广东省清远市2021-2022学年高二下学期期末质量检测 数学

清远市2021~2022学年第二学期高中期末质量检测

高二数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（）

A. 16 B. 15 C. 12 D. 8

【答案】D

2. 下列求导运算正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

3. 袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

4. 已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

5. 回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（）

A. 25 B. 20 C. 30 D. 36

【答案】A

6. 已知随机变量，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

7. 已知函数在上单调递增，则实数的最小值为（）

A.  B. 2 C.  D. 1

【答案】A

8. 函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（）

A. 是的零点

B. 是的极大值点

C. 在区间上单调递增

D. 在区间上不存在极小值

【答案】B

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，已知，，则（）

A. 数据的平均数为0

B. 若变量的经验回归方程为，则实数

C. 变量的样本相关系数越大，表示模型与成对数据的线性相关性越强

D. 变量的决定系数越大，表示模型与成对数据拟合的效果越好

【答案】BD

10. 已知展开式中的二项式系数和为32，若，则（）

A. n＝5

B.

C.

D.

【答案】ABD

11. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）

A. 所有可能的安排方法有125种

B. 若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种

C. 若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种

D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种

【答案】AB

12. 已知函数和，若，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.

13. 展开式中常数项为________．

【答案】24

14. 函数的图象在点处的切线方程为___________.

【答案】

15. 某学校高一､高二､高三的学生人数之比为，这三个年级分别有的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为___________.

【答案】

16. 为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取包食盐，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一包食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差.已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为___________.附：若随机变量服从正态分布，则.

【答案】

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：在中，内角的对边分别为，且满足___________.

（1）求角；

（2）若，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）

（2）

18. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），

（2）

19. 为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．

（1）若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：

请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．

（2）假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为，求的分布列及数学期望．

参考公式及数据：，其中．

【答案】（1）填表见解析；没有

（2）分布列见解析；期望为

【小问1详解】

列联表如下：

零假设为

：选拔赛成绩与性别无关．

根据列联表，

得，

所以没有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．

【小问2详解】

该学生参加选拔赛次数的可能取值为2，3，4．

，

，

．

故的分布列为

．

20. 如图，在三棱锥中，平面，点分别是的中点，且.

（1）证明：平面.

（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【小问1详解】

由平面，平面，则.

又，点为的中点，所以.

由为的中点，则，即，

所以，即，又，面，

所以平面.

【小问2详解】

由（1）得：，以点为坐标原点，以为轴，轴的正方向，以为轴的正方向建立空间直角坐标系.

因为，所以，

故，，，，

设平面的法向量为，则，令，故.

设平面的法向量为，则，令，故，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

21. 已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.

【答案】（1）

（2）

22. 已知函数，．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设m，n为正数，且当时，，证明：．

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

【小问1详解】

的定义域为，

（）．

①当时，，令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增．

②当时，因为的判别式，

所以有两正根，，且．

令，得或；

令，得．

所以在和上单调递减，在上单调递增．

综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递减，在上单调递增;

【小问2详解】

证明：因为，所以（）．

设，

则．

当时，因为，，

令，

则．

令，因为，则，所以在上单调递增，

又，所以，则，所以在上单调递增，

又，所以，则在上单调递增．

又，所以，则．

因为，，所以．

又，

所以在上单调递减，所以，整理得．

又当时，令，则，

所以在上单调递增，，则在上单调递增，所以．

故．