山东省泰安市2020-2021学年高二下学期期末考试 数学试题

泰安市2020-2021学年高二下学期期末考试

数学试题

2021.07

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数的单调递减区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

2.已知函数，则（    ）

A.5  B.  C.  D.10

3.在4重伯努利试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4.已知是函数在上的导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

5.航空母舰“山东舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰，如果甲乙两机必须相邻着舰，而甲丁两机不能相邻着舰，则不同的着舰方法有（    ）

A.36  B.24  C.16  D.12

6.整数除以7的余数为（    ）

A.6  B.5  C.3  D.1

7.某学校高三5班要从8名班干部(其中5名男生，3名女姓)中选取3人参加学校优秀班干部评选，设事件男生甲被选中”，事件“有两名女生被选中”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8.某大学暑期将开展“贫困山区留守儿童支教”活动，学校打算安排3名老师和4名学生分别去甲，乙，丙三个山区，其中1名老师和2名学生去甲地支教，另外2名老师和2名学生分两组(每组老师和学生各1人)分别去乙，丙两地支教，则所有不同的安排方案有（    ）

A.36种  B.48种  C.72种  D.144种

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列结论正确的是（    ）

A.若，则

B.若，则

C.在的展开式中，含的项的系数是220

D.的展开式中，第4项和第5项的二项式系数最大

10.若随机变量，的概率分布密度函数分别为，，，的图象如图所示，，，则下列结论正确的是（    ）

附：若随机变量，则，，.

A.  B.

C.   D.

11.设随机变量的分布列为，，，分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12.已知函数，，则下列结论正确的是（    ）

A.当时，在处的切线方程为

B.当时，在上存在唯一极大值点

c.存在，使得有且仅有2个零点

D.存在，使得有且只有一个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某射手射击所得环数的分布列如下：

已知的数学期望，则______.

14.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为______，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为______.

15.如图所示，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有5种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为______.

16.已知函数，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知在二项式的展开式中，前三项系数的和是97.

(1)求的值；

(2)求其展开式中所有的有理项.

18.(12分)

右图是某市2014年至2020年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的散点图.

注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020.

(1)由散点图看出，可用一元线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立关于的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测2022年该市生活垃圾无害化处理量.

参考公式：，

经验回归方程中，.

参考数据：，，，.

19.(12分)

已知函数，其中.

(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性.

20.(12分)

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的甲，乙两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用甲种生产方式，第二组工人用乙种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：)绘制了如下表格：

(1)将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

(2)根据(1)中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为甲，乙两种生产方式的效率有差异?

(3)若从完成生产任务所需的工作时间在的工人中选取3人去参加培训，设为选出的3人中采用甲种生产方式的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

附：

21.(12分)

某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6，市场销售价格(单位：元/kg)与其概率的关系满足.

(1)设表示此果农某季所获得的利润，求的分布列和数学期望；

(2)求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.

22.(12分)

已知函数，其中.

(1)若，求的极值；

（2）证明：.

高二年级考试

数学试题参考答案及评分标准

2021.07

一、选择题：

二、选择题：

三、填空题：

13.0.3  14.0.0525(2分)，(3分)  15.260  16.

四、解答题：

17.(10分)

解：依题意：

(1)∵前3项系数和是97，

∴，解得或(舍)

∴.

(2)若为有理数，当且仅当为整数时，

∵，，

∴

∴展开式中的有理项共有5项，分别为

，，，，.

18.(12分)

解：(1)由散点图中数据和参考数据得，

，，，

，

∴.

因为与的相关系数近似为0.99.说明与的线性相关程度相当高.从而可以用一元线性回归模型拟合与关系。

(2)由及(1)得

，

.

所以关于的经验回归方程为：

将2022年对应的代入经验回归方程得，.

所以预测2022年该市生活垃圾无害化处理量将约1.83万吨.

19.(12分)

解：(1)当时，，则，

∴，

∴函数的图象在点处的切线的斜率为，

又点在切线上.且，

∴函数的图象在点处的切线方程为.

（2）的定义域为.

.

①若.即时，则，

∴在上单调递增，

②若，即时，

当时.；当，时，，

∴在上单调递减，在，上单调递增.

③若.即时，

当时，；当，时，，

∴在上单调递减，在，上单调递增.

20.(12分)

(1)列联表如下：

(2)零假设为

：甲，乙两种生产方式的效率无差异

根据(1)中列联表中的数据，经计算得到

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为甲，乙两种生产方式的效率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.

(3)由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2

，，，

所以的分布列为

∴.

21.(12分)

解：(1)设事件“此水果的亩产量为”，事件“此水果的市场销售价格为”.

由题知，，

因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以的所有可能取值为

.

.

.

.

∴，

，

，

.

所以的分布列为

∴.

(2)设事件“第年利润高于100万元”()

由题知，，，，，，相互独立，由(1)知，

5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为

所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592.

22.(12分)

解：由题知，的定义域为，.

(1)若，则，

，

当时，；当时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减.

∴当时，取得极大值，极大值为，无极小值。

(2)由(1)知，原不等式等价于恒成立。

∵，

∴.

要证恒成立，只需证恒成立即可.

令，则.

令，解得，令，解得或，

∴在上单调递增，在，上单调递减.

∴的最大值在或处取得，又，，

∴

∴恒成立，

∴在上恒成立，

∴.