2023年湖南省怀化市中考数学试卷（含解析）

2023年湖南省怀化市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”世界首个全超导托卡马克东方超环装置取得重大成果，在第次实验中成功实现了秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀或刻刀为工具进行创作的艺术民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某县“三独”比赛独唱项目中，名同学的得分分别是：，，，，关于这组数据，下列说法正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

8.  下列说法错误的是(    )

A. 成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B. 一元二次方程有两个相等的实数根
C. 任意多边形的外角和等于
D. 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心

9.  已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：当为定值时，如图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点已知点的坐标为，点为轴上任意一点如果，那么点的坐标为(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  要使代数式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  分解因式：          ．

13.  已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______ ，另一个根为______ ．

14.  定义新运算：，其中，，，为实数例如：如果，那么 ______ ．

15.  如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，则点到直线的距离为______ ．

16.  在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到；第二次旋转将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，依次类推，得到，则的边长为______ ，点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再从，，，中选择一个适当的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．
证明：≌；
连接、，证明：四边形是菱形．

20.  本小题分
为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高碑顶到水平地面的距离，于是师生组成综合实践小组进行测量他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是、、在同一直线上，根据以上数据求烈士纪念碑的通高，结果保留一位小数

 

21.  本小题分
近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：

所抽取的学生人数为______ ；
补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．

22.  本小题分
如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点连接、、，且．
求证：为的切线；
延长与的延长线交于点，求证：；
若，，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
在的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？

24.  本小题分
如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
设直线：交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线：上总存在一点，使得为直角．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
则，
那么，
则最小的数为：，
故选：．
正数负数；一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则，分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
 

5.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是．
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握关于轴对称点的坐标特点是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

平移直线至，
，
，
，
．
故选：．
根据平移直线至，可得，所以，根据对顶角相等得，所以．
本题考查了平移的性质和平行线的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质和平行线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：在这组数据中，出现的次数最多，故众数是，故选项A符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数是，故中位数是，故选项B不符合题意；
平均数是，故选项C不符合题意；
方差是：，故选项D不符合题意．
故选：．
根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
本题考查的是算术平均数，方差，中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

8.【答案】 

【解析】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；
一元二次方程，
，
一元二次方程无实数根，故选项B错误，符合题意；
任意多边形的外角和等于，故选项C正确，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据随机事件的定义可以判断；根据根的判别式可以判断；根据任意多边形的外角和都是可以判断；根据三角形重心的定义可以判断．
本题考查三角形的重心、根的判别式、三角形的重心、随机事件，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
 

9.【答案】 

【解析】解：压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．
当为定值时，压强与受力面积之间函数关系是反比例函数，
故选：．
根据函数的解析式判断函数的图形即可．
此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
 

10.【答案】 

【解析】解：把点代入得，，
，
反比例函数为，
设直线为，
代入点，得，
解得，
直线为，
解，得或，
，
，
，
，
点的坐标为或．
故选：．
利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，根据，求得的长度，进而即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
，
故答案为：．
根据代数式有意义，可得，进一步求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因数，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
 

13.【答案】   

【解析】解：将代入原方程可得，
解得：，
方程的两根之积为，
方程的另一个根为．
故答案为：，．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再结合两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用运算公式将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确将原式变形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

四边形为正方形，
，，
，
为等腰直角三角形，，
，，
，
又，
四边形为正方形，
，
点到直线的距离为．
故答案为：．
过点作于点，根据正方形的性质易得为等腰直角三角形，，再根据有三个角为直角，且邻边相等的四边形为正方形证明四边形为正方形，以此即可求解．
本题主要考查正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：由题意，，，，，
的边长为，
，
与都在第四象限，坐标为
故答案为：，
利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
本题考查相似三角形的性质，规律型点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当或时，分式无意义，
故当时，原式，
当时，原式． 

【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
点是的中点，
，
又，
≌；
证明：由已证≌，
，
四边形是矩形，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据矩形的对边平行得到，于是有，根据点是的中点得出，结合对顶角相等利用可证得和全等；
由≌可得，结合，可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：，，，，，
是的外角，
，
，
，
在中，，
．
答：烈士纪念碑的通高约为． 

【解析】根据题意可得，，，，，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可得的答案．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：所抽取的学生人数为：．
故答案为：；
样本中“中度近视”的人数为：人，
“高度近视”的人数为：人，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：；
人，
答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数约人．
由“视力正常人数及其所占百分比可得总人数；
用的结论乘可得“中度近视”的人数，进而得出“高度近视”的人数，再补全条形统计图；用乘“轻度近视”所占比例可得扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
用乘样本中“轻度近视”所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】证明：为的直径，为的切线，
，
即：，
点在上，
，
在和中，
，
≌，
，
即：，
又为的半径，
为的切线．
证明：由可知：，
，
又，
∽，
，
即：．
解：连接，过点作于点，

，
，
又，
为等边三角形，
，
，
设，显然，
则，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
，，
，
又，
． 

【解析】先由切线的性质得，然后依据“”判定和全等，从而得，据此即可得出结论；
由，可判定和相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
连接，过点作于点，先证为等边三角形，再设，则，，在和在中，由勾股定理得，由此可求出的值，进而得的半径为，然后根据即可得出答案．
此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径．
 

23.【答案】解：设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，
根据题意得：，
解得：，
．
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
设租用种客车辆，则租用种客车辆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
该学校共有种租车方案，
方案：租用辆种客车，辆种客车；
方案：租用辆种客车，辆种客车；
方案：租用辆种客车，辆种客车；
选择方案的总租金为元；
选择方案的总租金为元；
选择方案的总租金为元．
，
租用辆种客车，辆种客车最合算． 

【解析】设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的辆客车可乘坐人数不少于人，且租用的种客车不超过辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案；
利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出各选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程，根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，如图，

则，
，
，
，
当时，的最大值为，此时点；
证明：直线：交抛物线于点、，
，
整理得：，
，，
，，
，
，
设的中点为，
，
过点作直线：，垂足为，如图，

，
，
，
以为直径的一定经过点，
，
在直线：上总存在一点，使得为直角． 

【解析】运用待定系数法，将、代入，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
运用待定系数法可得直线的解析式为，设，过点作轴，交于点，则，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
由直线：交抛物线于点、，可得，利用根与系数关系可得，，利用两点间距离公式可得，设的中点为，过点作直线，垂足为，，以为直径的一定经过点，所以，即证得结论．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得，得出以为直径的一定经过点．