＝AD•DC；
（2）如果点F在边DC上，且，求证：EF∥BC．

【正确答案】（1）（2）证明见解析．
证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠EAD＝∠BDC，
∴△ADE∽△DBC，
∴AE：AD＝DC：BD，
∴AE•BD＝AD•DC；
（2）∵AE：AD＝DC：BD，且，
∴＝，
而∠EDF＝∠BDC，
∴△DEF∽△DBC，
∴∠DEF＝∠DBC，
∴EF∥BC．
16．（2023•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．
（1）求证：△BDG∽△CBA；
（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．

【正确答案】（1）证明见解答过程；
（2）60．
（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵EF垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵∠GBD＝∠C，∠BDG＝∠CBA，
∴△BDG∽△CBA；
（2）解：由（1）知△BDG∽△CBA，
∴＝，
∵AB＝18，DG＝6，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵S△ADC＝180，
∴S△ABD＝90，
∵AC＝AB＝18，DG＝6，
∴AG＝12，
∴＝，
∴＝，
∴S△ABG＝S△ABD＝×90＝60．
17．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．
（1）如果BC＝4，求DE的长；
（2）设＝，＝，用、表示．

【正确答案】（1）DE＝；
（2）＝+．
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AD＝2DB，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝BC，
∵BC＝4，
∴DE＝；
（2）由（1）知DE＝BC，
∴BC＝DE，
∵DE∥BC，＝，
∴＝，
∴＝+＝+．
18．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF．
（1）求EA：AB的值；
（2）如果，，试用、表示向量．

【正确答案】（1）EA：AB的值为；
（2）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
∴，
∵DF＝2AF，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DF＝2AF，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
19．（2023•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD、BE相交于点F，∠AFE＝∠ABC，AB2＝AE•AC．
（1）求证：△ABF∽△BCE；
（2）求证：DF•BC＝DB•CE．

【正确答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
证明：（1）∵AB2＝AE•AC，
∴，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABF＝∠C，∠ABC＝∠AEB，
∵∠ABC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴180°﹣∠AFE＝180°﹣∠AEB，即∠AFB＝∠BEC，
∴△ABF∽△BCE；
（2）∵△ABF∽△BCE，
∴，∠CBE＝∠BAF，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴，
∴＝，
∴DF•BC＝DB•CE．
一十三．特殊角的三角函数值（共4小题）
20．（2023•崇明区一模）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．
【正确答案】2﹣+1．
解：原式＝4×﹣×+2×（）2
＝2﹣+2×
＝2﹣+1．
21．（2023•金山区一模）计算：+2cot30°•sin60°．
【正确答案】4．
解：原式＝+2××
＝+3
＝1+3
＝4．
22．（2023•普陀区一模）计算：﹣4cot30°•cos230°．
【正确答案】﹣4．
解：原式＝﹣4×
＝﹣3
＝﹣﹣3
＝﹣4．
23．（2023•奉贤区一模）计算：4cos30°•sin60°+．
【正确答案】5+．
解：原式＝4××+
＝3+
＝3+2+
＝5+．
一十四．解直角三角形（共1小题）
24．（2023•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．
（1）求∠ABC的正切值；
（2）求的值．

【正确答案】（1）tanB＝；
（2）＝2．
解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：

∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BH＝CH＝BC＝6，
在Rt△ABH中，
AH＝＝＝8，
∴tanB＝＝＝；
（2）由（1）知tanB＝，
∴tanC＝，
∴＝，
∵D是AC的中点，AC＝10，
∴CD＝5，
∴DE＝4，CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，
∵tanB＝，
∴＝，
∴EF＝12，
∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，
∴＝＝2．

一十五．解直角三角形的应用（共1小题）
25．（2023•杨浦区一模）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）


【正确答案】见试题解答内容
解：过P作PH⊥AB于H，如图：

由已知可得，PH＝50米，
在Rt△APH中，
∵∠PAH＝45°，
∴∠APH＝∠PAH＝45°，
∴AH＝PH＝50米，
在Rt△BPH中，
tan30°＝，
∴BH＝＝50≈86.6米，
∴AB＝AH+BH≈136.6米，
∵60千米/小时＝米/秒，
而136.6÷≈8.2（秒），
∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．

一十六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
26．（2023•崇明区一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．
（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；
（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？


【正确答案】（1）标尺与路灯间的距离为8米；
（2）此时标尺与路灯间的距离为14米．
解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，
由题意可知，AB＝9米，EF＝3米，FG＝4米，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△GEF∽△GAB，
∴，即，
∴BG＝12米，
∴BF＝BG﹣FG＝12﹣4＝8（米），
∴标尺与路灯间的距离为8米；

（2）如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，
由题意可得，CF+CH＝4米，，
设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，
∴MF＝BN＝HP＝米，MH＝米，
∴AN＝米，ME＝米，
∵BC＝15.5米，
∴NH＝米，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴∠EMH＝∠ANH，∠HEM＝∠HAN，
∴△HEM∽△HAN，
∴，即，
整理得：2x2+9x﹣35＝0，
解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），，
则CF＝4﹣x＝4﹣＝1.5（米），
∴BF＝BC﹣CF＝15.5﹣1.5＝14（米），
∴此时标尺与路灯间的距离为14米．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
27．（2023•松江区一模）小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

【正确答案】旗杆AB的高度是12.1米．
解：设直线EF交AB于G，如图：

根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，
∴△AEG的等腰直角三角形，
∴AG＝GE，
设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，
∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，
在Rt△AGF中，
tan∠AFG＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝10.5，
∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，
答：旗杆AB的高度是12.1米．